Appunti propedeutici per lo studio di funzione di Analisi 1 - solo teoria, no esercizi.

Grafici delle funzioni

Funzioni goniometriche

f(x)= sinx f(x)= cosx f(x)= tgx f(x)=asinx f(x)=acosx f(x)= atgx 1

Funzioni esponenziali e logaritmi

Esponenziali Logaritmiche 2

Le trasformazioni geometriche

3 4 5

Le funzioni e le loro proprietà

⟶ Dati due insiemi, A e B, definiamo funzione qualunque legge matematica che associ ad ogni elemento dell’insieme A uno e un solo elemento dell’insieme B. L’insieme A viene chiamato dominio della funzione. L’insieme dei valori che ammettono un corrispondente attraverso la funzione si chiama dominio.

Data una funzione f, definiamo codominio l’insieme di partenza e di arrivo. ↦ Sull’elemento generico dell’insieme di partenza e di arrivo. = () immagine di x e x è controimmagine di y.

Definiamo immagine di una funzione l’insieme delle immagini. Definiamo controimmagine di un elemento dell’insieme di arrivo: è il corrispondente dell’elemento dell’insieme di partenza.

Classificazione delle funzioni

Funzioni goniometriche, funzioni trascendenti, logaritmi e esponenziali, funzioni radicali con x irrazionali ad argomento, funzioni algebriche, polinomi, funzioni razionali, frazioni di polinomi.

In funzioni complesse, la trascendente ha la classificazione.

- La funzione viene definita algebrica se contiene solamente operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice.

• Razionale:
• Intera (o polinomiale): se è espressa mediante un polinomio di primo grado (lineare) o di secondo grado (quadratica);
• Fratta: se è espressa mediante quozienti di polinomi;
• Irrazionale: se la variabile indipendente compare sotto il segno di radice.

- La funzione, se non è algebrica, viene detta trascendente.

Le funzioni iniettive, suriettive e biiettive

Una funzione da A a B si dice: 6

• Iniettiva: se a elementi diversi di A corrispondono elementi diversi di B o se ogni elemento di B proviene al più di un elemento di A. ⟶ ≠ ⇒ ( ) ≠ ( ) 1 2 1 2
• Suriettiva: se ogni elemento B è immagine di un elemento di A. ⟶ ∀ ∈ ∃ ∈ : = ()
• Biiettiva/corrispondenza biunivoca: se la funzione è sia iniettiva che suriettiva.

Le funzioni crescenti, le funzioni decrescenti, le funzioni monotone

Una funzione si dice monotona quando o è sempre crescente oppure è sempre decrescente. Analoga definizione può essere data per una funzione monotona in senso lato. 7

Le funzioni pari e le funzioni dispari

( ) ( ) = = (−)

Una funzione si dice pari in D se per qualunque x appartenente a D. ( ) (− ) = = −()

Una funzione si dice dispari in D se per qualunque x appartenente a D. 8

La funzione periodica

( )∀ ∈ ∧ ∀ ∈ , = ( + )

Si dice che una funzione ha un periodo T (con T>0) se. Se una funzione ha un periodo, allora ha infiniti periodi. Il periodo è il minimo dei periodi.

Se f è periodica di periodo T, allora non è iniettiva perché x e x+kT hanno la stessa immagine. Ci sono trasformazioni che modificano il periodo (es. dilatazioni).

Per attuare l’addizione e la sottrazione tra due funzioni periodiche, come ad esempio quelle trigonometriche, per 2πT = è sufficiente trovare il periodo che è, moltiplicarli tra loro e calcolare il m.c.m. dei numeratori e risolvere il prodotto.

Es. sen(2x)+cos(3x) 2π 2π∙ 3∙2π 2π 3∙2π∙ = = 2π; calcolo il m.c.m. del numeratore 2 3 3∙2 3 3

Per la moltiplicazione e la divisione il periodo non si può esprimere; può essere uguale o minore. La modulazione dell’argomento della funzione non è periodica.

La funzione inversa

La funzione inversa non è altro che la funzione simmetrica rispetto y=x. 9

 Non tutte le funzioni ammettono sempre una funzione inversa, solo con funzioni monotone.

Una funzione è invertibile se iniettiva o se esiste un sottoinsieme I del suo dominio in cui f(x) risulta iniettiva. In quest’ultimo caso si dice che la funzione è invertibile in I.

Le funzioni composte

( )): ⟶ e : → , ∘ o = (

Date due funzioni con indichiamo la funzione, detta funzione composta, da A a C che si ottiene associando a ogni x di A l’immagine mediante g dell’immagine di x mediante f. La composizione delle funzioni non è commutativa.

-1 Se si compone la funzione f con la sua inversa f^-1, si ottiene la funzione identità che associa a ogni elemento di un insieme se stesso: −1 −1 ( )) (())( = = 10

Intervalli, estremi, insiemi ed intorni

Intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta (intervallo limitato) o a un segmento (intervallo limitato) della retta reale.

{∀ } I: ∈ ℝ: ≤ ≤ ; , ∈ ℝ ∈ R

Più precisamente definiamo gli intervalli limitati di estremi a e b, dove a, b ∈ R e a <b.

• ; ∈ R ≤ ≤ |[ ] { } = Intervallo chiuso;
• ; ∈ r < < |] [ { } = Intervallo aperto;
• ; ∈ r ≤ < |[ [ { } = Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra;
• ; ∈ r < ≤ |] ] { } = Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra.

Gli intervalli illimitati sono determinati da un solo estremo a ∈ R. Anche per essi si distinguono quattro casi:

• [; +∞[ { r| } ∈ ≥ = Intervallo chiuso illimitato superiormente;
• ]; +∞[ { r| } ∈ > = Intervallo aperto illimitato superiormente;
• ]; +∞] { r| } ∈ ≤ = Intervallo chiuso illimitato inferiormente;
• ]; +∞[ { r| } ∈ < = Intervallo aperto illimitato inferiormente.

Insiemi limitati e illimitati

Un insieme A è detto:

• Superiormente limitato se esiste un numero reale k (maggiorante di A), che risulta essere maggiore o uguale di ogni elemento di A, cioè ∃ ∈ ℝ: ∀ϵA; ≤ .
• Inferiormente limitato se esiste un numero reale h (minorante di A), che risulta essere minore o uguale di ogni elemento di A, cioè ∃ℎ ∈ ℝ: ∀ϵA; ≥ ℎ.
• Limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente, cioè ∃ ∈ ℝ: ∀ϵA; || ≤ .
• Illimitato superiormente se comunque si scelga un numero reale m esistono sempre elementi di A che siano maggiori di m, cioè ∃ ∈ ℝ: ∀ϵA; > .
• Illimitato inferiormente se comunque si scelga un numero reale m esistono sempre elementi di A che siano minori di m, cioè ∃ ∈ ℝ: ∀ϵA; < .
• Illimitato se non è limitato né superiormente né inferiormente.

Gli estremi di un insieme

Estremo superiore di un insieme

Dato un insieme E superiormente limitato, si dice estremo superiore di E quel numero reale M, se esiste, tale che: ≤ , ∀ ∈ E;

• ∀ > 0 ∈ E ( − ).
• È possibile trovare almeno un elemento maggiore di ∞.

Se un insieme è illimitato superiormente si dice che il suo estremo superiore è +∞.

Estremo inferiore di un insieme

Dato un insieme E inferiormente limitato, si dice estremo inferiore di E quel numero reale L, se esiste, tale che: ≥ , ∀ ∈ E;

• ∀ > 0 ∈ E ( + ).
• È possibile trovare almeno un elemento minore di ∞.

Se un insieme è illimitato inferiormente si dice che il suo estremo superiore è -∞. 11

Proprietà degli estremi

• Unicità degli estremi superiore e inferiore: l’estremo superiore e l’estremo inferiore di un insieme totalmente ordinato, se esistono, sono unici;
• ℝ: Completezza dell’insieme: ogni sottoinsieme di numeri reali limitato superiormente (inferiormente) ammette estremo superiore (inferiore);

Gli intorni di un punto

Intorno completo

Dato un numero reale x si chiama intorno completo di x un qualunque intervallo aperto I(x_o) contenente x_o: ( ) =] − ; + [ 1 2δ , δ

Con numeri reali positivi. 1 2

Intorno circolare

Dato un numero reale x_o e un numero reale positivo δ, si chiama intorno circolare di x_o, di raggio δ, l’intervallo aperto I_δ(x_o) di centro x_o e raggio δ: ( ) =] − ; + [

Intorno destro e sinistro di un punto

Dato un intorno di un punto x_o se ne considera soltanto una parte:

• Intorno destro + ( ) =] ; + [
• Intorno sinistro − ( ) =] − ; [

Intorni di infinito

Dati, ∈ ℝ con < , chiamiamo:

• Intorno di meno infinito: un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente (−∞) {ℝ| } =] − ∞; [ = <
• Intorno di più infinito: un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente (+∞) {ℝ| } =]; +∞[ = >
• Intorno di infinito: è l’unione tra l’intorno di -∞ e un intorno di +∞. (∞) (+∞) (−∞) {ℝ| } = ∪ = < ∨ >
• Intorno circolare di infinito: è l’unione tra l’intorno di -∞ e un intorno di +∞.

L’intersezione e l’unione di due o più intorni di x_o sono ancora degli intorni di x_o.

Punto isolato di un insieme

Sia x_o un numero reale appartenente a un sottoinsieme A di ℝ. Si dice che x_o è un punto isolato di A se esiste almeno un intorno I di x_o che non contiene altri elementi di A, diversi da x_o.

Punto di accumulazione di un insieme

Si dice che il numero reale x_o è un punto di accumulazione di A, sottoinsieme di ℝ, se ogni intorno completo di x_o contiene infiniti punti di A. 12

Limiti

Definizione di limite finito per x che tende a x_o (valore finito)

Si dice che la funzione f(x) ha per limite il numero reale l (si dice finito poiché non è ±∞) per x che tende a x_o, e si scrive: ( ) lim = →

Quando comunque si scelga un numero reale positivo si può determinare un intorno completo di I di x_o tale che risulti: | ( ) | ( ) − < − < < +  per ogni x appartenente a I, diverso al più da x_o (x_o deve essere un punto di accumulazione per il dominio).

(*) Spesso si prende come intorno di x_o un intorno circolare I_δ(x_o) e quindi la definizione precedente la si può formulare anche: | | | ( ) | ∀ > 0 ∃ > 0 ∀ − < , − < ε tale che con ( reale positivo i cui valori diventano sempre più piccoli.)

Limite infinito per x che tende a x_o (valore finito)

Sia x_o punto di accumulazione per una funzione f(x). Si dice che f(x) tende a +∞ (o -∞) per x che tende a x_o quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo di I di x_o tale che risulti f(x)>M (o f(x)<-M) per ogni x appartenente a I e diverso da x_o.

( ) | | ( ) lim = +∞ ∀ > 0 ∃ > 0 ∀ − < , > tale che con →

( ) | | ( ) lim = −∞ ∀ > 0 ∃ > 0 ∀ − < , < − tale che con → 13

Limite finito per x che tende all’infinito

Si dice che f(x) tende al numero reale l per x che tende a +∞ (o -∞) quando comunque si scelga un numero reale positivo si può determinare un intorno I di +∞ (o -∞) tale per ogni x appartenente a I e diverso da x_o. | ( ) | − <

( ) | | | ( ) | lim = ∀ > 0 ∃ > 0 ∀ − > , − < ε tale che con →+∞

( ) | | | ( ) | lim = ∀ > 0 ∃ < 0 ∀ − < , − < ε tale che con →+∞

Limite infinito per x che tende all’infinito

Si dice che f(x) che ha per limite +∞ (o -∞) per x che tende a +∞ (o -∞) quando per ogni numero reale positivo si può determinare un intorno I di +∞ (o -∞) tale (o ) per ogni x appartenente a I e diverso da x_o. ( ) ( ) > < −)

( ) (+∞) ( ) lim = +∞ ∀ > 0 ∃(+∞) ∀ ∈ ⟹ > tale che →+∞

( ) (−∞) ( ) lim = +∞ ∀ > 0 ∃(−∞) ∀ ∈ ⟹ > tale che →−∞

( ) (+∞) ( ) lim = −∞ ∀ > 0 ∃(+∞) ∀ ∈ ⟹ < − tale che →+∞

( ) (+∞) ( ) lim = −∞ ∀ > 0 ∃(−∞) ∀ ∈ ⟹ < − tale che →−∞

Limite destro o sinistro

Un limite viene definito destro o sinistro a seconda dell’intervallo considerato. 14

Limite per eccesso o per difetto

Verifica di un limite

• Scrivere, con la f(x) data, la disequazione presente nella definizione di limite considerato. 1
• Risolvere la disequazione. 2
• Esaminare la soluzione per verificare che si sia ottenuto o meno l’intorno richiesto dal tipo di limite trattato. 3
• Concludere che il limite è verificato, in quanto si è effettivamente ottenuto l’intorno dato nella definizione;
• Concludere che il limite è errato in quanto non si è ottenuto l’intorno previsto. 4 15

Continuità e discontinuità di una funzione

Continuità

f è continua in x_o quando: ∈ : ()- ( ) ( ) lim = lim = - −+ →→ = ( )

- Continuità a sinistra (o destra) ( ) ( ) ϵ D lim = ( ) lim =

Una funzione si dice continua a sinistra (o destra) in se (o − +→ → ( )).

Discontinuità di I specie

Diciamo che f ha in x_o una discontinuità di prima specie se esistono finiti i due limiti, sinistro e destro, ma non coincidono. Viene dunque a mancare, in questo caso, la seconda condizione di continuità. La discontinuità di prima specie è anche detta discontinuità a salto. 16

Discontinuità di II specie

Diciamo che f ha in x_o una discontinuità di seconda specie se anche solo uno dei due limiti, sinistro o destro, o non esiste o è infinito.

Discontinuità di II specie

Diciamo che f ha in x_o una discontinuità di terza specie se esistono finiti i due limiti, sinistro e destro, e coincidono tra di loro ma non coincidono con la valutazione f(x_o) della funzione nel punto x_o. Qui non è soddisfatta la prima condizione di continuità. 17

Teoremi sui limiti

Teorema di unicità del limite

Se una funzione per x tendente a x_o ammette un limite, allora quel limite è unico.

( ) lim = Ipotesi: → Tesi: l è unico.

Dimostrazione per assurdo

( ) ∀( ) ( ): ( )\{ } ( ) ( ) lim = ∃ ∈ ⟹ ∈ ovvero 1 1 1 0 1 0 1 →0

( ) ∀( ) ( ): ( )\{ } ( ) ( ) lim = ∃ ∈ => ∈ ovvero 2 2 2 0 2 0 2 →0

≠ 1 2

( ) ( ) ( ) = ∩ 0 1 0 2 0

( ) ( ) ( ) ( ) ∈ ⇒ ∈ ∧ ∈ ( ) 0 1 2

| − | | − | ( ) ( ) 2 1 2 1 ℇ < ℇ < ∩ = ∅

Se e allora . Siccome i due insiemi sono disgiunti f(x) 1 2 1 22 2 ammette due valori e ciò è contrario alla definizione di funzione. ( ) ( ) ( ) ( )