Calcolo II - integrali indefiniti

Integrali

Il problema di cui ci occupiamo in questo capitolo riguarda, oltre una funzione y=f(x), la determinazione di una funzione che ammessa come derivata f(x) e che verrà definita primitiva di f(x).

Per esempio, considerando la funzione 3x², alla domanda “qual è la funzione di cui si può considerare 3x² la sua derivata?” possiamo rispondere che essa è la derivata di x³ che perciò, ma, è la sua primitiva.

Oltre a x³ anche le funzioni x³+5, x³-1 ed in generale x³+k(con k una costante generica) hanno come derivata 3x². Quindi sono tutte funzioni primitive di 3x².

Possono ed esistono più funzioni primitive di una funzione data. Il problema vero è quello di determinare tutte le funzioni la cui derivata sia uguale ad una funzione assegnata f(x). Tutte queste funzioni vengono definite primitive di f(x).

Dunque se F(x) è una primitiva di f(x), F(x)+C è la primitiva più generale e rappresenta tutte e sole le funzioni la cui derivata è uguale a f(x).

Questa primitiva generale prende il nome di integrale indefinito di f(x) e viene rappresentato come di seguito: ∫f(x)dx

Da quello che è detto precedentemente, la primitiva generale è ∫f(x)dx = F(x) + C

Gli integrali indefiniti godono di alcune importanti proprietà: 1^a proprietà: una costante moltiplicativa si può trasporre dentro o fuori dal segno di integrale indefinito.

Integrali

Il problema di cui ci occupiamo in questo capitolo riguarda, oltre una funzione, la determinazione di una funzione che ammette come derivata f(x) e che verrà definita primitiva di f(x).

Per esempio, considerando la funzione 3x², alla domanda: “qual è la funzione di cui si può considerare 3x² la sua derivata?”, possiamo rispondere che essa è la derivata di x³ che, quindi, è la sua primitiva.

Oltre a x³ anche le funzioni x³+5, x³-1 ed in generale x³+k (con k una costante generica) hanno come derivata 3x²; quindi sono tutte funzioni primitive di 3x².

Possono ed esistono più funzioni primitive di una funzione data. Il problema vero è proprio quello di determinare tutte le funzioni la cui derivata sia uguale ad una funzione assegnata f(x). Tutte queste funzioni vengono definite primitive di f(x). Dunque F(x) è una primitiva di f(x).

F(x)+C è la primitiva più generale e rappresenta tutte e sole le funzioni la cui derivata è uguale a f(x).

Questa primitiva generale prende il nome di integrale indefinito di f(x) e viene rappresentato come di seguito: ∫f(x)dx

Da quello che si è detto precedentemente, la primitiva generale è: ∫f(x)dx = F(x)+C

Proprietà degli integrali indefiniti

Gli integrali indefiniti godono di alcune importanti proprietà:

1^a proprietà: una costante moltiplicativa si può trasportare dentro o fuori dal segno di integrale indefinito.

1^a proprietà: ∫k·f(t)dt = k·∫f(t)dt con k ∈ ℜ

2^a proprietà: l'integrale di una somma algebrica di due più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni.

∫[f₂(x) + f₂(x)]dt = ∫f₂(x)dt + ∫f₂(x)dt

3^a proprietà: l'integrale indefinito è un operatore lineare, ovvero l'integrale di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lineare degli integrali delle funzioni.

∫[k₂f₂(x) + k₂f₂(x)]dt = k₁∫f₂(x)dt + k₂∫f₂(x)dt

Integrate immediate

Una volta introdotto l’argomento ora ci si sofferma sulle integrate immediate, che hanno le stesse funzioni delle derivate immediate.

1^a ∫x^ddx = ^xd+1⁄_d+1 + C con d ∈ ℜ - {-1}

Ad esempio ∫x²dx = ^xx+1⁄₂ + C = ^x3⁄₃ + C

2^e ∫¹⁄_xdx = log|x| + C

Esempio: ∫ 2x+5 dx = ∫(2x + ⁵⁄_x)dx = 2∫x dx + 5∫¹⁄_x dx = x² + 5·log|x| + C

3^c) ∫ [()]^d ⋅ '() dt = [()]^d+1 / (d + 1) + C   con d ∈ ℝ - {-1}

4^c) ∫ f'() / f() dt = log |f()| + C

Esempio: ∫ (2 + 1) / (² + ) dt

Il numeratore è la derivata del denominatore: f() = ² +   →   f'() = 2 + 1 quindi: ∫ (2 + 1) / (² + ) dt = log |² + | + C

5^c) ∫ cos dt = sin + C

6^c) ∫ sin dt = -cos + C

7^c) ∫ 1 / cos² dt = Tg + C

8^c) ∫ 1 / sin² dt = -cotg + C

9^c) ∫ 1 / √1 - ² dt = arcsin + C

10^c) ∫ 1 / 1 + ² dt = arctg + C

11^c) ∫ e^x dt = e^x + C

12^e ∫e^x dx = ^ex⁄_loge + C

Esercizi sugli integrali immediati

• ∫x³ dx = ^x3+1⁄₃₊₁ + C = ^x4⁄₄ + C
• ∫x⁵ dx = ^x5+1⁄₅₊₁ + C = ^x6⁄₆ + C
• ∫√x dx = ∫x^1⁄2 dx = ^x1⁄2+1⁄_1⁄2+1 + C = ^x3⁄2⁄_3⁄2 + C = ^2⁄3√x³ + C
• ∫√3x² dx = ∫x dx = ^x3⁄2+1⁄_3⁄2+1 + C = ^x5⁄3⁄_5⁄3 + C = ^3⁄5x^5⁄2 + C
• ∫¹⁄_x³ dx = ∫x^-3 dx = ^x-3+1⁄_-3+1 + C = ^x-2⁄_-2 + C = -¹⁄_2x² + C
• ∫( ¹⁄_3x + 3 ) dx = ∫¹⁄_3x dx + ∫3 dx =

7) ∫ \dfrac{x^2 + x^3}{x^5} dx = ∫ \dfrac{x^2}{x^5} dx + ∫ \dfrac{x^3}{x^5} dx = ∫ \dfrac{1}{x^3} dx + ∫ \dfrac{1}{x^2} dx == ∫ x^{-3} dx + ∫ x^{-2} dx = \dfrac{x^{-3+1}}{-3+1} + \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} + C

8) ∫ \dfrac{2x + 1}{x^3} dx = ∫ \dfrac{2x}{x^3} dx + ∫ \dfrac{1}{x^3} dx = ∫ \dfrac{2}{x^2} dx + ∫ x^{-3} dx == 2∫ x^{-2} dx + ∫ x^{-3} dx = 2 \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1} + \dfrac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{2x^2} + C

9) ∫ x^2 (1 - x + 2x) dx = ∫ (x^2 - x^3 + 2x^3) dx = ∫ \dfrac{x^{2+1}}{2+1} + ∫ (-x^2) + ∫ x^3 + ∫ \dfrac{x^{4+1}}{4+1} == \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^5}{5} + C = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{x^5}{5} + C = \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{2x^3}{3} + x + C

10) ∫ (x + \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{2}{x^3}) dx = ∫ x dx + ∫ \dfrac{1}{x^2} dx + ∫ \dfrac{-2}{x^3} dx == \dfrac{x^{2+1}}{2+1} + ∫ x^{-2} dx - 2∫ x^{-3} dx == \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1} - 2 \dfrac{x^{-3+1}}{-3+1} + C == \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} + C

N) ∫ 2(2x+1)^2 dx

Se si considera f(t) = 2x+1 si può vedere come la derivata prima e uguarle f(x) = 2; quindi l'integrale sarà della forma ∫ f'(x) ⋅ f(x) dx

∫ 2(x+1)² dx = 2+1 = (2x+1) + C = (2x+1)³ + C2+1 3

12) ∫ 1 dx(x+1)²

In questo caso considerando f(x) = x+1 la rispettiva derivata è f'(x) = 1 quindi: ∫ 1 dx = ∫ (x+1)^-2 dx = (x+1)^-2+1 + C = (x+1)^-1 + C =(x+1)² = - 1 + Cx+1

13) ∫ x² √x³+1 dx

Se si considera f(x) = x³+1 la sua derivata è f'(x) = 3x² quindi... ∫ x² √x³+1 dx = ∫ 1 3x² √x³+1 dx =1 3 (x³+1)³= ... 13 (x³+1)^3/2 = 1 (x³+1) 3/2 = 1 33 = 1/3 - 2/9 ) 2= (x³+1)^1/3 dx + c= 2/9 (x³+1)1/3...

15) ∫ log²(x) . ₁/^x dx

Se ρ(x) = logx la derivata prima ρ'(x) = ₁/^x ∫ ρ(x) . ρ'(x) dx

∫ log²(x) . ₁/^x dx = [log(x)]²⁺¹ / 2+1 + C = [log(x)]³ / 3 + C

16) ∫ cosx . √sinx dx

Si considera: ρ(t) = sinx → ρ'(x) = cosx

∫ cosx . √sinx dx = ∫ (sinx)^1/2 . cosx dx = sin^1/2+1 / 1/2+1 + C = sin^3/2 / 3/2 + C = ₂/³ (sinx)^3/2 + C = ₂/³ sinx √sinx + C

17) ∫ ₁/^x . logx dx

Se ρ(t) = logx → ρ'(t) = ₁/^x

∫ ₁/^x . logx dx = ∫ ₁/^x . (logx)^3/2 dx(logx)^3/2+1 / 3/2+1 + C = (logx)^4/3 / 4/3 + C = ₃/⁴ (logx)^3/4 + C = ₃/⁴ (logx)³ + C = ₃/⁴ logx √logx + C

18) ∫ cos³x . sinx dx

Se ρ(x) = sinx → ρ'(x) = cosx- ∫ ρ^-2 sinx cos³x dx = - (cosx)³⁺¹ / 3+1 + C = - ¹/₄ cos⁴(x) + C

19) ∫ sinx . cosx dx

ρ(x) = sinx → ρ'(x) = cosx

∫ sinx . cosx dx = (sinx)¹⁺¹ / 1+2 + C = (sinx)² / 2 + C

20) ∫sen x (1 + 2 cos x) dx

f(x) = 1 + 2 cos x f'(x) = -2 sen x

∫sen x (1 + 2 cos x) dx = 1/2 ∫-2 sen x (1 + 2 cos x) dx= -1/2 (1 + 2 cos x)⁺¹/₊₁ + C == -1/2 (1 + 2 cos x)²/2 + C - 1/4 (1 + 2 cos x)² + C

21) ∫e^x/2e^x+1 dx

f(x) = 2e^x+1 → f'(x) = 2e^x

∫e^x/2e^x+1 dx = 1/2 ∫2e^x/2e^x+1 dx = 1/2 (2e^x+1)^1/2+1= + C = √(2e^x+1) + C

22) ∫5/5x+1 dx

f(x) = 5x + 1 f'(x) = 5

∫5/5x+1 dx è della forma ∫f'(x)/f(x) dx = log|f(x)| + C

∫5/5x+1 dx = log|5x+1| + C

23) ∫    ^2x⁄_x²−1   dx

f(x)=x²−1 → f'(x)=2x

∫    ^2x⁄_x²−1   dx = log | x²−1 | + c

24) ∫    ^log3x⁄_x   dx

f(x)=log x → f'(x) = ¹⁄_x

∫    ^log3x⁄_x   dx = (log x)³⁺¹⁄₃₊₁ + c = ^log4x⁄₄ + c

25) ∫    ^dx⁄_x∙log³x

f(x)=log x → f'(x) = ¹⁄_x

∫    ^dx⁄_x∙log³x = ∫    ¹⁄_x∙log³x   dx = (log x)⁻³⁺¹⁄₋₃₊₁ + c = −^log−2(x)⁄₋₂ + c = −¹⁄_2log²x + c

26) ∫ x² e^x3 dx

f(x): e^x3 → f'(x) = e^x3 3x²

Mano a 3 punti: ∫ x² e^x3 dx = ¹⁄₃         ∫    3x² e^x3 dx = ¹⁄₃ e^x3 + c

27) ∫    ^{1+cos t}⁄_{x+sin x}   dt

f(x)=x+sin x → f'(x)=1+cos x

∫    ^{(1+cos x)}⁄_{x+sin x}   dx = ∫    (1+cos x) • (x+sin x)⁻¹ dx = −log | x+sin x | + c

28) ∫^x³/_(1+x⁴) dx = ∫^x³/_1+(x⁴)² dx

f(x) = x⁴ → f'(x) = 4x³

Nell'integrale manca il 4, dunque: ∫^x³/_(1+(x⁴)²) dx = 1/₄ ∫^4x³/_1+(x⁴)² dt = 1/₄ arctg(x⁴) + C

29) ∫(4x⁴ + 3x² + 5x) dx = 4 ∙ ^x4+1/₄₊₁ + 3 ∙ ^x2+1/₂₊₁ + 5 ∙ ^x1+1/₁₊₁ + C = ⁴/₅ x⁵ + ³/₃ x³ + ⁵/₂ x² + C = ⁴/₅ x⁵ + x³ + ⁵/₂ x² + C

30) ∫^x³+x+1/_x²+1 dx

Si scompone il numeratore con un raccoglimento parziale = ∫^x³+x+1/_x²+1 dx = ∫^x(x²+1)+1/_x²+1 dx = ∫ x_x²+1 dx + ∫¹/_x²+1 dx = ∫ x dx + ∫¹/_x²+1 dx = ^x²/₂ + arctg + C = ^x²/₂ + arctg + C

31) ∫(1+2x³)² dx = ∫(1 + 4x⁶ + 4x³) dx = x + ⁴/₇ x⁷ + ⁴/₄ x⁴ + C

Scomponiamo il numeratore di binomio = x + ⁴/₇ x⁷ + ⁴/₄ x⁴ c- ⁴/₄ + x + x + C

32) ∫ 4x (x²+1) dx

f(x) = x²+1 f'(x) = 2x

In modo che nell'integrale compare un 4 finale: ∫ 4x (x²+1) dx = 2∫ 2x(x²+1) dx = 2 - ^(x²+1)1+1/₁₊₁ + C = ^(x²+1)² + C

33) ∫ x⁴∫ ^dt/_x⁴ = ∫ x^-4 dt = ^x-4+1/_-4+1 + C = ^x-3/_-3 + C = ^-1/_3x³ + C

34) ∫ ^1+x3/_x dt = ∫ ¹/_x + x² dt = ∫ (x^-3 + x) dt = ^x-3+1⁄_-3+1 + x + C = ^x-2⁄_-2 + x + C = ^-1/_2x² + x + C

35) ∫ ^{sin(√) dt}/_√x

∫ ^{sin(√) dt}/_√x = 2 ∫ 1/2 sin(√x) dt = -2 cos(√x) + C

36) ∫ ^x2/_1-x³ dt

∫ ^-x2/_1-x³ dt = -1/3 ∫ ^-3x2/_1-x³ dt = -1/3 log |1-x³| + C

37) ∫ ^ex/_e^x+1 dt

∫ ^ex/_e^x+1 dt = log |e^x+1| + C

37d) ∫ ^2ex/_4+3e^x dt

∫ 2e^x/(4+3e^x) dt = 2/3 ∫ 3e^x/(4+3e^x) dt = 2/3 log |4+3e^x| + C

39) ∫ ₀² e^2x / 3 - e^2x dx      f(x) = 3 - e^2x → f'(x) = - e^2x(2) = - 2 e^2x

Nell'integrale per avere la forma ∫ f'(x) / f(x) dx      manca il termine -2, quindi lo moltiplico e divido per lo stesso numero.

= ∫ (-2 . e^2x) / 3 - e^2x dx = -¹/₂ log |3 - e^2x| + C

40) ∫ -3 sin x / 3 cos x - 5 dx      f(x) = 3 cos x - 5 → f'(x) = - 3 sin x

= ∫ f'(x) / f(x) dx = ∫ (-3 sin x) / 3 cos x - 5 dx = log |3 cos x - 5| + C

41) ∫ 5 sin x / 2 cos x + 1 dx      f(x) = 2 cos x + 1 → f'(x) = - 2 sin x

Nell'integrale manca un -2 per avere una forma del tipo ∫ f'(x) / f(x) dx      quindi lo moltiplico e divido per uno stesso numero.

= -⁵/₂ ∫ 2 sin x / 2 cos x + 1 dx = -⁵/₂ log |cos x + 1| + C

42) ∫ ¹/₁ + tg² x . sec² x dx      f(x) = 1 + tg x = 1 + sin x / cos x f'(x) = cos² x + sin x - sin x / cos² x = ^{cos2 x + sin2 x}/_{cos² x} = ¹/_{cos² x}

∫ ¹/₁ + tg² x dx = log |1 + tg x| + C