Appunti quaderno di Probabilità e statistica

Fenomeni deterministici e aleatori

I fenomeni si dividono in deterministici e aleatori (o stocastici).

Esempio: una scatola con 6 sfere numerate.

Ω={1,2,3,4,5,6} _{Spazio degli eventi (campionario)}

L'insieme degli eventi che si possono verificare (E ⊂ Ω) è un sottoinsieme di Omega.

P(Ω) è costituito da tutte le coppie, terne, quaterne, cinquine, {1}; {2}; {3}; {4}; {5}; {6}; {8}_{Il più banale insieme è quello vuoto {∅}}

Nel nostro caso: 2⁶ = 64L numero di parti.

{n} = evento certo {∅} = evento vuoto.

Esempi di eventi

Esempi:

A = numeri dispari {1;3;5}

B = numeri AᴜB={1;2;3;5}

A∩B={1;3}_{Elementi comuni}

A^c = Ω - A ⇒ {2;4;6}_{Complementare}

Può succedere che E ⊂ a (cioè E ∈ P(Ω)) non sia un evento.

a ⊂ P(Ω)_{Classe degli eventi}

a={A, B, C, D, F,...}_{Tutti eventi ma ė non è un evento}

δ-algebra degli eventi

δ-algebra degli eventi:

1. ∅, Ω ∈ A
2. Se A ∈ A ⇒ A^c ∈ A
3. Se A₁, A₂, A₃,... A_m ∈ A ⇒ ⋃_k=1^∞ A_k ∈ A e ⋂_k=1^∞ A_k ∈ A

Possiamo fare unioni e intersezioni infinite nella δ-algebra.

Spazio degli eventi e insieme delle parti

I fenomeni si dividono in deterministici e aleatori (o stocastici).

Esempio: una scatola con 6 sfere numerate.

Ω={1,2,3,4,5,6}

Lo spazio degli eventi (campionario).

L'insieme degli eventi che si possono verificare (E ⊂ Ω) è un sottoinsieme di Ω.

P(Ω) è costituito da tutte le coppie, terne, quaterne, cinquine, {1}; {2}; {3}; {4}; {5}; {6}; {}

Il più banale insieme è quello vuoto {ø}

# P(Ω) = 2ⁿ nel nostro caso: 2⁶=64

n = numero di parti.

{Ω} = evento certo {ø} = evento vuoto.

Esempi con unione, intersezione e complementare

Esempi:

A = numeri dispari {1;3;5}

B = numeri A ∪ B = {1;2;3;5}

A ∩ B = {1;3}

A^C = Ω - A = {2;4;6}

Complementare.

Può succedere che E ⊂ Ω (cioè E ∈ P(Ω)) non sia un evento.

a ⊂ P(Ω)

a = {A,B,C,D,F...}

Tutti eventi ma E' non è un evento.

δ-algebra degli eventi e operazioni infinite

δ-algebra degli eventi:

1. ø, Ω ∈ ℱ
2. Se A ∈ ℱ → A^C ∈ ℱ
3. Se A₁, A₂, A₃, ... A_m ∈ ℱ → ∪_k=1 A_k ∈ ℱ e ∩_k=1 A_k ∈ ℱ

Possono fare unioni e intersezioni infinite nella δ-algebra.

Funzioni di probabilità

Spazio degli eventi

Funzioni di probabilità σ-algebra degli eventi (tutti quelli che si possono verificare)

(i): P(∅) = 0 (P(Ω) = 1)

(ii): A₁, A₂, ... e A_i ∈ A_i ∩ A_j = ∅ con i ≠ j = 1, 2, ...m

Allora P(⋃_n=1^∞ A_m) = ∑_n=1^∞ P(A_m)

P: valutazione di quanto sia verosimile il verificarsi di A.

E₁ = {1} E₂ = {2} ... E₆ = {6}

Ω = E₁ ∪ E₂ ∪ E₃ ∪ E₄ ∪ E₅ ∪ E₆

P(Ω) = P(E₁) + P(E₂) + P(E₃) + P(E₄) + P(E₅) + P(E₆) = 6P(E₁) = 1/6

Ü = unione disgiunta, i suoi elementi non si intersecano.

A = numero dispari ⇒ A = E₁ Ü E₃ Ü E₅ ⇒ P(A) = 1/2

P(A) = numero di eventi favorevoli ad A / numero eventi Ω

Eventi con probabilità diversa da zero

Eventi con probabilità ≠ 0 ma non impossibili:

P(B) = 0 quando B = {} ma

P(C) = ^A(C)/_πr² P(contenitore) = 0

perché il raggio di un punto è 0 quindi anche la sua area.

∫∫_{x,y ∈ R: x² + y² ≤ z²}!⇒ è un insieme continuo e non discreto.

Probabilità condizionata

Probabilità condizionata:

Siano A e B 2 eventi ∈ Ω e P(B) > 0

allora P(A|B) = ^{P(A ∩ B)}/_P(B) oppure P(A ∩ B) = P(A|B) ⋅ P(B) A: evento condizionato B: evento condizionante Importante l'ipotesi P(B) > 0

Esempio: roulette

Es: Roulette

Supponiamo gli eventi equiprobabili (Roulette non truccata)

Ω = {1,2,3...36} i ∈ Ω P(i) = ¹/₃₇

A = {3,13,22} B (numero dispari)

P(A) = ^{#A = 3}/_{#Ω = 37} P(B) = ^{#B = 18}/_{#Ω = 37}

P(A|B) = ^{#(A ∩ B)}/_#B = ¹/₁₈ P(A ∩ B) = ³/₃₇⋅¹⁸/₃₇ = ²/₃₇ = ¹/₉

Esempio: fumatore e malato

Es:

Fumatore (F) 60% Non Fumatore (F^c)

Malato (M) 35% Non Malato (M^c)

Malato (M) 5% N