Matematica 2 - Appunti

Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni equazione algebrica di grado n ha esattamente n radici in _C. Se i coefficienti nell'equazione sono tutti reali, allora le radici sono reali o a coppie complesse coniugate.

Distanza di un vettore dall'origine

||x|| Norma euclidea di x

Ld √(x₁² + x₂² + ... + x_n²)

|| || ≥ 0 la norma di un qualunque vettore è sempre > 0

||x|| = 0 è possibile solo in un caso: quando x = (0, 0, ..., 0) = 0

d(x, x₀) = ||x - x₀|| == √((x₁ - x₀₁)² + ... + (x_n - x_0n)²)

Definiamo U(x₀) come l'insieme degli x tali che ||x - x₀|| < δ

x ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ) = U(x₀)

Definiamo U(x₀) l'insieme degli x ∈ ^m tali che ||x - x₀|| ≤ δ

Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni equazione algebrica di grado n ha esattamente n radici in C.

Se i coefficienti nell'equazione sono tutti reali allora le radici sono reali o coppie coniugate.

Distanza di un vettore dall'origine

||X|| Norma euclidea di X

||X|| > 0 la norma di un qualunque vettore è sempre > 0

||X|| = 0 è possibile solo in un caso, quando X = (0,0,...,0) = 0

d(x,x₀) = ||x-x₀|| == √(x₁-x₀₁)² + ... + (x_m-x_0m)²

Definiamo u(x₀) come l'insieme degli x tali che ||x-x₀|| < δ

x ∈ (x₀- δ, x₀+ δ) = u(x₀)

Definiamo u(x₀) l'insieme degli x ∈ R^m tali che ||x-x₀|| ≤ δ

Insieme aperto

A (insieme) A è detto aperto se ogni punto X∈A è punto interno ad A, cioè:

∃U(x₀, δ) ⊆A

Intorno del punto x₀ di raggio δ contenuto

Definizione

Sia f:E⊆ℝ^m→ℝ^m

X₀≠X punto di accumulazione di E, si dice che lim f(x)= l se lim f(x)=0

X→X₀ ║X−X₀║→0 si dice che X∈E e punto di accumulazione per E se in ogni intorno di X (∈ U(x, δ)) esiste almeno un punto di E diverso da X.

Definizione

Sia f:E⊆ℝ^m→ℝ^m

X₀≠X punto di accumulazione per E, si definisce lim f(x)=+∞ se lim f(x)=+∞

X→X₀ (−∞) ║X−X₀║→0 (−∞)

Definizione

Sia f:E⊆ℝ^m→ℝ

E=illimitato, si dice che lim f(x)= l

X→∞ (−∞) se lim f(x)= l ║X║→+∞

Insieme che non è limitato ma superiormente ne inferiormente.

Definizione

Sia f E AC^m e D R. A aperto X_o E A si dice che f è continua in X_o se lim f(x) = f(x_o)

X -> X_o

Se invece f è continua in ogni X E A si dice che f è continua in A e si scrive f E C⁰(A)

Massimo assoluto

Sia f E C⁰m X_o E E, f E D R, si dice che X_o è un punto di massimo assoluto per f se f(x) = f(x_o) ∀ X E E

Teorema di Weierstrass

Sia f: E E C^m → D R, E E sia chiuso e limitato, f E C⁰(E), allora esistono due punti X₁, X₂ E E tali che: f(X₁)