Calcolo della sezione aurea con 10000 decimali esatti

+

1 5

Φ =

Calcolo della sezione aurea 2

10000

Con decimali esatti dopo la virgola

Cristiano Teodoro

Sommario: la presente nota descrive il calcolo del valore numerico della Sezione Aurea con il numero desiderato di cifre esatte dopo la virgola, essendo tale grandezza, come è noto, un numero irrazionale.

Lo scopo puramente speculativo di questa “récréation mathématique” è quello sostanzialmente di mettere in evidenza che anche su di un normale PC, disponendo di un semplice linguaggio software quale il Qbasic, è possibile trattare numeri costituiti anche da migliaia di cifre, effettuando su di essi con piena esattezza di calcolo tutte le operazioni aritmetiche richieste.

Uno scopo pratico nel campo dell’informatica potrebbe essere quello di utilizzare il calcolo ed i valori ottenuti con migliaia di cifre esatte di tale numero irrazionale, quale BENCH MARK per valutare le prestazioni di precisione e di velocità di calcolo dei vari CPU esistenti sul mercato.

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Nella letteratura tecnica, sia di tipo cartaceo che rintracciabili su diversi Siti Web, vi sono vari articoli e descrizioni riguardanti la Sezione Aurea (Golden Ratio), la cui formula matematica è la seguente:

+

1 5

che, espressa come numero decimale, viene indicata normalmente come segue:

2

1,6180339887498948……., dove con i puntini si vogliono indicare le ulteriori cifre decimali che si susseguono indefinitamente in modo random.

In questa nota non parleremo di tale grandezza nei suoi vari aspetti, che spaziano sia nel campo della matematica e in particolare della geometria (si veda ad esempio l’articolo citato in [1], direttamente reperibile nel presente Sito), sia in quello della fisica [2], sia anche in altri interessanti campi come illustrato in [SI1] e [SI2], ma vogliamo soffermarci invece sul solo aspetto aritmetico, cercando di portare i puntini sempre più a destra, calcolando cioè il suo valore numerico con un numero grande a piacere di decimali esatti dopo la virgola.

Esistono in verità nel web alcuni Siti, ad esempio [SI3], [SI4], che danno il valore numerico della Sezione Aurea o Golden Ratio, riportandolo anche con un gran numero di cifre esatte (1000, 10000, 20000 e oltre), senza però illustrare e spiegare in dettaglio come tale valore sia stato calcolato e trovato.

Vedremo invece qui di seguito quale algoritmo viene adottato e quali sono i principali passi da realizzare per ottenere quanto dichiarato utilizzando un normale PC.

5 = 2,2360679……,

Nella formula della Sezione Aurea compare la radice quadrata del numero 5:

che è un numero irrazionale con una serie illimitata di cifre dopo la virgola.

Il primo passo da fare è quindi quello di trovare il valore numerico di tale radice con tutte e sole le cifre decimali richieste.

A tale proposito valgono le seguenti osservazioni:

500000

.......

00000, dove gli zeri che seguono la cifra 5

Se si calcola la seguente radice quadrata:

sono in numero pari, si ottiene un valore numerico costituito da una serie di cifre identiche a quelle della semplice radice 5; l’unica differenza è nell’ordine di grandezza dei due numeri, vale a dire nel posto assunto dalla virgola nella sequenza delle cifre.

1

Ebbene, rifacendosi a quanto esposto in [3], riguardante il calcolo della parte intera della radice quadrata di un numero grande, si possono calcolare tutte le cifre volute di 5, calcolando la parte intera di un adeguato numero pari.

5000000000 ...... 0000000 dove il numero 5 è seguito da un di 0.

40

5 con cifre esatte.

Si voglia e calcolare ad esempio

Si deve prendere in considerazione il numero grande N = 50000000…….00000, dove gli zeri sono 78.

Eseguendo i calcoli come indicato sempre in [3] si trova il seguente valore numerico:

 N  = 2236067977499789696409173668731176235440 (1)

da cui si può ricavare immediatamente:

5 = 2,236067977499789696409173668731176235440

Ma perché 78 zeri? Questo si desume constatando che:

500

= 22,360679 …………… ha 2 cifre prima della virgola

50000 = 223,60679 ……., ha 3 cifre prima della virgola

5000000 = 2236,0679 ……., ha 4 cifre prima della virgola

500000000 = 2236,0679 ……., ha 5 cifre prima della virgola

e così via. x

Da questi esempi è facile allora ricavare che per ottenere cifre intere esatte a sinistra della virgola occorre calcolare il valore di

5000000000 ...... 0000000 dove gli zeri che seguono la cifra

( )

· −

x 1.

5 sono in numero di 2 ( )

· −

2 40 1 = 78 zeri

Pertanto, per avere x = 40 cifre esatte prima della virgola, si devono considerare

Si ribadisce una volta ancora che, sia 5, sia 5000000000

...... 0000000 con un numero pari di zeri risultano avere la:
stessa serie di cifre con l’unica differenza del posto della virgola.

Se viene invece richiesto di calcolare 5^y decimali esatti dopo

la virgola, è legato evidentemente al precedente valore x, che comprendeva anche la cifra iniziale 2, dalla seguente relazione: y = x - 1. Pertanto per ottenere 5 con 40 decimali esatti dopo

con y = 40, cioè con 40 cifre esatte

y

2*y = 80, ottenendo dopo alcune iterazioni il valore cercato.

la virgola occorre introdurre un numero di zeri dopo la cifra 5 pari a

Si inserirà poi la virgola subito dopo la prima cifra.

Proseguendo nei calcoli, dato che si vuole individuare non solo 5 + 1 2, ma anche il valore

conviene procedere considerando la sequenza delle 1 cifre esatte trovate (compresa quindi anche la prima) senza alcun inserimento per ora della virgola.

Nel metodo usato, lavorando in aritmetica a precisione multipla, facendo riferimento ad esempio al valore mostrato in (1), la serie di cifre esatte trovate per tale valore viene posizionata in un vettore (array) ordinato, composto da un adeguato numero di elementi o celle.

 N 

Consideriamo ora la cella di indice più elevato di questo vettore: in essa vengono memorizzate le prime cifre più significative della suddetta serie con variabile da 1 sino a 7 a seconda del