Appunti Teoria Analisi I per informatica

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Insieme

Insieme - utiliziamo degli insiemi e una teri. insiemotti, insiemeotto, terinelleal+certain ciri. lavorato per ottenere col un risultato da, la teri.

Insieme è sinonime di collezione, aggregato di soggetti, elementi dell'insieme sono gli oggetti che costituiscono l'insieme e proprietà è sinonimo di relazione verso legame

x ∈ À → non-inverse minuscole elementi insieme appartenere minuscole

x ∉ À non appartenere calcolazioni

Sottoinsiemi

Dati 2 insiemi A e B, diciamo che A è una sottoinsieme di B, o che A è incluso in B, quando ogni elemento di A è anche elemento di B.

sottoinsieme contiene

A ⊆ B oppure B ⊆ A ⊆

Ogni insieme è sottoinsieme di se stesso ("contenere") ∀ A = B equivale a A ⊆ B e B ⊆ A - django anche

Contemporaneamente Le capitata che A è incluso in B ma diverso da B

scrissiono A ⊂ B oppure ∃ D A inclusi B ma diverso da sottoinsieme proprio di B

Oppure B ⊂ A, B e C ancora altro. A ⊆ C

Proprietà transitiva della inclusione

Descrivere un insieme

Per descrivere un insieme si possono usare tre modi:

• Elencare gli elementi tra parentesi graffe A = {a₁, a₂, aₙ} → ;
• Enunciare una proprietà vera per gli elementi da elencati;..

Diagrammi di Venn A ⊂ B

Insiemi vuoti = insiemi privo di elementi

Connettivi logici

O con P e Q si indicano la proprietà collegate con dei connettivi logici:

negazione: ¬ P egg {poiché la proposition, il sei contesto è 1^o aposto} di R

Congiunzione: con P e Q si afferma che è vero già quando è affermato sia P e Q

Disgiunzione: con P o Q si sceglie P oppure Q

Implica [...]

Doppia implica [...]

Altri simboli: ∀ per ogni, [...] se e solo se, ! esiste ed è unico ⇒ tale che

Quantificatore universale: ∀ Quantificatore esistenziale: ∃

Operazioni

Unione

Unione: A ∪ B insieme costituito da tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi (A oppure B)

A ∪ B = {x ∈ A ∨ x ∈ B}

Intersezione

Intersezione: A ∩ B insieme costituito da tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B, operazione in cui intersezione è il sinonimo di sono elettricamente congiunti

A ∩ B = {x ∈ A ∧ x ∈ B}

Differenza e complementare

Differenza: A \ B insieme costituito dagli elementi di A che non appartengono a B

A \ B = {x ∈ A ∧ x ∉ B}

Complementare: A \ B se B include A le differenze A \ B ed A vengono dette complementare di b rispetto ad a

Proprietà delle operazioni

Unione

A ∪ A = A

A ∪ B = B ∪ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

A ∪ B ∩ C = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Complementarizzazione:

(A^c ∩ A) = A

(A^c ∪ B) = (A^c ∪ B^c)

(A ∩ B) = A^c ∪ B^c

• Idempotente
• Commutativa
• Associativa distributiva
• Involutiva
• De Morgan

Esempio

Esempio

A = {5, 7, 8, 9, 3} B = {3, 5, 7, 9} A ∪ B = {3, 5, 7, 8, 9}

A ∩ B = {5, 7, 9} A ∩ B = {9, 3} A ∪ B = {3, 5, 7, 8, 9}

Prodotto cartesiano

Dati 2 insiemi A e B, la collezione di tutte le coppie ordinate (a, b) ottenute prendendo a ∈ A e b ∈ B, forma un nuovo insieme che si indica con A × B e si chiama prodotto cartesiano di A e B.

A × B = { (a, b) : a ∈ A e b ∈ B } ∩ A = A ∩ B se A ⊆ B allora A ∩ B = A

Relazione binaria

Relazione binaria

Detti 2 insiemi A e B, una relazione binaria tra A e B possiamo indicare con R, è una relazione che lega gli elementi di A con gli elementi di B. Se A = B, allora R è una relazione tra gli elementi di A.

Una relazione è una proposizione che intercorre tra gli elementi di A e gli elementi di B. Le relazioni possono essere di vari tipi. Diciamo che R è una relazione di equivalenza in A e la indicheremo con ≈ se verifica le seguenti proprietà:

• Riflessiva se ∀ x ∈ A : x ≈ x
• Simmetrica: se ∀ x, y ∈ A, x ≈ y ⟹ y ≈ x
• Transitiva: se ∀ x, y, z ∈ A x ≈ y ∩ y ≈ z ⟹ allora x ≈ z

Una relazione di equivalenza (alla matematica discreta) è la congruenza modulo n.

Detti numeri interi, aritmetico, un altra relazione di equivalenza è il parallelismo (tutti i parall. e c. eteros.)

Relazione di ordine

Diciamo che R è una relazione di ordine in A, e la indicheremo con ≼ se verifica le proprietà:

• Riflessiva ∀ x ∈ A : x ≼ x
• Transimetrica ∀ x, y ∈ A : x ≼ y e y ≼ x ⟹ x = y
• Transitività e ∀ x, y, z ∈ A : x ≼ y e y ≼ z ⟹