Calcolo Combinatorio

Calcolo combinatorio

Considerazioni

Il calcolo combinatorio riguarda lo studio o la ricerca di quello che può succedere quando si hanno a disposizione un certo numero di oggetti, che chiameremo elementi e il loro numero m.

In generale chiamerò:

• Gli oggetti -> Elementi
• Il loro numero -> m
• Il loro gruppo -> Classe k

Esempio

Supponiamo di avere 10 libri e li prendiamo a quattro a quattro.

Domanda: Quanti gruppi di quattro si possono formare? Cioè quanti gruppi presi a quattro a quattro si possono formare?

In conclusione per dare risposta a quello che può accadere con m elementi bisogna studiare:

• Le disposizioni semplici
• Le disposizioni con ripetizione
• Le permutazioni semplici
• Le permutazioni con ripetizione
• Le combinazioni semplici
• Le combinazioni con ripetizione

Calcolo combinatorio

Considerazioni

Il calcolo combinatorio riguarda lo studio o la ricerca di quello che può succedere quando si hanno a disposizione desi_un certo numero di oggetti che chiameremo elementi e il loro numero m.

In generale chiameremo:

• Gli oggetti -------> elementi
• Il loro numero ---> n
• Il loro gruppo ---> classe k

Esempio

Es. Supponiamo di avere 20 libri e li prendiamo a quattro a quattro.

Domanda: Quanti gruppi di quattro si possono formare?, cioè quanti gruppi presi a quattro a quattro si possono formare?

In conclusione per dare risposta a quello che può accadere con m elementi bisogna studiare:

• Le disposizioni semplici
• Le disposizioni con ripetizione
• Le permutazioni semplici
• Le permutazioni con ripetizione
• Le combinazioni semplici
• Le combinazioni con ripetizione

Disposizioni semplici

Definizione

Supponiamo di avere n oggetti distinti e supponiamo di prenderli a gruppi che chiameremo di classe k con k ≤ n.

Allora chiameremo disposizione semplice di classe k tutti i possibili gruppi che si possono formare con k degli n oggetti, considerando distinti i due gruppi che differiscono fra loro:

• O per l'ordine ABC o opp. BCA
• O per qualche elemento ABD

Risposta

Per calcolare le disposizioni semplici basta applicare la formula che proviene dal seguente teorema.

Teorema

Il numero delle disposizioni semplici di n oggetti di classe k è data dalla seguente formula.

D_n,k = n(n - 1)(n - 2) ... (n - K + 1)

Esempio

Supponiamo di avere 7 colori diversi. Fra di loro ci vogliamo fare bandiere di 4 colori.

Quante bandiere si possono fare?

n = 7

k = 4

D_{n, k} = D_{7, 4} = 7⁶ · 5 · 4 = 840 p!

Permutazioni semplici

Definizione

Le permutazioni semplici possono dire che sono le stesse disposizioni semplici nel senso che avendo n oggetti la classe dei gruppi coincide con m cioè k = m.

Formula

In questo caso avremo:

^D_n,m = ^P_m = n_f

NB. n_f è il simbolo fattoriale di un numero n.

n_f = n (n - 1) (n - 2) (n - 3) ... 3 . 2 . 1 =

Es. 7_f = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 =

Si tratta l'esempio di quante bandiere si possono fare disponendo i 7 colori ed usarli tutti e 7, cioè ad esempio.

Con i colori dell'arcobaleno quante bandiere si possono fare utilizzando tutti i suoi colori?

Risposta

Poiché l'arcobaleno ha 7 colori si possono fare:

^P₇ = 7_f = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 Permutazioni

NB. Nelle permutazioni cambia soltanto il posto ma non gli elementi.

Disposizioni con ripetizione kⁿ

Considerazioni

• Supponiamo di avere m elementi distinti
• Supponiamo di voler formare con essa un gruppo di k elementi, però con k > m

Allora è ovvio che qualche elemento dovrà essere ripetuto.

Es. È il caso del gioco del totocalcio in cui:

• Gli uno degli elementi è n = 3 (1, X, 2)
• Il n° dei gruppi è K = 13

K > n

13 > 3

Vuol dire che alcuni elementi si possono ripetere.

Pertanto:

Definizione

Si dicono disposizioni con ripetizione di m elementi presti a K a K (o di classe K con K > m), tutti i possibili gruppi che l si possono formare prendendo K elementi, con la ripetizione di qualc