Appunti Teoria dei Circuiti

Condensatore

Andiamo a studiare condensatori lineari e tempo invarianti.

Sappiamo che C = _Q(t)/_dt

Il legame tensione-corrente in forma differenziale sarà i_c(t) = C _dVc(t)/_dt

Andiamo a calcolare la sua forma integrale, integrando primo e secondo membro la forma differenziale ^t∫₀ i_c(t) dt = ^t∫₀ C _dVc(t)/_dt dt

Ottengo C[V_c(t) - V_c(0)] = ^t∫₀ i_c(t) dt

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Condensatore

Andiamo a studiare condensatori lineari a tempo invariante.

Sappiamo che C = ^Q(t)⁄_dt

Il legame tensione-corrente in forma differenziale sarà ^{i_C(t) = C}⁄_dt v_C(t)

Andiamo a calcolare la sua forma integrale, integrando primo e secondo membro la forma differenziale ^t∫₀ i_C(t) dt = ^t∫₀ C ^d⁄_dt v_C(t) dt

Ottengo C[v_C(t) - v_C(0)] = ^t∫₀ i_C(t) dt

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V_c(t) - V_c(0) = ¹/_c ∫₀^t i(t) dt

Di conseguenza V_c(t) = V_c(0) + ¹/_c ∫₀^t i(t) dt

Come possiamo notare, sia nelle forme differenziali che in quella integrale abbiamo bisogno di una condizione iniziale.

Ogni condensatore deve avere una condizione iniziale V_c(0).

Dalle leggi integrali otteniamo che il singolo condensatore con condizione iniziale V_c(0) può essere pensato come serie.

Applichiamo la legge di Kirchoff, ottengo V_c(t) = V_c(0) + V_x(t), con V_x(t) = ¹/_c ∫₀^t i(t) dt.

Abbiamo ottenuto la legge in forma integrale.

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Alcune proprietà

Prima proprietà

Prendiamo la legge in forma differenziale i_C(t) = ^dV_C(t)/_dt

Se V_C(t) è costante, ovvero sul condensatore applichiamo una tensione costante, stimiamo che ^dV_C(t)/_dt = 0.

Di conseguenza i_C(t) = 0 con V_C(t) = k.

Abbiamo ottenuto che in regime costante, il condensatore si comporta come un circuito aperto perché la sua i_C(t) = 0.

Seconda proprietà

Andiamo a calcolare la tensione al condensatore in due istanti successivi ovvero in t e in t + dt facendo tendere successivamente dt --> 0.

Facciamo uso della legge integrale.

Ottengo V_C V_C(t) = V_C(0) + ¹/_C ∫^t/₀ i_C(t) dt

V_C(t+dt) = V_C(0) + ¹/_C ∫^t+dt/₀ i_C(t) dt

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Andiamo a calcolare la variazione di tensione in questi due istanti ovvero calcoliamo \( V(t+dt) - V(t) = \int_0^{t+dt} i(t) dt - \int_0^{t} i(t) dt = \frac{1}{C} \left[\int_0^{t+dt} i(t) dt - \int_0^{t} i(t) dt \right] = \frac{1}{C} \int_t^{t+dt} i(t) dt \) facendo tendere dt → 0.

Ottengo \( V(t+dt) - V(t) = \frac{1}{C} \int_t^{t+dt \to t} i(t) dt = \frac{1}{C} \int_t^{t} i(t) dt = \approx 0 \)

Ottengo \( V(t+dt) - V(t) \le 0 \)

Segue che V(t+dt) = V(t).

Abbiamo ottenuto che la tensione all'istante successivo rispetto a t deve essere uguale a quella dell'istante t stesso ovvero la tensione sul condensatore non può subire cambiamenti bruschi ma deve essere una funzione continua.

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Energia e potenza

Procediamo con il calcolo dell'energia e della potenza.

Energia e potenza

In generale sappiamo che la potenza è data da P = V I.

Nel nostro caso abbiamo P_c(t) = v_C(t) i_C(t)

i_C(t) = C ^dv_C(t)/_dt

P_c(t) = v_C(t) C ^dv_C(t)/_dt = C v_C(t) ^dv_C(t)/_dt

Portiamo dentro il segno di derivata C v_C(t).

Per poterlo fare dobbiamo trovare una funzione tale che la sua derivata faccia C v_C(t) (esattamente la definizione di integrale).

Questa funzione sarà ∫C v_C(t) dt = ^{C v_C2(t)}/₂

Riescrivo la potenza P_C(t) = ^d/_dt (^{C v_C2(t)}/₂)

Dalla fisica sappiamo che la potenza è anche l'energia nel