Biofisica - Appunti

Appunti di biofisica

Sebastian Salassi

Gennaio 2014

Questo lavoro è una trascrizione degli appunti presi durante le lezioni del corso di biofisica di laurea in Fisica presso l’università degli studi di Genova. Sarei felice di correggere ogni sorta di insensatezza: bysandman@gmail.com.

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Indice

• Forze intermolecolari 4
• Interazioni tra molecole polari 5
• Legame ionico 5
• Energia di Born 6
• Energia associata ad un dipolo 6
• Interazione ione dipolo 7
• Interazione dipolo dipolo 7
• Interazione ione dipolo rotante 8
• Interazione dipolo dipolo rotante 9
• Interazioni tra molecole apolari 9
• Polarizzazione per deformazione 9
• Polarizzazione per orientamento 9
• Interazione ione dipolo indotto 10
• Interazione dipolo dipolo indotto 11
• Forze di London 11
• Equilibri chimici 13
• Potenziale chimico 13
• Potenziale elettrochimico 14
• Potenziale chimico di una soluzione 14
• Pressione osmotica 15
• Membrana semi-permeabile - Equilibrio di Nernst 17
• Equilibrio Gibbs - Donnan 17
• Membrana carica 17
• Trasporto attraverso una membrana 20
• Leggi di Fick 20
• Prima legge 20
• Seconda legge 21
• Processo esclusivamente diffusivo 22
• Flusso non stazionario 23
• Flusso attivo e diffusivo 23
• Relazione di Einstein 24
• Approssimazione di Goldman 25
• Potenziale di riposo 27
• Meccanismi di trasporto passivo 29
• Trasporto a canale 29
• Barriera simmetrica 30
• Membrana asimmetrica con potenziale 32
• Trasporto a carrier 36
• Caso non stazionario 39
• Propagazione su una fibra nervosa 40
• Propagazione del segnale nervoso 44
• Esperimenti di Hodgkin - Huxley 44
• Inattivazione: modello di Hodgkin - Huxley 48
• Corrente al potassio 48
• Corrente al sodio 51

Capitolo 1

Forze intermolecolari

Le forze intermolecolari sono per lo più di origine elettrostatica ma sono molto più deboli delle usuali forze di legame interatomiche. Se si confronta l’energia dei legami con l’agitazione termica ne segue che i legami interatomici hanno un’energia assai maggiore dal fatto che essi sono stabili; viceversa i legami intermolecolari hanno energia di poco superiore o, molte volte, pari o inferiore e dunque non hanno la possibilità di formare dei legami molto stabili, o in alcuni casi, l’energia necessaria per romperli è decisamente ridotta in confronto, ad esempio, alla rottura di un legame covalente.

Tuttavia esse rivestono un ruolo molto importante in biologia,¹ per esempio i legami idrogeno sono responsabili della struttura di molti complessi proteici, è famoso il caso del geco: riesce ad arrampicarsi sulle pareti grazie alle forze di Van der Waals, un gruppo di forze intermolecolari, fra le più deboli, ma che si esercitano fra tutte le molecole presenti in un sistema.

Inoltre la bassa energia di rottura di tali legami li rende favorevoli in quelle circostanze in cui si rende necessario un accoppiamento perfetto tra due strutture chimiche: ad esempio i legami che permettono l’associazione del substrato all’enzima specifico: se l’energia per formare o rompere il legame fosse troppo elevata il ruolo dell’enzima potrebbe essere differente.²

Le forze intermolecolari tra sostanze polari possono presentare i seguenti casi, in ordine di energia decrescente:

• Ione ione, ad esempio un cristallo ionico;
• Ione dipolo, ad esempio la solvatazione di un cristallo ionico in acqua;³
• Ione dipolo rotante: si forma quando l’energia del precedente legame è inferiore all’energia termica e dunque non riesce a mantenere il dipolo fisso in una determinata direzione;
• Dipolo dipolo;
• Dipolo dipolo rotante;

Con il meccanismo della polarizzazione forze simili si possono instaurare anche tra sostanze polari e non polari:⁴

• Ione dipolo indotto;
• Dipolo dipolo indotto;
• Dipolo dipolo indotto rotante;
• Molecola non polare molecola non polare: queste sono sempre presenti e prendono il nome di forze di dispersione di London.

Il legame a idrogeno è un caso particolare di una combinazione delle precedenti, per esempio si instaura tra le stesse molecole di acqua: da ciò deriva il fatto che il ghiaccio ha una minore densità, per la felicità dei pesci. Tale forza si può sviluppare quando l’idrogeno forma composti con atomi molto elettronegativi,⁵ come l’ossigeno o l’azoto, questi ultimi attraggono maggiormente a sé la densità elettronica lasciando una carica +δ su ciascun atomo di idrogeno. Questa separazione di carica può dare origine a un momento di dipolo oppure no, come è il caso del metano, ma molecole vicine si orienteranno, in modo più o meno stabile a seconda dell’energia termica, per rivolgere la parte con densità di carica negativa in direzione dell’atomo di idrogeno.

1.1 Interazioni tra molecole polari

1.1.1 Legame ionico

Consideriamo due ioni di carica opposta come nel caso del cristallo NaCl. L’energia contenuta nel legame si può calcolare mediante la formula di Coulomb:

w = 1 / 4πϵ₀ · z₁z₂e² / a

dove z è la valenza degli atomi, e la carica dell’elettrone e a la distanza tra i centri dei due ioni. Nel caso del cloruro di sodio z₁ = 1, z₂ = −1, a = r_Na + r_Cl = 0.276 nm, dunque w ≁ −8.4 · 10⁻¹⁹ J. Moltiplicando per il numero di Avogadro:

w ≁ −500 kJ/mol

comparabile all’energia in un legame covalente, per esempio nel legame O−H l’energia è ∼ −460 kJ/mol. L’energia cresce ancora se si considera che i composti ionici tendono a formare cristalli organizzati: in questo modo si minimizza l’energia potenziale. Nel caso del cloruro di sodio si ha:

w ≁ −880 kJ/mol, decisamente molto stabile.

1.1.2 Energia di Born

L’energia di Born è il lavoro contro le forze elettrostatiche per dare origine ad uno ione: nel caso dello ione Na⁺, per esempio, è l’energia necessaria per allontanare all’infinito l’elettrone della shell più esterna. Sia q una carica con potenziale V, allora il lavoro necessario per aumentare, o diminuire, la carica di dq è dW = V dq, sostituendo il potenziale di una carica distribuita in una sfera di raggio r:

μ = ∫dW = ∫₀^Q qdq / 4πϵ₀r = Q² / 8πϵ₀r

nel caso di ioni Q = ze:

μ = 1 / 8πϵ₀r · (ze)²

1.1.3 Energia associata ad un dipolo

Sia un dipolo formato da due ioni con carica +q e −q alla distanza δ. L’energia complessiva associata al sistema è dovuta al lavoro necessario per costruire il sistema, porre le cariche dall’infinito alla distanza δ, più i due contributi di energia dovuti alla formazione degli ioni:

μ = 1 / 8πϵ₀a · (ze)² + 1 / 8πϵ₀a · (ze)² − 1 / 4πϵ₀δ · (ze)²

dove a è il raggio dello ione. Se supponiamo si ha δ = 2a:

μ = 1 / 8πϵ₀a · (ze)² = 1 / 4πϵ₀δ · (zp)²

dove p = zeδ è il momento di dipolo.

1.1.4 Interazione ione dipolo

Sia uno ione di carica ze e un dipolo p = 2qδ alla distanza r dallo ione, con r ≫ δ, e orientato secondo l’angolo θ rispetto alla direzione di r. L’energia del legame è:

w = 1 / 4πϵ₀ · zeq / r₊ − 1 / 4πϵ₀ · zeq / r₋

con r₊ e r₋ distanza dalla cariche del dipolo dallo ione. Dalla figura si può scrivere:

r₊² = r² + δ² − 2rδ cos(π − θ) = r² + δ² + 2rδ cos θ

r₋² = r² + δ² − 2rδ cos θ

dato δ ≪ r si può approssimare:

r₊ = √r² + δ² + 2rδ cos θ ≁ r√1 + 2δ/r cos θ ≁ r + δ cos θ;

similmente si ottiene r₋ ≁ r − δ cos θ. Sostituendo:

w(r, θ) = − zeq / 4πϵ₀ · 2δ cos θ / r² − δ² cos² θ ≁ − zep cos θ / 4πϵ₀r²

Nell’esempio ione sodio e acqua si ha r = a_Na + a_H2O = 0.235 nm e consideriamo la configurazione più stabile, minor energia, si ottiene θ = 0, w ≁ −1.6 · 10⁻¹⁹ J.

Se moltiplichiamo per il numero di Avogadro N_A = 6.02 · 10²³ si ottiene w ≁ −96 kJ/mol, valore simile a quello ottenuto sperimentalmente ∼ −100 kJ/mol. Possiamo anche compararla con l’energia termica molare a 300 K:

k_bTN_A = 2.5 kJ/mol; si ha w ≁ −39 k_bTN_A.

1.1.5 Interazione dipolo dipolo

Consideriamo due dipoli p₁ e p₂ alla distanza r, sia θ₁ e θ₂, rispettivamente, l’angolo che p₁ e p₂ forma con la congiungente r e sia l’angolo φ che forma con un piano parallelo a p₁, positivo in senso antiorario. Dagli stessi ragionamenti per il caso ione-dipolo, ma matematicamente più complicato dalla presenza di quattro variabili si giunge alla seguente espressione per l’energia di interazione:

w(r, θ₁, θ₂, φ) = − p₁p₂ / 4πϵ₀r² · (2 cos θ₁ cos θ₂ − sin θ₁ sin θ₂ cos φ)

Si possono analizzare alcuni casi limite: la massima interazione si ha quando θ₁ = θ₂ = 0, ossia quando i dipoli sono allineati, in questo caso φ può assumere qualunque valore:

w(r, φ) = − p₁p₂ / 2πϵ₀r²

viceversa la minima interazione si ha quando i dipoli sono antiparalleli: ↑ ↓, dunque θ₁ = θ₂ = π/2 e φ = π:

w(r) = − p₁p₂ / 4πϵ₀r²

1.1.6 Interazione ione dipolo rotante

Si ha un dipolo rotante quando l’energia di interazione nel legame, confrontata con l’agitazione termica k_bT, non è sufficiente a far allineare il dipolo in una determinata posizione. La conseguenza è un equilibrio dinamico e il dipolo oscillerà in tutto l’angolo solido rispetto ad una posizione di equilibrio. L’energia di una tale interazione è necessariamente una media sull’angolo solido dell’energia associata a ciascuna configurazione che il sistema può assumere. Dalla distribuzione di Boltzmann e dal teorema della distribuzione del potenziale si può scrivere, indicando con w(r, θ, φ) l’energia istantanea:

w(r) = ⟨w(r, θ, φ)⟩_T

e^−w(r)/k_bT = ⟨e^{−w(r,θ,φ)/k_bT}⟩_T

dato w ≪ k_bT, si può espandere entrambi i membri in serie di Taylor:

1 − w(r) / k_bT + 1 / 2(k_bT)² · w(r)² = 1 − ⟨w(r, θ, φ)⟩ / k_bT + 1 / 2(k_bT)² · ⟨w(r, θ, φ)²⟩

w(r) = ⟨w(r, θ, φ)⟩ − 1 / 2k_bT · ⟨w(r, θ, φ)²⟩

w(r, θ, φ) è l’energia di interazione di un legame ione - dipolo, da quanto visto precedentemente si ha:

w(r, θ, φ) = − qp cos θ / 4πϵ₀r²

allora ⟨w(r, θ, φ)⟩ ∝ ⟨cos θ⟩ e analogamente per il quadrato. Effettuando il calcolo:

⟨cos θ⟩ = 1 / 4π ∫ cos θdΩ = 1 / 4π ∫₀^2π dφ ∫₋₁¹ cos θd(cos θ) = 0

⟨cos² θ⟩ = 1 / 4π ∫₀^2π dφ ∫₋₁¹ t²dt = 1 / 2 · 1 / 3 · t³ = 1 / 3

sostituendo si ottiene:

w(r) = − 1 / 2 · q²p² / (4πϵ)² · 1 / 6k_bTr⁴

1.2 Interazioni tra molecole apolari

1.1.7 Interazione dipolo dipolo rotante

Come per il caso precedente si deve mediare l’energia di interazione dipolo - dipolo sull’intero angolo solido. Il risultato è chiamata energia di Keesom:

w(r) = − 1 / 2 · p₁²p₂² / (4πϵ)² · 1 / 3k_bTr⁶

Si nota che è interazione decisamente più debole di tutte quelle incontrate fino ad ora: essa va come 1/r⁶! Questo tipo di interazione è la prima del gruppo delle forze di Van der Waals. Se sostituiamo dei valori tipici per l’acqua: p = 6 · 10⁻³⁰ C·m, r = 2 · 0.2 nm e supponiamo a temperatura T = 300 K, si ottiene w ∼ −1.4 kJ/mol; la corrispondente energia cinetica dovuta all’agitazione termica è k_bT ≁ 2.7 kJ/mol.

1.2.1 Polarizzazione per deformazione

La polarizzazione per deformazione è un meccanismo per cui un atomo posto in un campo elettrico esterno deforma la sua configurazione di carica, neutra, in modo da acquisire un momento di dipolo indotto nella direzione del campo elettrico e proporzionale ad esso:

p = αE

dove α è la polarizzabilità per deformazione o polarizzabilità elettronica. Considerando il modello di Bohr dell’atomo di idrogeno si può ricavare una stima del valore di α. Come si vede in figura il campo elettrico “sposta” l’orbita dell’elettrone nella direzione contraria al campo ma l’interazione elettrostatica interna nucleo - elettrone provoca una forza di richiamo: vi è equilibrio quando si ha bilanciamento fra le due forze. Le forze che agiscono sull’elettrone nella direzione del campo elettrico sono:

|F_e| = eE

|F_int| = e² cos θ / 4πϵ₀R²

il bilanciamento impone |F_e| = |F_int|; dato t = R cos θ e p = te si ha:

eE = te² / 4πϵ₀R³ = pe / 4πϵ₀R³

dunque:

α = 4πϵ₀R³

1.2.2 Polarizzazione per orientamento

Quando un dipolo con momento di dipolo proprio viene posto in un campo elettrico esterno esso tende ad orientarsi lungo la direzione del campo, compatibilmente con l’agitazione termica che, contrariamente, tende al disordine. L’en

¹ Tant’è che la rottura dei legami covalenti nella struttura del glucosio, o composti chimici simili, è la principale fonte di energia per la maggior parte degli organismi viventi.

² Al contrario, molte volte, sono proprio gli enzimi che permettono la rottura di legami più forti, per esempio il saccarosio viene scisso nelle due componenti di glucosio e fruttosio mediante una reazione di idrolisi promossa da un enzima specifico, appartenente alla famiglia delle idrolasi.

³ Quando un composto ionico viene posto in acqua, per esempio, si ha la dissociazione degli ioni e questi tendono ad essere circondati in modo omogeneo dalle molecole di acqua. Quest’ultimo processo viene chiamato solvatazione.

⁴ Ricordiamo che una molecola si dice polare quando è presente un momento di dipolo proprio, come è il caso dell’acqua o del gruppo OH−. In genere tale proprietà dipende dall’elettronegatività degli atomi coinvolti, ma soprattutto dalla struttura della molecola. Le molecole che, a seguito di un cambiamento strutturale, hanno la possibilità di acquisire un momento di dipolo sono dette zwitterioni; per esempio molti amminoacidi possono acquisire una carica elettrica in una parte della struttura in funzione del pH della soluzione.

⁵ In un legame covalente l’elettronegatività di un atomo è la tendenza ad attrarre a sé la densità elettronica degli orbitali coinvolti nel legame.