Storia del calcolo infinitesimale: Origini, sviluppo e rami disciplinari

M. F. Ingrande – Aspetti didattici della storia del calcolo infinitesimale

Ringraziamenti

Non è stato per nulla semplice scrivere questi ringraziamenti in quanto questa università mi ha conosciuto già grande e per i soli due anni della laurea specialistica, quindi non mi ha permesso di conoscere molte persone da poter citare in questi ringraziamenti.

Il dovere, la stima e molto di più mi portano ad assegnare il primo ringraziamento al Professor Mario Barra, relatore di questa tesi. In primis (parola che lui odia!) per le splendide lezioni, oserei dire le migliori e le più appassionanti della mia carriera universitaria. In secondo luogo per aver creduto in me fino alla fine e nonostante tutto, e per avermi insegnato a controllare e a domare il mio “delirio di onnipotenza”, come spesso lui stesso l’ha definito.

Ma il ringraziamento ancora più doveroso è ai miei genitori, veri e propri finanziatori, soprattutto morali, di questo progetto. A mamma Erminia, che inconsciamente ha messo in me il seme della curiosità matematica. Per tutte quelle volte che mi sono sentita dire “Fai da sola!” e che solo oggi riesco a comprendere e apprezzare. E a papà Franco che, con poche parole e molti gesti, mi ha continuamente dimostrato fiducia sempre accompagnata da un pizzico di apprensione.

Ultimi, ma ovviamente non meno importanti, i ringraziamenti alle persone che mi sono state vicino e che mi hanno sempre sostenuto:

Al resto della mia famiglia, nonni, zii e cugini, per i loro mille interessamenti e consigli. A Peppe, per aver saputo sopportare con pazienza e affetto i miei mille sbalzi d’umore e il mio nervosismo. Per avermi saputo ascoltare, rincuorare e incoraggiare in ogni momento. A Salvo, correttore ufficiale di tutti i miei lavori, ma soprattutto della mia vita. A Monica, unica persona che ha saputo accogliermi e starmi vicino nei momenti tristi lontana da casa. A Carmela e Enza, amiche insostituibili che hanno saputo cancellare la distanza che ci ha separate, per il loro amore infinito e la loro allegria fuori dal comune. E a Gioacchino, maestro nella fede e nella vita, per le sue preghiere e raccomandazioni a unico autore del Lui, libro della mia vita.

Francesca Ingrande

Roma, 30 gennaio 2009

Indice

I ………………………………………

Introduzione p. 6

Capitolo 1 Alcuni aspetti didattici del calcolo infinitesimale 11

1.1 Calcolo infinitesimale a scuola ………………………………….... 13

1.2 Calcolo infinitesimale e il computer ……………………………… 17

1.3 Dimostrazioni matematiche e immagini mentali …………………

Capitolo 2 Strumenti didattici

2.1 Gli strumenti a disposizione: ieri e oggi ……………………..... 20

2.1.1 Le calcolatrici grafiche ………………………………………..... 23

2.1.2 Un nuovo software: il Cabri Géomètre ……………………. 29

2.1.3 Un aiuto dalla rete: il Cabri Java …………………………… 33

2.2 Le motivazioni per l’utilizzo di software di geometria dinamica (DGS) ………………………………………………………………. 36

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Capitolo 3 Le radici del calcolo infinitesimale 41

3.1 Il pensiero matematico greco …………………………………... 44

3.2 Archimede di Siracusa …………………………………………... 52

3.3 Il metodo di esaustione ………………………………………..

3.4 Un esempio del metodo di esaustione tratto dalla Misura del cerchio ……………………………………………………………... 55, 60

3.5 Il metodo meccanico di Archimede …………………………….

Capitolo 4 Teoremi antichi con nuove soluzioni 67

4.1 Due teoremi dal Metodo di Archimede ……………………… 69

4.1.1 L’unghia cilindrica ………………………………………… 69

• I risultati di Archimede ………………………………….. 97
• Nuove soluzioni e applicazioni …………………………. 97

Area e volume della sfera……………………………………

Area della superficie curva e volume dell’unghia cilindrica……………………………………………………………… 101, 108

Area della sinusoide………………………………………… 111

4.1.2 L’intersezione dei cilindri ……………………………… 111

• Il risultato di Archimede ………………………………… 121
• Nuova soluzione e alcune considerazioni ……………… 126

4.2 Da Sulle Spirali ………………………………………………… 129

4.2.1 La spirale di Archimede ………………………………… 132

• L’area della spirale determinata da Archimede ………… 134
• Le “radialità”………………………………………………
• Area della spirale di Archimede (nuova soluzione)…… 144
• - 4 - 147
• Calcolo di altre aree ……………………………………… 147

Area dell’artiglio ………………………………………… 149

Area della cardioide………………………………………… 160

Area del solido iperbolico acutissimo…………………… 163

Appendice 1: Somma dei quadrati degli interi

Appendice 2: Elenco dei siti che utilizzano Cabri Géomètre e Cabri Java ………………………………………………………… 167, 174

Bibliografia ………………………………………………………… 180

Sitografia - 5 -

Introduzione

Il calcolo infinitesimale è stato uno degli strumenti più importanti per lo sviluppo di molte teorie nel campo delle scienze e in particolare della matematica.

Margaret Baron nel suo The origins of the infinitesimal calculus paragona il concetto di calcolo ad un grande albero con le radici nell’aritmetica, nell’algebra e nella geometria, e un potente tronco a sostegno di una vasta rete di rami: l’albero cresce in altezza quanto più forti sono le radici e i rami, poi una volta separate dalle principali le discipline si diramano ulteriormente, fino a divergere così tanto da mai più riunirsi¹.

Il calcolo infinitesimale è stato il principale strumento per l’esplorazione delle risorse della terra, per i grafici dei cieli, per la costruzione della moderna tecnologia e in quelle applicazioni che si verificano ovunque esistano fenomeni misurabili: gravitazione, calore, luce, suono, elettricità, magnetismo e onde radio.

Praticamente ogni importante sviluppo scientifico e matematico dal 1600 al 1900 è stato collegato in un modo o in un altro al metodo differenziale o integrale.

“Ritengo di poter affermare che nessuna disciplina scientifica ha avuto sulle altre Scienze un impatto così vasto e profondo come il Calcolo infinitesimale. Esso ha costituito un’autentica svolta nell’umano pensiero e, con le scoperte scientifiche che ha originato e le realizzazioni tecniche che ha permesso, ha contribuito, in modo determinante, al progresso ed al benessere del genere umano […].”²

¹ Baron M. E.., The origins of the infinitesimal calculus, Pergamon, 1969, p. 2.

² Fichera G., Il calcolo infinitesimale alla soglie del duemila, Dalla Conferenza tenuta nella seduta a Classi riunite del 13 marzo 1993 all’Accademia dei Lincei.

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Il calcolo, tuttavia, è molto di più di uno strumento tecnico: si tratta di una raccolta di idee matematiche astratte accumulate per lunghi periodi di tempo. Il fondamento e il concetto centrale di oggi, però, non sono ciò che sono stati negli ultimi secoli. La forza unificante e la ricchezza del suo campo di applicazione dipendono non solo da ciò che il calcolo è ora, ma da tutti i concetti che hanno contribuito in un modo o nell’altro alla sua evoluzione.

È sbagliato però pensare che il problema dell’infinitamente piccolo sia sorto solo in tempi così moderni, poiché ne troviamo tracce anche nell’antichità, soprattutto nella matematica greca.

Allora la mentalità e i problemi analizzati presupponevano un metodo diverso di procedere, cercando di ridurre il conflitto tra le richieste di rigore matematico e la natura dell’infinitamente grande e dell’infinitamente piccolo che conduceva continuamente a paradossi e anomalie.

Tra i tanti matematici greci che si occuparono di questi problemi spicca la figura di Archimede di Siracusa.

Archimede può in qualche modo essere concepito come il precursore di quella fisica-matematica che oggi si basa quasi esclusivamente su procedimenti infinitesimali. Egli fornisce un vero e proprio metodo di analisi volto a divulgare questi procedimenti giudicati importanti dallo stesso matematico siracusano.

I problemi affrontati da Archimede e qui riproposti sono poco o quasi per nulla conosciuti e affrontati nella scuola forse perché ritenuti troppo prolissi e complicati.

È noto il fatto che le questioni di cui si occupava Archimede erano tra le più insolite, ma proprio questo le rendeva sicuramente interessanti e stimolanti.

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In questo lavoro abbiamo provato ad affrontare questi problemi cercando di utilizzare metodi nuovi e strumenti tecnici che potrebbero essere efficaci. Facendo uso del Cabri Géomètre abbiamo realizzato disegni dinamici e non, che ci hanno permesso sia di semplificare le stesse dimostrazioni di Archimede, sia di proporne altre che, grazie alla dinamicità della figura, si riducono a pochi passaggi.

Prendendo spunto dal pensiero di Jacques Hadamard che nel 1945 così scrive sulla psicologia dell’invenzione in campo matematico:

“l’invenzione è scelta” e “questa scelta è governata dal senso della bellezza”³, abbiamo cercato prevalentemente di realizzare disegni esteticamente piacevoli, puntando sull’accostamento dei colori, su chiaroscuri e trasparenze in modo da evidenziare i particolari.

Abbiamo ancora cercato di essere più chiari e brevi possibile, provando ad utilizzare i colori in luogo delle lettere in maniera tale da evidenziare le figure e associando i file di Cabri, che permettono il “movimento” delle figure stesse, per cercare di ridurre al massimo i passaggi matematici.

Tutto questo con lo scopo di alleggerire e rendere “appetibili” le dimostrazioni archimedee e provare così ad utilizzarle anche a scuola, cercando di stimolare l’intuizione e le capacità intellettive dello studente.

La tesi si divide in 4 capitoli. Il primo vuole mettere in evidenza alcuni aspetti didattici del calcolo infinitesimale, come viene proposto a scuola e alcune difficoltà che potrebbe suscitare negli studenti.

Nel secondo capitolo vengono presentati gli strumenti didattici che potrebbero essere d’aiuto al processo di apprendimento degli studenti. Questi strumenti sono di facile utilizzo, ma purtroppo ancora poco introdotti nelle scuole italiane.

³ Hadamard J., La psicologia dell’invenzione in campo matematico, a cura di B. Sassoli, Cortina, 1993.

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Nel terzo capitolo abbiamo esposto le descrizioni dei periodi storici, presentando il pensiero matematico dei greci ed in particolar modo lo sviluppo del concetto di “indivisibile”, passando da Democrito ad Aristotele, Eudosso ed Euclide, fino ad arrivare ad Archimede. Del famoso matematico siracusano abbiamo dato una breve biografia, con noti aneddoti (leggendari e non) sulla sua vita ed accennato ad alcuni suoi importanti lavori, al fine di fornire un quadro più completo possibile della situazione in cui le scoperte matematiche sono state fatte.

Pensiamo, infatti che, la storia fornisca un ottimo supporto per capire il significato di molti avvenimenti. Non di meno gli aneddoti storici e i percorsi che portano i matematici alle loro scoperte, potrebbero stimolare la curiosità e offrire motivazioni in più per lo studio.

Infine, negli ultimi due paragrafi di questo capitolo abbiamo esposto, nelle linee generali e con un esempio, il Metodo di Esaustione di Eudosso e il Metodo meccanico di Archimede, quest’ultimo basato sull’equilibrio della leva.

L’ultimo capitolo contiene le dimostrazioni archimedee e alcune proposte di dimostrazioni differenti degli stessi risultati.

In particolare abbiamo trattato: 1) lo studio dell’“unghia cilindrica”, 2) l’intersezione di due cilindri retti (problemi presenti nel Metodo, ritrovato solo nel 1906), 3) l’area della spirale di Archimede. In queste dimostrazioni abbiamo cercato di affiancare ai passaggi matematici di Archimede, alcune figure (non presenti nel testo archimedeo) che li potessero chiarire meglio. Abbiamo realizzato alcune “bilance”, per provare a rendere visibile l’applicazione del principio della leva di cui Archimede si serve in queste dimostrazioni. E nella seconda dimostrazione riguardante l’“unghia cilindrica”, abbiamo provato a utilizzare le “funzioni” (strumento sconosciuto ad Archimede) per rendere scorrevoli alcuni passaggi.

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Si possono trovare molti richiami a proposizioni presenti in altre opere, come le Coniche di Apollonio, gli scritti di Aristotele e Euclide o ancora opere archimedee precedenti al Metodo.

Successivamente abbiamo provato a semplificare le stesse dimostrazioni archimedee e a servirci di questi risultati per ottenere da esse altri risultati e considerazioni. Sfruttando il movimento prodotto da Cabri abbiamo ricavato l’area della superfice e il volume della sfera, l’area della superfice e il volume dell’unghia cilindria e l’area della sinusoide con dimostrazioni geometriche e “dinamiche”. Attraverso una nuova trasformazione, la “radialità”, che permette di avvolgere una figura attorno ad un cerchio in modo tale da avere una certa proporzionalità tra l’area della superfice della figura di partenza e quella ottenuta dopo la trasformazione, abbiamo ricavato, oltre all’area della spirale di Archimede, anche quella della cardioide, e abbiamo dato vita ad alcuni “fiori” grazie alla trasformazione radiale di un cerchio.

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Capitolo 1

Alcuni aspetti didattici del calcolo infinitesimale

1.1 Calcolo infinitesimale a scuola

I concetti di limite e di infinitesimo hanno avuto ruoli fondamentali nello sviluppo dell’analisi e dell’intera matematica, e tutt’oggi assumono un ruolo di primaria importanza nella didattica della matematica soprattutto per quanto riguarda la scuola secondaria superiore.

L’introduzione dei procedimenti infinitesimali nella scuola secondaria superiore avviene prima intuitivamente (si pensi alla nozione di asintoto di una curva studiata attraverso la sua rappresentazione analitica), per poi lasciare spazio alla trattazione dei concetti propri dell’analisi. Per quanto riguarda quest’ultimi, i manuali di analisi matematica in uso nelle scuole secondarie propongono un’introduzione basata sulla moderna nozione di limite e tale impostazione viene

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generalmente mantenuta nei manuali universitari. Alla presentazione del concetto di limite fa seguito, tradizionalmente, quella di derivata (intesa come limite della funzione rapporto incrementale) e quindi dell’integrale (anch’esso basato sul concetto di limite). Poiché il calcolo del limite è spesso complesso e si tende a ricordare solo il risultato, il calcolo infinitesimale diventa una vera e propria routine: la banale applicazione di regole che non permettono di apprendere il vero senso di ciò che si sta facendo. Ad esempio, determinare un integrale definito significa fondamentalmente determinare un’area data una funzione, ma in antichità le funzioni non esistevano e i problemi di integrazione erano di natura squisitamente geometrica.

Pensiamo infatti, che alcuni ostacoli che portano ad un accantonamento dell’analisi matematica possano essere legati alla simbologia e al linguaggio estremamente articolato che viene utilizzato.