Biomeccanica(pt.2)

Sommario

• Stereofotogrammetria analitica ........................................................................................ 2
• Metodo classico ......................................................................................................... 2
• Modello della camera a foro stenopeico .................................................................. 10
• Problema della corrispondenza tra punti immagine di 2 camere ............................. 15
• Geometria epipolare ................................................................................................ 19
• Stima dei parametri interni ed esterni ...................................................................... 20
• Determinazione della matrice A ............................................................................... 21
• Intersezione ODLE .................................................................................................. 27
• Telecamere ............................................................................................................. 38
• Spot check ............................................................................................................... 39
• Metodo dei minimi quadrati ............................................................................................ 43
• Stima ad un passo ................................................................................................... 43
• Digital Signal Processing ................................................................................................ 47
• Scelta della frequenza di taglio-metodo di Winter ................................................... 50
• Filtri e derivate ......................................................................................................... 53

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Stereofotogrammetria analitica

Dato un punto che si muove nello spazio del laboratorio, è possibile esprimere il funzionamento di questo sistema come la ricostruzione della posizione che il punto assume istante per istante, fornendo una terna spaziale caratteristica (x,y,z) rispetto alla terna di riferimento del laboratorio stesso. Per poter definire la posizione spaziale di un punto per mezzo delle sue coordinate, è necessario che il punto venga osservato contemporaneamente da almeno due punti di vista distinti. La registrazione della posizione permette di calcolare le velocità e le accelerazioni dei punti lungo la traiettoria. Sebbene la stereofotogrammetria optoelettronica sia un potente mezzo per la quantificazione della cinematica segmentale ed articolare finalizzata alla valutazione della funzionalità motoria, essa è affetta da diverse tipologie di errori: errori strumentali, artefatti da tessuto molle, errori nella determinazione dei punti di repere.

La ricostruzione di un movimento oltre all’impiego di un numero opportuno di telecamere, richiede l’uso di markers; essi si distinguono in markers attivi e passivi. I markers attivi sono costituiti da LED che generano autonomamente il segnale luminoso e vengono posizionati in specifici punti di repere dei quali si vuole definire la traiettoria. Questi dispositivi necessitano però di alimentazione e sincronizzazione via cavo. I marker passivi sono costituiti da materiale catarifrangente in grado di riflettere luci di lunghezza d’onda caratteristica compresa tra i 780-820 nm; sono di forma sferica e vengono posizionati a livello dei punti di repere per mezzo di un supporto plastico. Le luci vengono emesse da illuminatori coassiali con le telecamere e situati posteriormente ad esse, costituiti da opportuni filtri ottici e in grado di localizzare i markers nel volume di misura.

In questo capitolo saranno illustrati i metodi classici o più moderni che permettono di ricostruire la posizione di un marker opportunamente inquadrato.

Metodo classico

Supponiamo di avere un sensore () posto su un segmento corporeo. Esso è inquadrato da una telecamera. Un fascio proveniente da si stampa sulla lastra fotografica passando attraverso il centro prospettico dell’ottica della camera stessa (O) e dando luogo al punto p.

Definiamo:

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• = Punto corrispondente al foro stenopeico, al centro del sistema di lenti = centro O prospettico dell’ottica;
• Proiezione di sul piano immagine = punto principale;
• O’= O
• = Distanza distanza principale; in questo caso, coincide con la distanza focale, dato d OO’= che stiamo considerando un sistema approssimato, in cui le lenti non introducono alcuna distorsione.

Tale modello si basa sulla ipotesi di collinearità tra i punti O, P, p.

Come si esprime geometricamente tale condizione di collinearità?

Per poter effettuare la differenza tra due vettori, è necessario che siano espressi nello stesso sistema di riferimento. Esprimiamo e entrambi nel sistema di riferimento p O immagine. Le coordinate di coincidono con quelle di per x e y, mentre per z saranno O O’ pari a d.

′ − =[ ′ ]p-O= r − 0−

e sono, invece, espressi nel sistema oggetto.

P O − [ ]P-O= R= − −

Come faccio a dire che sono allineati? Devo imporre la condizione di uguaglianza a meno di un fattore moltiplicativo. Ma i 2 vettori non sono espressi nello stesso sistema di riferimento. Ci sarà di mezzo una matrice che esprime la relazione tra sistema immagine Re fisso. Quello che facciamo è ruotare il sistema oggetto per far sì che i 2 sistemi siano equiversi.

Definiamo la matrice che fa passare dal sistema oggetto al sistema immagine. M

Per cui:

R’=[M]R

Posso allora scrivere: relazione di collinearità

R’=kr

′ − − ′[ ]=k [ ]M − − − 0−

′ − − (i)′[ ]=k [ ]M T − − − 0−

Supponiamo di conoscere tutti i parametri interni delle telecamere (coordinate di e d) ed O’ esterni (coordinate di e matrice in altre parole, supponiamo di aver già risolto il O M); problema della calibrazione, il sistema che abbiamo appena definito diventa un sistema di 3 equazioni in 4 incognite (xp, yp, zp, k).

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È evidente, quindi, come per risolvere il problema della ricostruzione o intersezione stereofotogrammetrica non mi basta una telecamera, ma ho bisogno di 2 telecamere calibrate che inquadrino lo stesso punto, in questo modo otterrei un sistema in 6 equazioni e 5 incognite (xp, yp, zp, k1, k2). Un sistema di questo genere è ridondante, ma la ridondanza può essere sfruttata per ridurre gli errori di misura.

Sottolineiamo che l’ipotesi di collinearità è valida per telecamere ideali, senza lenti: se ci sono lenti, esse introdurranno distorsione e quindi la congiungente i 3 punti non sarà una retta, ma una linea.

Quindi per risolvere il problema della determinazione di un punto nello spazio 3D occorre inquadrare il punto con almeno 2 telecamere; se ce ne sono 3 o più, tanto meglio. Queste telecamere devono, però, essere calibrate. Prima di risolvere il problema della ricostruzione, bisogna risolvere quello della calibrazione. Vediamo come fare.

La calibrazione si basa su delle equazioni definite da Abdel-Aziz e Carara che costituiscono la Direct Linear Transformation (DLT).

Si tratta di una coppia di equazioni ottenute dalle 3 equazioni (i), dividendo la prima e la seconda per la terza. In questo modo, invece dei parametri interni ed esterni compaiono 11 parametri (non 12 come ci aspetteremo perché l’ultimo termine è normalizzato all’unità).

La conoscenza dei parametri interni ed esterni delle camere consente l’immediata conoscenza degli 11 parametri della DLT. Il viceversa è meno immediato ed occorre far riferimento a procedure numeriche di “orthogonal triangularization” e “back-substitution”. Il vantaggio della rappresentazione della DLT, sta nella relativa facilità con la quale possiamo stimare gli 11 parametri della DLT data una distribuzione di almeno 6 punti di cui conosciamo sia le coordinate nel sistema di riferimento oggetto che nel sistema di riferimento immagine.

Supponendo di conoscere sia le coordinate immagine (xp, yp) che oggetto (xP, yP, zP), come posso trovare i 12 parametri della DLT? In teoria, infatti, ho 2 equazioni in 119 incognite, cioè soluzioni. Questo mi permette di capire come il numero minimo di punti ∞ di cui devo conoscere le coordinate per risolvere il problema è 6. Allora posso pensare di ottenere una stima degli 11 parametri che sono legati ai parametri interni ed esterni delle camere, posso così risolvere il problema della calibrazione e accedere a quello della collinearità. Anche qui, se ho un numero maggiore di punti, tanto meglio.

Come detto, tuttavia, i parametri della DLT sono legati ai parametri interni ed esterni tramite equazioni altamente non lineari. È possibile, però, ricavare i secondi dai primi procedendo in questo modo.

Organizzo i 12 parametri della DLT in una matrice [3x4] in cui:

• La prima riga contiene i coefficienti del numeratore della prima equazione;
• La seconda riga contiene i coefficienti del numeratore della seconda equazione;
• La terza riga contiene i coefficienti del denominatore, comune ad entrambe le eq.ni e con l’ultimo elemento normalizzato a 1.

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Allora si può scrivere la relazione: Matrice a blocchi, con primo blocco [3x3], Matrice triangolare invertibile con secondo blocco [3x1]

d=distanza focale (diverso da 0, matrice dei parametri esterni altrimenti il centro focale sarebbe schiacciato sul piano immagine assurdo!) → matrice dei parametri interni

Poiché è più facile conoscere e stimare i parametri della DLT rispetto a quelli interni ed esterni, posso prima ricavare quelli della DLT e poi tramite tale relazione determinare i parametri effettivi della telecamera.

Vediamo innanzitutto come determinare gli 11 parametri della DLT.

Date le eq.ni:

Moltiplichiamo ambo i membri per il denominatore e portiamo tutto a primo membro, cambiando di segno. [ ]

Raccogliamo le incognite in un vettore [11x1]: e riscriviamo le 2 eq.ni in … . 1 2 11 forma matriciale:

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Per costruire tale matrice posso ragionare così:

Qual è il coefficiente che moltiplica ? quello che moltiplica ? quello che Xp; Yp;1 2 moltiplica ? ecc. ecc. Zp3

Quello che resta da tale prodotto, viene portato al secondo membro e diventa il termine noto.

Ma questo sistema non è risolvibile con un singolo control point. Maggiore sarà il numero di punti più precisa sarà la stima dei parametri.

Ma come possiamo avere un numero sufficientemente alto di punti di controllo?

Fino a 20 anni fa ogni laboratorio di analisi del movimento era provvisto di un oggetto di calibrazione con un reticolo fisico di aste intersecate che ad ogni incrocio recano un marker. Si tratta di un oggetto assai preciso, ma anche pesante e ingombrante, difficile da spostare. Il sistema di riferimento viene fatto coincidere con gli spigoli dell’oggetto di calibrazione che ha forma rettangolare. Il sistema di riferimento dell’oggetto diventa il sistema di riferimento (perciò dev’essere ubicato in maniera opportuna). Possiamo pensare che, poi, su questo oggetto cadano le piattaforme di forza per l’analisi del movimento. Dopo la definizione del sistema di laboratorio, l’oggetto di calibrazione è portato via, ma è come se nel volume da esso occupato rimanesse la sua ‘impronta’. In tal caso parliamo di calibrazione statica.

I sistemi di calibrazione attuali sono molto più semplici, basta una sola persona. Si tratta di un oggetto costituito da 3 aste con un numero diverso di marker su di esse, a distanza nota tra loro e dal fulcro. Tali aste costituiscono gli assi del sistema di laboratorio. Successivamente un’asta viene rimossa e mossa in modo da spazzare in maniera più uniforme possibile il volume di misura (calibrazione dinamica). Tramite procedimenti iterativi, posso minimizzare l’errore quadratico medio a partire da una stima grezza dei parametri iniziali, fino a quando non si avrà la convergenza delle coordinate stimate dei punti con quelle inquadrate.

Abbiamo finora sempre detto che l’avere a disposizione le coordinate di un numero maggiore di punti rispetto a quelli strettamente necessari, cioè disporre di un sistema ridondante va a nostro vantaggio, ma perché? Vediamolo con questi esempi.

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di m equazioni lineari in n incognite, che può essere scritto nel modo seguente:

Se il sistema è determinato, cioè m=n, la soluzione, unica, del sistema è data da:

−1 = −

Se il sistema è sottodeterminato, cioè m<n, allora ammetterà soluzioni; ∞

se il sistema è sovradeterminato, allora m>n. In tal caso, potremmo pensare di non considerare una delle equazioni ridondanti. Cioè:

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Il sistema è equivalente a uno dei 3:

In tal caso, si otterrebbe sempre la stessa soluzione, ma questo è possibile perché stiamo considerando un problema matematico e non reale, un problema, cioè, in cui l’errore è nullo. In altre parole ci siamo posti in una situazione ideale, che non si verifica nella realtà, Nella realtà, infatti, l’errore, in certa misura, sarà sempre presente. Nei casi reali, con cui abbiamo a che fare la ridondanza può essere sfruttata proprio per ridurre l’errore, procedendo in questo modo:

In forma matriciale, il problema precedente è dato da T

Il sistema non è invertibile, perché A non è una matrice quadrata. Premoltiplicando per A ambo i membri si ottiene:

Così facendo ottengo una matrice quadrata invertibile (A, infatti, ha rango pieno), allora posso calcolare x come:

In tal caso si ottiene esattamente lo stesso risultato che otteniamo eliminando una delle equazioni. Nei casi reali, però, non è così.

Assumiamo che i dati siano affetti da rumore

Se trascuriamo una delle equazioni, si ottiene: Facendone la media

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Con l’algoritmo della pseudo-inversa, invece, si ottiene:

Nel primo caso si commette un errore in media pari a 0.3095, nel secondo pari a 0.2101. Tale errore è stato stimato calcolando la differenza tra la soluzione ottenuta in assenza di rumore (primo sistema) e quella ottenuta in presenza di rumore (secondo sistema); dopodiché della differenza tra le soluzioni è stata calcolata la norma.

Una volta stimati i parametri della DLT si può risolvere il problema della ricostruzione, o intersezione. Per far questo linearizzo le due equazioni della DLT, come visto in precedenza. Ottengo un sistema in 2 eq.ni e 3 incognite:

Riscrivo le equazioni in forma matriciale:

Con una sola telecamera che inquadra un punto non riuscirò mai a risolvere tale problema. Ho un sistema in 2 eq.ni e 3 incognite, otterrei soluzioni: tutti i punti dell’asse ∞ del raggio ottico perché tutti questi punti danno luogo alla stessa proiezione. Quindi occorrono almeno due telecamere, in modo che l’intersezione dei loro raggi ottici mi permetta di determinare le coordinate del punto. Per la seconda camera saranno diversi gli 11 parametri della DLT e le coordinate xp, yp, ma poiché il punto inquadrato è lo stesso, le incognite saranno le stesse. Se le telecamere sono di più, tanto meglio: ho un sistema ridondante, quindi mi aspetto che la soluzione migliori avvicinandosi sempre più alla soluzione vera.

Stimati i parametri della DLT, posso determinare anche i parametri interni ed esterni.

Dalla:

Ottengo:

Il primo termine è noto, perché assumiamo di aver già risolto il problema della DLT.

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• 2 Calcolo s −

Dove = = Per ora siamo interessati

Mentre = solo all’elemento (3,3)

Da cui: . . . 1x . . . 2 [ ] [ ][ ] = 1y 1 1 1 . . 11 1z2 = 11z1z 12 = 2 2 2 + + 9 10 112

Conosco, calcolandone la radice posso determinare s. Per quanto riguarda il segno vedremo tra poco come determinarlo.

• Calcolo C

Da cui:

Sul segno di d, a differenza di quanto visto per s, non si hanno incertezze. Fisicamente, infatti, d rappresenta una distanza, quindi avrà segno positivo.

• Calcolo M

Poiché è non singolare, quindi invertibile:

C

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Per quanto riguarda il segno, si sceglie arbitrariamente un segno di s (+ o -, indifferentemente). Si verifica il segno del determinante di (che, essendo una matrice M M di rotazione, deve essere uguale a +1); se è negativo si cambia il segno di s.

• Calcolo Xco

Poiché

Dove è invertibile in quanto è il prodotto di due matrici, ed entrambe con A C M,1 determinante diverso da zero.

Ripetendo questo ragionamento per tutte le camere posso concludere il processo di calibrazione.

Modello della camera a foro stenopeico

Questo modello è un modello più moderno; in tal caso, abbandoniamo la geometria classica in cui le coordinate sono coordinate cartesiane per passare alle coordinate omogenee. Vediamo come impostare il problema della collinearità con questo nuovo approccio.

Definiamo: sistema di riferimento assoluto, o di laboratorio = XYZ;

sistema di riferimento immagine = xyz;

+sistema di riferimento della telecamera: l’origine co