Appunti teoria tecnica delle costruzioni (acciaio e calcestruzzo)

Eq. dei 3 momenti

Uno dei primi metodi per la risoluzione di travi continue, storicamente.

Assegnata la convenzione sui segni per momenti e rotazioni: le fibre tese sotto.

Segue il metodo delle forze: tra le m sol equilibrata, scegli l'unica componente.

Poniamo condizione di congruenza: ψ'_b = θ ψ"_A

ψ_A = ψ_a(m_a; m_b; F) → ψ_A = (m_al / 3EI) + (m_bl / 6EI) + ψ_A(F)

ψ_B - ψ_B(m_a; m_b; F) → ψ_B = (m_al / 6EI) + (m_bl / 3EI) + ψ_B(F)

Caso specifico: trave doppiamente incastrata, le rotazioni agli estremi sono nulle, i momenti agli incastri perf sono noti.

0 = (M_Al / 3EI) + (M_Bl / 6EI) + ψ_A(F)

0 = (M_Al / 6EI) + (M_Bl / 3EI) + ψ_B(F)

Eq. dei 3 momenti

Uno dei primi metodi per la risoluzione di trav. continue, storicamente.

Assegnata la convenzione sui segni: per momenti e rotazioni.

Segue il metodo delle forze: tutte le v.a sol equilibrato. Scelgo: è l'unico componente.

Poniamo condizione di congruenza: ψ'_b = ⊙ψ"_A

ψ_A = ψ_A(m_a; m_B; F) → ψ_A = ^m_al/_3EI + ^m_Bl/_6EI + ψ_A(F)

ψ_B - ψ_B(m_a; m_B; F) → ψ_B = ^m_al/_6EI + ^m_Bl/_3EI + ψ_B(F)

Caso specifico: trave doppiamente incastrata. Le rotazioni: gli estremi sono nulli. I momenti: gli incastri perf sono noti.

0 = ^m_Al/_3EI + ^m_Bl/_6EI + ψ_A(F)

0 = ^m_Al/_6EI + ^m_Bl/_3EI + ψ_B(F)

Abbiamo quindi:

ψ_A(F) = -(^μ_Al/_3EI + ^μ_Bl/_6EI)

ψ_B(F) = -(^μ_Al/_6EI + ^μ_Bl/_3EI)

Sostituendo nelle eq. iniziali di:

ψ_A = ^m_Al/_3EI + ^m_Bl/_6EI - (^μ_Al/_3EI + ^μ_Bl/_6EI) = ^l/_6EI(2m_A + m_B) - ^l/_6EI(2μ_A + μ_B)

ψ_B = ^m_Al/_6EI + ^m_Bl/_3EI - (^μ_Al/_6EI + ^μ_Bl/_3EI) = ^l/_6EI(m_A + 2m_B) - ^l/_6EI(μ_A + 2μ_B)

Dell'equazione di congruenza otteniamo:

^l'/_6EI(m_A" + 2m_B") + ^l"/_6EI(2m_A" + m_B") = ^l'/_6EI(μ_A" + 2μ_B") + ^l"/_6EI(2μ_A" + μ_B")

Analogia di Mohr

L'equazione della linea elastica

EI y" = EI d²y/dz² = - M(z)

Crea un legame tra spostamento e momento applicato.

d²y/dz² = -M(z)/EI

Mohr cerca una soluzione fisica a questo problema matematicamente complesso.

Così come è noto che d²M(z)/dz² = - p(z) ed è possibile risolverlo tramite un modello fisico, al posto di eq differenziali.

Mohr approccia così il problema.

Si ipotizza una trave ausiliaria caricata con il diagramma dei momenti flettenti della trave reale.

M/EI = ρ* = FL/8EI.

Nella trave ausiliaria i vincoli sono la rappresentazione fisica delle C.C.

• Cerniera → cerniera
• Incastro → libero
• Libero → incastro

Classi di resistenza

Le sezioni trasversali degli elementi strutturali si classificano in base alla loro capacità rotazionale.

C_r = θ_r - 1 con θ_r rotazione al raggiungimento della deformaz. ultima.

θ_y rotaz. al raggiungimento dello snervamento.

La classificazione è in funzione della capacità di deformarsi in campo plastico, e sono presenti queste classi di sezioni:

• Classe 1 C_r ≥ 3 duttili M_R ⇒ M_pl
• Classe 2 C_r ≥ 1,5 compatte M_R ⇒ M_pl
• Classe 3 semi-compatte M_R ⇒ M_y non posso contare sul campo plastico

Classe