Appunti Strumenti e Metodi per le Vibrazioni

Vibrazioni

Un corpo vibra quando descrive un moto oscillatorio intorno a una posizione di equilibrio con una frequenza pari a f (Hz). Il moto può avvenire a una singola frequenza o a più frequenze se i componenti in moto sono molteplici (rotazione manovella + moto alternativo pistone). Spesso il moto è composto da un numero elevato di frequenze, che non si possono evidenziare nell’andamento della vibrazione nel tempo uso dello spettrogramma.

Analisi vibrazionale

• Se mi occupo di analisi vibrazionale
• Se mi occupo di ciò che accade all’interno del corpo

Analisi modale

L'analisi modale è lo studio del comportamento dinamico di una struttura quando viene sottoposta a vibrazione. Quindi ottimizzando l’analisi modale otterrò un modello che mi permette di migliorare il comportamento del dispositivo. L’analisi modale andrà affrontata con un approccio sperimentale e numerico. Non mi preoccuperò di come sono fatti i sensori e non andrò nel nocciolo della misura.

Segnale

Un segnale è la rappresentazione di un messaggio. Il messaggio è la variazione dello stato fisico di un sistema che viene trasmesso tramite un segnale. La prima informazione che posso estrarre è il valor medio:

¹= ( ) ( − )

Solitamente non siamo interessati al valor medio, ma alle fluttuazioni del segnale attorno a questo valore: ( )−= ¹( − ).

• La scelta del valore di T mi farà ottenere dei valori medi differenti, quindi la scelta del tempo di osservazione va fatta in modo che sia significativo per il fenomeno osservato.
• Per stabilire se significativo o meno posso sfruttare conoscenze pregresse oppure tentativi. Andando a tentativi si calcolano più valor medi, fino a trovare un tempo T per cui un ulteriore incremento di tempo non comporti un aumento significativo del valor medio (il tempo più breve per il quale non ottengo un incremento).

Per estrarre informazioni, mi devo estrarre un ulteriore parametro RMS:

¹ $ ( ( ) )!"# = − ¹ %

Elevo al quadrato per non tener conto del segno + mi permette di amplificare valori grandi e ridurre valori piccoli. Do particolare importanza ai valori distanti dall’asse. RMS dipende dalla scelta di T, ma una volta determinato il corretto tempo di osservazione, il valore è unico.

Momenti statici di ordine superiore

Possiamo generalizzare i dati trovati e le varie espressioni, andando a calcolare i momenti statici di ordine superiore.

Skewness – ordine 3

¹ 1& = '!"#'

Mi fornisce informazioni riguardo la simmetria del segnale:

• Se positivo dominano contributi positivi.
• Se negativo dominano contributi negativi.

Kurtosis – ordine 4

¹ 1( = )!"#)

• Non sono sensibile al segno.
• Normalizzo per T e per RMS in quanto non voglio andare a cogliere il dato di lontananza dalle ascisse.
• Mi dà informazione su picchi e valli anche se molto brevi, quindi la presenza di elementi strani non graditi.

I momenti statistici tra 0 e T forniscono un solo numero, passerò poi a un’analisi che mi permetterà di cogliere informazioni nel tempo. Posso estrarre altre informazioni:

Autocorrelazione

È la correlazione incrociata del segnale (o più in generale del valore di una variabile) con se stesso; in altre parole, il segnale all'istante viene confrontato con un altro valore di se stesso ritardato di una quantità + (senza tale ritardo il segnale è logicamente sempre uguale) per verificare quanto si somigli (più precisamente quanto si correli) all'avanzare del tempo.

¹ ( )!(+) = ( + +)( ) ( )= Ovviamente Possiamo dedurre che: ( ) ( + +)

• Se un segnale varia lentamente nel tempo, il valore degli istanti e sarà pressoché simile (l'autocorrelazione avrà segno positivo).
• Se varia rapidamente, il valore di tali istanti sarà molto diverso e l'autocorrelazione assume un valore prossimo allo zero.

Quindi a differenza della densità di probabilità, che contiene l'informazione relativa alle variazioni d'ampiezza del processo, l'autocorrelazione contiene l'informazione relativa alle variazioni sull'asse dei tempi. L'autocorrelazione si utilizza spesso per cercare porzioni periodiche che si ripetono all'interno di un segnale, in modo tale da determinare la presenza di un segnale periodico che è stato sepolto da un rumore, o identificare la frequenza fondamentale di un segnale che non contiene originariamente la componente di frequenza del rumore, bensì varie frequenze armoniche.

• La moltiplicazione è un esaltatore di termini, qualora entrambi siano grandi ( ) (+ = 0, + 0).
• Quando un valore grande di corrisponde a un valore grande di !
• Se traslassi il segnale, un valore grande può coincidere con un valore piccolo, quindi sicuramente !decresce, se superassi una zona in cui il segnale è periodico, inizierà a crescere.

Molto dovremmo analizzare almeno 2 segnali, che nel sistema a strato orientato corrispondono ad ingresso ed uscita.

Crosscorrelazione

Rappresenta la misura di similitudine di due segnali come funzione di uno spostamento o traslazione temporale applicata ad uno di essi.

¹(+) )! = /( ( + +)-.•

• Il prodotto esalta la somiglianza tra le due curve (alto quando mediamente simili) + = 0.
• In questo caso per non so a priori cosa accade + = +.
• Per otterrò una certa somiglianza, quindi un max.
• La curva non sarà necessariamente simmetrica /La cross correlazione tramite la posizione del max, mi fornirà il ritardo che sussiste tra e – viene utilizzato soprattutto poiché nella realtà ho segnali rumorosi.

Es: tra sin e cos, il ritardo è di ed otterrò più massimi relativi ad una distanza pari al periodo. Finora abbiamo analizzato i valori nel dominio del tempo (auto correlazione e cross correlazione), si vuole passare ad un’analisi nel dominio della frequenza.

Trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier: ))/( = 3 sin(8 + 9 8 = 20/4 4 44 /( ) 8.

• Una volta scritta la relazione posso rappresentare in con 2 grafici, che corrispondono ad20) ampiezza e fase in funzione della frequenza (o pulsazione a meno di.
• Vedere i fenomeni nel dominio della frequenza, ci permette di rendere più comprensibile il fenomeno (es: voce di un uomo o donna).

La trasformata di Fourier la potrei anche scrivere come:

¹:(8) = /( ) ;4<= /( )Molto simile alla cross – correlazione dove confronto la funzione con un termine sinusoidale e8cosinusoidale al variare di (qualora ci sia somiglianza ottengo dei valori importanti) >(?) = CAD B? + A EFC B?);AB?

La trasformata di Fourier è quindi la cross correlazione tra e una sin/cos (@/( ) :(8).

Sto passando da una definita nei reali, ad una definita nei complessi, quindi avrò sempre ampiezza – fase (parte reale e parte immaginaria).

• Due segnali pur essendo diversi, possono avere la stessa trasformata di Fourier, poiché valuto l’integrale, quindi perdo informazioni sul dettaglio temporale.

Analisi nel dominio della frequenza

Come per l’analisi nel dominio del tempo devo poter confrontare 2 segnali:

Auto spettro

¹)/( → G(B) = /( ) ;4<=

Cross spettro

¹), ( ) (B) ) ( )/( → H = /( ;4<=>I

• Normalizzo per T, poiché voglio un unico valore /Ho il prodotto di 3 elementi, vado a cogliere com’è la somiglianza tra e ad una specifica frequenza.
• Nel punto in cui si somigliano molto, significa che sia che hanno un contenuto energetico importante a quella frequenza.

Prendiamo un sistema a strato orientato, posso chiedermi come è fatto il segnale di ingresso o di uscita + quale è l’effetto del sistema a strato orientato. Es: vetro colorata, luce bianca in ingresso e luce colorata in uscita ecc.

Differenza tra segnale in AC e DC: nel dominio della frequenza riconosco un segnale in DC dal fatto di avere un picco a frequenza nulla. Questo picco mi rappresenta la parte di segnale costante (DC) con una sinusoidale di periodo infinito (quindi f=0).

• Il picco in 0 è tanto più alto, quanto più grande l’offset.

Solitamente rappresento fase e ampiezza con 2 grafici, ma posso rappresentare il tutto anche in un unico grafico tramite i numeri complessi.

Nyquist

Esiste un terzo modo, rappresentazione di nel piano (Im, Re) Nyquist.

• Apparentemente mi perdo informazioni sulla f ma in realtà essa è contenuta nell’ascissa curvilinea. A seconda di dove proietto otterrò una rappresentazione diversa differenze nel picco di risonanza.

Es: Nel primo caso ho un punto angoloso che è molto più complicato da gestire matematicamente rispetto una curva nel piano di Nyquist. Ma più facile da interpretare nel piano frequenza ampiezza. Quindi dipende da cosa voglio fare.

Ho preso una grandezza V, la divido per V di riferimento e ne faccio il logaritmo. Il dB non è una grandezza di misura, va di pari passo con la grandezza scelta. Il valore di riferimento può essere normato o arbitrario.

OJK = 20 M N SOL PQR

• Esiste un limite grafico al di sotto del quale non riconosco nulla – grazie al dB riesco a riconoscere e gestire la scala del diagramma.
• Aumenta il range dinamico della rappresentazione, con pochi dB riesco a rappresentare scale enormi (è come se utilizzassi scala logaritmica normata su cui esaltare fenomeni piccoli e diminuire quelli grandi, in modo da poter vedere tutto il fenomeno nel piano).

Ovviamente se guardassi un nel grafico, ovvero la differenza tra due punti nel grafico in , quello che ho nella realtà è il rapporto tra i valori reali, poiché la differenza di due logaritmi è il logaritmo del rapporto.

Passaggio dal segnale analogico ad un segnale digitale

Il mondo è analogico, con continuità e passare da analogico a digitale significa perdere informazioni, ma allo stesso tempo mi permette di compattare le informazioni, ottenendo le stesse informazioni ma con un peso minore Wℝ, ℝY → Wℕ, ℕY∞.

Dato un intervallo analogico ho dati, se lo stesso segnale lo prendo in digitale, definito dai naturali avrà un numero finito di dati. Il segnale deve essere dunque convertito da analogico a digitale, ossia da continuo a discreto, conservando le informazioni che contiene con un minor numero di dati. Viene quindi discretizzato sia lungo l’asse dei tempi (campionamento), sia lungo l’asse delle ampiezza (quantizzazione).

Il segnale analogico che viene acquisito dallo strumento di misura verrà letto dal sistema di registrazione in Δ Δmaniera digitale, ogni secondi, con in genere costante (campionamento costante). Δ → (arbitrario) tempo di campionamento. Non è altro che l’intervallo di tempo per il quale ogni volta guardo il segnale / = 1/Δ →\ frequenza di campionamento^→] M M = ^∙Δ = /\^→ ° a] M Δ.

Ovviamente le informazioni non in corrispondenza dei poi le butto via (non sono più necessarie) e altrimenti dovrei conservare un numero infinito di dati. Δ b Considero poi un secondo , molto più grande di quello precedente; il problema nasce dal momento in cui il numero di dati è troppo poco per rappresentare significativamente quello che era il segnale di ingresso (ho ridotto i dati ma ho perso l’informazione iniziale).

Questo fenomeno viene detto aliasing, segnale mal campionato (es: fotogrammi cinema western in cui la ruota gira).

Come regola sappiamo che, affinché non ci sia aliasing, per il teorema di Shannon (Nyquist-Shannon): / c 2 /\ def (oggi giorno si utilizzano frequenze di campionamento anche 4 o 10 volte superiore) →/def frequenza massima di ciò che noi vogliamo campionare. Ho un fenomeno mi interessa osservarlo fino alla sua frequenza per la quale l’energia è poi nulla / /2 /\ def. Affinché la digitalizzazione sia corretta la deve essere maggiore di nel segnale preso in considerazione c’è energia anche ad alte frequenze, ma mi interessa il segnale solo.

Es: /def fino ad una certa frequenza, quindi noi fissiamo (es: acustica il nostro orecchio sente solo fino a 20 kHz, ma nel mondo ci sono suoni al di sopra dei 20 kHz, ad esempio i fischietti dei cani che noi non riusciamo a sentire – infatti i CD vengono campionati a 44.1 kHz) /2,/\ durante la digitalizzazione, tutta Avendo ancora energia sopra l’energia rappresentata in alta frequenza viene ribaltata per il fenomeno dell’aliasing.

Infatti, se vado a guardare il segnale digitale non corrisponde a quello analogico iniziale, ma ha dell’energia in più ribaltata dalle alta frequenze dovute al fenomeno dell’aliasing. Esempio: ribaltamento alte frequenze Segnale composto da 4 frequenze: 25, 70, 160, 510 Hz / = 100 gh\L’unica frequenza ad essere correttamente ricostruita / /2).\è F1=25 Hz (l’unica Le altre frequenze compariranno sotto forma di/j nell’intervallo (0, ). “frequenze fantasma”

Di conseguenza per contrastare il fenomeno dell’aliasing non è sufficiente definire una frequenza alta in modo indefinito, qualunque sia la frequenza di campionamento che io scelgo, esisterà sempre del segnale che supererà quella frequenza.

Per ovviare a questo problema, normalmente a un sistema di acquisizione digitale si associa un filtro anti aliasing.

• È un filtro messo prima del campionamento il quale lascia / /2\ inalterato il segnale fino alla e poi lo porta a 0. / /2\ (elimina il segnale oltre e lo manda a 0) / / /2 def \La elimina poiché dopo aver scelto e tutto il resto mi dà fastidio.

L’aliasing non si va a risolvere aumentando la frequenza di campionamento, in quanto entreranno sempre disturbi, per risolverlo ci vuole un filtro anti aliasing. Finora nell’asse delle ascisse siamo passati dai reali agli interi (analogico - digitale). Va ripetuto lo stesso approccio alle ordinate.

Campionamento

In questo modo non ci poniamo unicamente la domanda di cosa avviene Δ Δ O ogni , ma anche quanti salti interi faccia il nostro segnale Δ Δ O, Es. per 3 avrò 3 la stessa cosa avviene per 2 Δ. Sono passato da una definizione continua, reale del segnale, ad una definizione a salti interi) O( → Δ O( k Δ ) Δ Δ O. Lo stesso problema dell’ampiezza di viene applicato a 2 O O Δ O = = def def 2 2 l l ;bmno mno 2 → O def il due al numeratore è dovuto il fatto che l’intera ampiezza del segnale è due volte o → O def.

Se il massimo valore che il segnale può avere: O o def segnale superasse noi non lo osserveremmo, ci sarebbe una forma di saturazione. Devo evitare si realizzi il problema opposto: o Ho un segnale nel quale leggo che il massimo valore che il sensore può produrre è 10V. Il sensore produce 10 V, quando l’ingresso è il massimo misurabile, ovvero il fondo scala (nel caso di relazione lineare) O def Ma normalmente non utilizzo lo strumento a fondo scala, quindi scegliere un leggermente più O p O, def basso rispetto i 10 V è una scelta intelligente poiché più piccolo è minore è quindi rappresento meglio il mio segnale O Δ O def.

Quindi prendere un troppo grande comporterebbe un grande e grossolano Δ O O def. Il deve essere il più piccolo possibile, ma che mi garantisca che il copra il segnale. Quello che si può fare è agire sul numero di bit: Al crescere del numero di bit la scaccheccatura è più completa, ma la quantità di dati diventa imponente e ne aumenta il costo ( ) ( )° q =8 → 256 = 128 u M v ] M + 128 u M / M (spesso si utilizza scheda a 24 bit).

Digitalizzazione e frequenza

Cosa significa la digitalizzazione se io passo dal dominio nel tempo al dominio nella frequenza. > , w L D° x A?E. Ho il mio segnale con ed un certo numero di y campioni. Passo ora al dominio della frequenza, ottenendo il modulo e la fase della trasformata di Fourier. # # Avere campioni, significa che nel dominio del tempo ho o informazioni, che si distribuiranno per metà tra modulo e fase / \ Se è definita, il massimo valore che posso osservare in /2/o \ sia per la fase che per l’ampiezza frequenza è.

La discretizzazione allora in frequenza sarà: / /2 / \ w B → v M h M / z h = = #/2 #. In altre parole, uno degli effetti della digitalizzazione del segnale è ottenere nel dominio del tempo una w? certa risoluzione del tempo, ovvero dati ogni e non sono in grado di sapere risoluzione nel tempo cosa avviene nel mezzo. w B. Trasformando tutto nel dominio della frequenza ottengo analogamente risoluzione in frequenza, poiché così come nel dominio del tempo anche nel dominio della frequenza il dato deve essere discreto, per i quali non conosco i valori intermedi / 1 1\ Δ 8 = = = # Δ #. La risoluzione in frequenza è pari al reciproco del tempo di osservazione, quindi dipenderà solo dal tempo di osservazione, quindi dalla fisica del fenomeno, più è lungo il tempo di osservazione maggiore è la risoluzione in frequenza. Se andassi ad agire aumentando la frequenza di campionamento, dal momento in cui le schede solitamente hanno S fisso, andrei a peggiorare la risoluzione in frequenza.