Matematica 2

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di cangio

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Appunti di Istituzioni di matematica 2 basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Strani, dell’università degli Studi Ca' Foscari Venezia - Unive, …

Esame Istituzioni di matematica 2

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Strani Marta

Università Università degli studi Ca' Foscari di Venezia

A.A. 2020-2021

98 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Derivate parziali

Derivate parziali

∂f/∂x (x_o, y_o) = lim_h→0 (f(x_o+h, y_o) - f(x_o, y_o))/h

∂f/∂y (x_o, y_o) = lim_k→0 (f(x_o, y_o+k) - f(x_o, y_o))/k

Differenziabilità

lim_{(h,k)→(0,0)} (f(x_o+h, y_o+k) - f(x_o, y_o) + f_x(x_o, y_o)h + f_y(x_o, y_o)k) / √(h² + k²)

Derivate parziali rispetto a v

∂f/∂v (x_o, y_o) = lim_h→0 (f(x_o+h·u_x, y_o+h·u_y) - f(x_o, y_o))/h

Gradiente

Gradiente

∂f/∂v (x_o, y_o) = ▽f (x_o, y_o) · ^v

Derivate parziali

∂f/∂x (x₀, y₀) = lim_h→0 [f(x₀+h, y₀) - f(x₀, y₀)] / h

∂f/∂y (x₀, y₀) = lim_k→0 [f(x₀, y₀+k) - f(x₀, y₀)] / k

Differenziabilità

lim_{(h,k)→(0,0)} [f(x₀+h, y₀+k) - f(x₀, y₀) + f_x(x₀, y₀)h + f_y(x₀, y₀)k] / √(h² + k²)

Derivate parziali rispetto a v

∂f/∂v (x₀, y₀) = lim_h→0 [f(x₀+h⋅u_x, y₀+h⋅u_y) - f(x₀, y₀)] / h

Gradiente

∂f/∂v (x₀, y₀) = ∇f (x₀, y₀) ⋅ v̅

Geometria analitica

Piano

Piano

Equazione: ax + by + cz + d = 0

Un piano ha sempre due facce, tranne il nastro di Möbius.

Se manca una variabile (x, y, z), il piano è parallelo all'asse della variabile mancante.

Per un punto passano infiniti piani: "stella di piani"

Eq "stella di piani"

P₀ ∈ π

ax₀ + by₀ + cz₀ + d = 0

d = - (ax₀ + by₀ + cz₀)

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

Retta

Retta

Per una retta passano infiniti piani. Uno dei modi per rappresentare una retta in forma cartesiana, è l'intersezione di due piani:

{ax + by + cz + d = 0 π

{a'x + b'y + c'z + d' = 0 π'

N_π (x, y, z)

N_π' (x', y', z')

Distanza di un punto da un piano:

d (P₀, π) se conosciamo l'eq. del piano = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

Forma parametrica

Forma parametrica

{x = x(t)y = y(t)z = z(t)}

P₁P₂ = t₀ P₂ P₂ (congiungente)

v = P₁P₂

x: x - x₁ = (x₂ - x₁) t

y: y - y₁ = (y₂ - y₁) t

z: z - z₁ = (z₂ - z₁) t

{x = x₁ + ℓt

y = y₁ + mt

z = z₁ + nt}

OP = oP₁ + v t

x - x₁ / x₂ - x₁ = y - y₁ / y₂ - y₁ = z - z₁ / z₂ - z₁

Coniche

Circonferenza

Circonferenza

Equazione: x² + y² + ax + by + c = 0

C (α, β)

(x - α)² + (y - β)² = r²

A = πr²

Circ. = 2πr

A = ^{π · r² · α}/_360°

Ellisse

Ellisse

Equazione: ^x²/_a² + ^y²/_b² = 1 ⋅ (-1)

C (α, β)

^{(x - α)²}/_a² + ^{(y - β)²}/_b² = 1

Iperbole

Iperbole

Equazione: ^x²/_a² - ^y²/_b² = 1 ⋅ (-1)

Parabola

Parabola

Equazione: y = ax² + bx + c

a > 0

a < 0

Funzioni di più variabili

Funzioni di più variabili

f: D ⊆ ℝ² → ⊆ ℝ¹

(x, y) → z

G = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, z = f(x, y)}

Il dominio è tutto il piano tranne l'insieme di punti appartenenti alla retta.

Esercizi

f(x, y) = (x + y)(x - y)
D: ℝ²
f(x, y) = ^x²/_{x² + y}
D: x² + y ≠ 0
y ≠ -x²
f(x, y) = √(x + 2y)
D: x + 2y ≥ 0
y ≥ -^x/₂

(4) f(x, y) = log_e (x² + y²) D: x² + y

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