Calcolo numerico

Calcolo numerico e rappresentazione floating-point

Il calcolo numerico è una disciplina della matematica......per il quale non esistono soluzioni...Reale Calcolatore aggiunto.

Si definisce rappresentazione Floating-point...a = (-1)^s pN^q per N=10...0,15... (infinite rappresentazioni floating-point)

La rappresentazione è univocamente determinata...Se si impone la seguente condizione: N^t < p < N

Se soddisfa questa condizione...mantissa di a, intero q, esponente di a...mantissa...

Per memorizzare a è sufficiente memorizzare...Non tutti i numeri reali sono esattamente rappresentabili su un calcolatore....esattamente rappresentabile...

L'insieme di numeri di macchina è così definito: F={0}∪(-1)^s 0, d1... dt N^q:0≤d_i<N, z1≤q≤z2d1N = 10

Definizione di calcolo numerico

Il calcolo numerico è una disciplina della matematica, che propone e analizza metodi che permettono di ottenere una soluzione numerica di problemi matematici per i quali altri metodi di soluzione non esistono oppure sono difficili da determinare.

Utilizzando macchine si utilizzano algoritmi eseguibili da un calcolatore e basati da metodi stessi.

Sarebbe di più grande errore il pensare che i risultati numerici ottenuti siano privi di errori e affetti da un conto trascurabile.

Regole che seguono i calcolatori

Si definisce rappresentazione floating-point di un numero reale è la seguente rappresentazione: a = (-1)^s pN⁹ s ϵ {0,1} p ϵ:20 reale, 9 intero.

Dove N rappresenta la base del sistema di numerazione.

Se N = 10 il sistema di numerazione si dice decimale, se N = 2 il sistema si dice binario.

Esempi di rappresentazione floating-point

Es a = 0,015∙10^-2, per N = 10 a = 0,15 10^-1 etc.. (infinite rappresentazioni floating-point)

La rappresentazione è univocamente determinata.

Se si impone la seguente condizione: N^t-1 ≤ p < N^t

Se soddisfa questa condizione, la rappresentazione si dice normalizzata e il numero reale non negativo a si definisce mantissa di a, l’intero 9 si definisce l’esponente di a.

Es a = 12,4 = 0,124, 10³ mantissa = 0,124, esponente = 2 a = 1,3∙10 mantissa = 0,13 esponente = 1

Memorizzazione e numeri di macchina

Per memorizzare a è sufficiente memorizzare s, p, 9.

Poiché un calcolatore presenta uno spazio finito di memoria, può memorizzare solo mantisse con un numero finito di cifre ed esponenti di un certo intervallo prescritto con al massimo t cifre ed esponenti compresi x ≤ 9 ≤ y.

Non tutti i numeri reali sono esattamente rappresentabili su un calcolatore.

Si definiscono numeri di macchina numeri con mantissa ed esponente esattamente rappresentabile negli spazi a loro riservati dal calcolatore.

L’insieme di numeri di macchina z è così definito: F = {0} U (-1)^s {0,diaz...} a.t | 9 | 0 ≤ 9 < N 9 ꭓ 9 ϵ [_,_]0,t...at rappresentano le cifre della mantissa minori o uguali a N-1.

Es Se N = 10, a t ϵ { 0,1,2,...,9 }

Esn:10, t:3, L: -127, U: 128 a: 1,38291 • 10⁰ è un numero di macchina?

a = 0,138291 • 10¹

La mantissa ha t:3, quindi max = numero di macchina

Underflow e overflow

La limitazione inferiore L_sq comporta che il più piccolo numero positivo rappresentabile sia (m = 0,10000 • N^L, t cifre.

Si definisce regione di underflow l'insieme dei numeri reali diversi da zero e appartenenti a (-m, m).

La limitazione superiore U_sq comporta che il più grande numero positivo rappresentabile sia (M = 0,(N-1)(N-1)(N-1) • N^U), t cifre.

Si definisce regione di overflow l'insieme dei numeri appartenenti a (-∞, -M) ∪ (M, +∞)(-m, m) = 0(-∞, -M) ∪ (M, +∞) = inf

Es Si consideri M M M + M₁ ≥ 1, dove M = M₂ Se poniamo però considerare M + M₁ = 3/2, max m. overflow

Esempio con overflow

Es Si consideri R = 1/(x₁² + kx₂²)

N: 10

x₁ = 10^-100

x₂ = 10^-50

U: 128

Si evita l'overflow √(x₁^(x₂/x₁)) = 1 x₁ √(1 - (x₂/x₁)), se x₁ > |x₂|

Approssimazione della mantissa

Si esamina ora come vengono rappresentati i numeri reali la cui mantissa ha più di t cifre.

Bisogna approssimarli con la tecnica "rounding to even" la mantissa viene approssimata con la mantissa di macchina più v