Appunti vari di Analisi Matematica I

Funzione surgettiva

Definizione: La funzione \( f \) è surgettiva se il codominio di \( f \) è uguale all'insieme di arrivo.

Funzione iniettiva

Definizione: Per ogni \( a_1, a_2 \in A \), se \( a_1 \neq a_2 \) allora \( f(a_1) \neq f(a_2) \).

Funzione bigettiva

Definizione: La funzione \( f \) è contemporaneamente iniettiva e surgettiva.

Funzione inversa

Definizione: Si dice inversa di \( f \), e si denota con \( f^{-1} \), quando esiste una funzione tale che \( f^{-1} \circ f(x) = x \).

Osservazione: La funzione è invertibile se esiste la sua inversa.

Funzione monotona crescente (decrescente)

Definizione: Se \( x_1 < x_2 \) allora \( f(x_1) \leq f(x_2) \) (oppure \( f(x_1) \geq f(x_2) \)).

La funzione si dice monotona strettamente crescente (decrescente) se le precedenti disuguaglianze valgono in senso stretto.

Funzione pari e dispari

Definizione: La funzione \( f \) si dice pari se \( f(x) = f(-x) \). La funzione \( f \) si dice dispari se \( f(x) = -f(-x) \).

Decomposizione di una funzione

Definizione: Si può scrivere \( f(x) = f_p(x) + f_d(x) \) tale che:

• \( f_p(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} \), parte pari di \( f \)
• \( f_d(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} \), parte dispari di \( f \)

Assioma di separazione (di Dedekind)

Definizione: Per ogni \( a \in A \) e \( b \in B \), esiste \( c \in \mathbb{R} \) tale che \( a \leq c \leq b \).

Osservazione: L’insieme \( \mathbb{R} \) soddisfa l’assioma di separazione.

Proprietà archimedea

Definizione: Per ogni \( a \in \mathbb{R} \) con \( a > 0 \), esiste \( n \in \mathbb{N} \) tale che \( n \geq a \).

Maggioranti e minoranti

Definizione: Un numero \( m \in \mathbb{R} \) è un maggiorante di \( A \) se per ogni \( a \in A \), \( a \leq m \). L’insieme dei maggioranti di \( A \) si denota con \( M \).

Un numero \( m \in \mathbb{R} \) è un minorante di \( A \) se per ogni \( a \in A \), \( a \geq m \). L’insieme dei minoranti di \( A \) si denota con \( m \).

Insieme limitato, limitato superiormente e inferiormente

Definizione: L'insieme \( A \) si dice limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente.

\( A \) si dice limitato superiormente se \( M \neq \emptyset \).

\( A \) si dice limitato inferiormente se \( m \neq \emptyset \).

Estremo superiore e inferiore

Definizione: Si indica con \( \sup A \) il più piccolo dei maggioranti di \( A \). Se \( \xi = \sup A \in A \), allora \( \xi \) si dice massimo di \( A \), \( \max A \).

Si indica con \( \inf A \) il più grande dei minoranti di \( A \). Se \( \xi = \inf A \in A \), allora \( \xi \) si dice minimo di \( A \), \( \min A \).

Funzione limitata

Definizione: Una funzione \( f \) è limitata se l'insieme \( I \) è limitato, ovvero se \( f \) è limitata superiormente o inferiormente.

Punto interno ed esterno

Definizione: Un punto \( x_0 \in \mathbb{R} \) si dice interno ad \( A \) se \( x_0 \in A \) ed esiste un intorno \( I(x_0) \) di \( x_0 \) tale che \( I(x_0) \subset A \).

Un punto \( x_0 \in \mathbb{R} \) si dice esterno ad \( A \) se \( x_0 \) è interno ad \( A^C \).

Punto di frontiera

Definizione: Un punto \( x_0 \in \mathbb{R} \) si dice di frontiera se non è né interno né esterno ad \( A \).

Intervallo aperto e chiuso

Definizione: Un insieme \( A \subset \mathbb{R} \) si dice aperto se tutti i suoi punti sono interni.

Un insieme \( A \subset \mathbb{R} \) si dice chiuso se il suo complementare è aperto.