CAD, Compatibilità elettromagnetica industriale

Problemi inversi e loro soluzione in generale CAD3 CFU

Metodi corso Di Borbo, metodi corso Problemi inversi.

Problemi diretti e problemi inversi

Problemi diretti: se geometria e materiali, trova gli effetti: (cause) Input -> Output (effect).

Per i problemi inversi, invece, è noto l'effetto e bisogna ritrovarne le cause: (obbligo, Output -> Input (misure rilev.).

Es. controlli non distruttivi: rilevo un carico delle variazioni di impedenza.

Es. modellazione delle geometrie per avere degli obiettivi/valori desiderati: (forma dei poli magnetici per avere una certa distribuzione del campo magnetico).

Classica applicazione nel settore della ricerca e sviluppo.

Problemi inversi

Problemi diretti: se conosciamo i modelli, troviamo gli effetti: (cause) Input - Output (effect).

Per i problemi inversi, invece, è noto l'effetto e dobbiamo ritrovare le cause: (effects) Output - Input (misura rilievi).

Es. controlli non distruttivi: rilievo unico delle variazioni di impedenza.

Es. modellazione delle geometrie per avere degli obj. valor desiderati: (forme dei poli magnetici, per avere una certa vibrazione del campo magnetico).

Classica applicazione nel settore della ricerca e sviluppo.

Operatore e incognite

A(z)X = Y

Cosa sto dicendo?

A è un operatore che (debole ma regolare) lineare e non, che dipende da un parametro z.

Y è il dato e X è l'incognita.

Nel problema diretto i dati sono Y, Z, A e X l'incognita.

Con Y ∈ Y, x ∈ X ecc., dove Y e X sono spazi metrici.

Nel problema inverso i dati sono Y, A e X, Z è l'incognita.

Mi serve una informazione supplementare (es.: una misura).

Es.: potenziale magnetico (problema diretto) −∇⋅∇ =

Es.: potenziale magnetico (problema inverso): messo una sonda nel reattore e voglio trovare.

Problema ben posto secondo Hadamard

Devo capire quando il problema è ben posto.

Hadamard: si occupò di definire quando un problema è ben posto.

Hadamard conditions well posed problem

• Condizione di esistenza.

Per ogni input y esiste un x tale che Y ∃ x: A(z)x = y.

• Condizione di unicità.

∃! x.

• Continuità di pendenza della soluzione dal dato.

Se il dato varia di poco, anche la soluzione deve variare di poco.

Esempio con il coseno

|Δy| 0 \)\( v(0) = v_0, \frac{dv}{dt}|_{t=0} = 0 \)ω = \( \frac{1}{\sqrt{lc}} \)

Si rimuove fosse anche ω il valore incognito?

Facci una misura ad un certo istante (condizione supplementare).

\( v(t) = v_0 \cos(ω t) \)

v(t₁) = v₁, t₁ > 0.

v₁ = v₀ cos (ω₀ t₁).

ω₀ = t₁^-1 arccos v₁v₀, vero solo se v₁v₀ < 1.

Es. Ne danno una soluzione ma non è unica (coseno è periodico).

Devo riflettere il periodo in considerazione. Devo allora mettere in conto una sequenza di soluzioni:

v₁ = v₀ cos (ω₀ t₁) = v₀ cos (ω₀ t₁ + 2mπ).

ω₀ = t₁^-1 [arcos v₁v₀ — 2mπ].

Esempio di potenziale

Ho un campo laplaciano.

R - il dominio.

D_x² u + D_y² u = 0.

Condizioni al contorno u(x,0) = m² cos (nx), n x 0 n ∈ ℕ.

D_y u(x,0) = 0.

La soluzione sull’intero rettangolo:

u(x, y) = m⁻¹ cos (nx) cosh (ny), (x,y) ∈ ℝ.

Perturbazione? Sulle form. faccio crescere m = _o, ↑ abbassa ufisso y=0 ∪ x ∈ ]0,a] → cosh (m y) = 1.

u è maggiorato da un fattore ¹/_m1/μ(t m).

Ora fisso xx = 0, ∞ ∪ ε∈ (0,a].

u = ¹/_m cosh (n y).

lim u(m) = ∞ per m→∞.

Viene amplificata la perturbazione provocata delle notazioni d□ m.

Sistemi rettangolari

A_(mxn) x_(mx1)