Appunti Scienza delle Costruzioni, parte 2,

Equazioni di equilibrio e instabilità delle travi

Formulazione delle equazioni

E[θ] = V_el(θ) - L_ext(θ)

Posizione di equilibrio: E'(θ) = 0

Forza: F = -∂E/∂θ

E''(θ) = λ₁F'(θ) > 0

Instabilità delle travi caricate a punta

P cruscalo -> E[ν, w, φ] = ∫₀¹ 1/2 k_m (v'(z))² + 1/2 k_λ (w'/z)² dt

E[ν, w, φ][v'(t) = 0, v(t) = 0]

W(t) = -P/κ_t

Formula per la posizione di equilibrio

13 novembre

E[ϴ] = V_el(ϴ) - L_ext(ϴ)

ϴ di posizione di equilibrio: E[ϴ] = 0

Forza: F = ∂/∂(ϴ)

E''(ϴ) = ∑ il segno di E'' è dato solo da F

Instabilità delle travi caricate a punta - Caso 1

w(e) CASO 1: Percorso → funzione

E[^v/_w, w, φ_t] = ∫ 1/2 k_m ∫ ^t/₀ v''(z)² + 1/2 k_A [w'²] 1/2 d_t - (-l₀[w(e)])

E [^v/_w, v, y] = ∫ 1/2 k_mw''[t] + 1/2 k_A [w'(t)]² + Pw'(t)] d_t

Se p è piccola lo spostamento è nullo e la trave si comporta "un po'"

Caso 2: Cinematica finita

EV(t)= ∫₀^l (1/2) k_m χ′²(z) dz - ∫₀^l (1/2) ρ W′(z) dz =V(t)= ∫₀^l {(1/2) k_m χ′²(z) + ρ W′(z)} dz

Sicché Σ²(z) = √(1+W′(z)² + (V′(z))²)

⇒ E[V] = -∫₀^l {1/2 k_m χ′²(z)²} dz - ρ(√{1 + (V′(z))²}-1) dz

V(t) = δ V′(t)

1. k_i ∫₀¹ (1/2) k_m χ_i′(z)² dz + ρ √(1 - δ² (V′(z))² - 1)

Approssimando δ = E AL II ORDINE in δ

X(z) = ψ(z) = √(V′(z)) = δ √(V′′(z))

⇒ E[V] = ∫₀^l {(1/2) k_m δ² (V′′(z))²}√(1 - δ² (V′′(z))²) = 0 - √(1 - δ² (V′′(z))²)

+ δ/∫ s/∫ 1-√{V′′(z)} / (V′(z))= -[V′′(z)]+ o(δ²)∫₀^l δ² (V′′(z))² + o(δ²)

Equazioni differenziali e condizioni al contorno

E[αV² ] = ∫₀^l {1/2 k_m δ² (V′′(z))²}

⇒ Futuro concavo verso l'esterno

Futuro concavo verso il basso per piccoli valori di p la u₀

F soda concava verso l’alto (è preponderante il termine positivo) quindi ho un solo minimo

Se p è molto grande allora ci sono più minimi diversi

Per particolari valori del carico ho più buche di potenziale

Ho più configurazioni di equilibrio (stabile o instabili che siano)

Formulazione matematica e condizioni al contorno

[τ-v]² = ∫₀^l F(τ, v, v',v'')dbdFdv-2F = 0

d²Fdv 2d*Fdτ 2v''

Equazioni di Eulero-Lagrange derivate parziali

Eq. di Eulero degeneralizzato associato ai funzionali

psv''(z) + k_ml g v²(z) = 0

ρ v^IV(z) km v''(z) =0

v'(t)z = lim v(t+h) - V(t)h->0 hlunghezza alla una av''t(t) = g²vv''llunghezza alla uno

v''' e [1,2] nel^(ha esercizi)

d⁴(τ(t)²) + p d²(τ(t)) l²[(c¹t)³] km (2(d_c1t)²τ(t²) + pkmχ(t)

Funzioni di Sturm-Liouville

Funzione sopprimere

d²deτ'(t) *e⁴>d²(τ'(t)²)kme(3)χ₁(~Y ¯)λ²

STURM-LIOUVILLE v^(0) = 0

v^(1)(0) = 0

v^(1)(l) = a₁t + b + c cos(λt) + d sen(λt)

Determinare b, c, d con i dati al bordo

b + c = 0

d sen(λ) = 0

No soluzione non banale se λ = kπ, k = 0, 1, 2, ... d ≠ 0

v_n(t) = d sen(λ²)

P₁ = π²Km/2

Soluzione banale [k=2] P₂ = _4π²km/^e

Stabilità e soluzioni

V̂(t) = d sen[2πẑ][z=3] accensione t[V̄] = ∫₀^e [_km/² δ²(V̅"(z))² - _β/² δ²(V̅'(z))²ζdζ

V̂(z) = ∫&J̅(z)e = d sen(λẑ)