Appunti Automazione Industriale Modulo 2 con Esercizi

Sistemi ad eventi discreti

Sistema: Modello matematico descrittivo di un fenomeno, naturale o artificiale (macchina, robot, impianto produttivo).

Sistemi ad avanzamento temporale e sistemi ad eventi discreti

Sistemi ad avanzamento temporale (o pilotati dal tempo): le grandezze che ne descrivono le condizioni di funzionamento variano nel tempo secondo leggi dettate dalle equazioni differenziali (nel continuo) o le equazioni alle differenze (nel discreto).

Sistemi ad eventi discreti (o pilotati dagli eventi).

Definizione di evento: un evento è un accadimento, in genere istantaneo, che modifica le condizioni di funzionamento di un sistema.

In entrambe le tipologie di sistema il concetto di stato è fondamentale.

Stato di un sistema

Stato di un sistema: Insieme di variabili che rappresentano una fotografia del sistema, la quale può variare al trascorrere del tempo (sistemi ad avanzamento temporale) oppure al verificarsi di eventi (sistemi ad eventi discreti).

Esempi di sistemi ad eventi discreti

Coda negli uffici pubblici:

Stato: numero di utenti in coda e in servizio.

Eventi: arrivo di un utente, partenza di un utente che ha terminato il servizio.

Sistema manifatturiero:

Stato: numero di pezzi in transito nei buffer e in lavorazione nelle macchine.

Eventi: Inizio lavorazione, completamento lavorazione, scarico di un pezzo nel buffer, guasto di una macchina, ecc.

Altri tipi di DES (Discrete Event Systems): sistemi di comunicazione, sistemi hardware-software (risorse allocate in un job).

Esistono anche i sistemi ibridi in cui le variabili possono modificarsi sia nel tempo che all’occorrenza di eventi.

Classificazione dei sistemi ad eventi discreti

Logici

Si è interessati allo studio della successione di stati ed eventi, senza soffermarsi sulla durata di ciascun stato (tempo in cui si permane in quello stato) o al tempo che caratterizza ogni transizione.

Temporizzati

Si è interessati sia alla successione di stati ed eventi che alla durata di ciascun stato (tempo in cui si permane in quello stato) o al tempo che caratterizza ogni transizione.

Ci sono vari modelli per rappresentare un sistema ad eventi discreti logico:

• Automa.
• Reti di Petri.
• Reti di Petri colorate.

Oppure sistemi ad eventi discreti temporizzati:

• Simulazione.
• Reti di code.
• Reti di Petri temporizzate.

Sistemi ad eventi discreti: grafo orientato e automa

Tornando all’esempio della coda negli uffici pubblici, possiamo rappresentare tutte le sequenze possibili di stato e di eventi mediante il seguente grafo orientato.

Figura 1 = = = ⋯ = = = = ⋯ = p rappresenta l’arrivo di un utente, mentre rappresenta la partenza 0 1 2 0 1 2 dell’utente dopo aver completato il servizio.

0,1,2,3,… rappresenta il numero di utenti in coda (stato del sistema).

I nodi sono gli stati e gli archi gli eventi del sistema. Nota che dallo stato 1 è possibile la sequenza pa, mentre la stessa sequenza non è possibile dallo stato 0 (in quanto dallo stato 0 l’unico evento possibile è l’arrivo di un utente).

Il modello rappresentato in Figura 1 è denominato automa.

Reti di Petri

Reti di Petri: Grafi bipartiti in cui ci sono nodi (denominati posti), barre (denominate transizioni) e archi. Gli archi possono connettere esclusivamente posti e transizioni.

L’insieme dei posti, rappresentato da un vettore (denominato marcatura) è lo stato del sistema, mentre le transizioni sono gli eventi.

Per chiarire il concetto di rete di Petri riportiamo la seguente rete che modella una macchina:

Eventi:

• T1 inizio lavorazione.
• Token t2 fine lavorazione.
• T3 insorgere di un guasto.
• T4 riparazione del guasto.

Marcatura (stato):

• Un token (gettone) in P1 indica l’inattività della macchina.
• Un token in P2 modella la macchina in lavorazione.
• Un token in P3 rappresenta un guasto della macchina.

° " " verificarsi può non ,,poi in, p non,tokenci sono^ Assemblaggio iss☐ verificarsi'( token puo diviso viene non un ,token ) 'poi che due in Pin non,

Una transizione per poter essere abilitata e accendersi ha yo ,, ,,g. ,, bisogno di un numero di token sufficiente nei posti a monte della transizione stessa.

È possibile inserire dei pesi sugli archi che indicano il numero di token che si muovono da un posto all’altro.

Reti di Petri colorate

Reti di Petri colorate: Le condizioni di scatto possono variare a seconda del colore del token.

Le condizioni di scatto per questo motivo sono più complesse.

Modelli di simulazione

Tra i sistemi temporizzati si distinguono i modelli di simulazione: riproduzione delle dinamiche di un sistema nella sua evoluzione temporale.

Esempio: Conoscere per quanto tempo un impiegato è utilizzato allo sportello.

Naturalmente non è opportuno in questi casi far uso di modelli logici a eventi discreti poiché non forniscono una percezione dei tempi di permanenza in ciascun stato.

Un modello di simulazione può considerare e rappresentare la variabile n(t) indicando con essa il numero di utenti in coda e in servizio al variare del tempo. Gli eventi sono indicati con tj e rappresentano l’arrivo e partenza degli utenti.

Stato n(t) Definire l’indice di performance: in questo T caso l’utilizzazione dell’impiegato.

2 3 − 1 + (5 − 4)à = = 1 t3 tt2 t5t4t1

Il coefficiente di utilizzazione può essere considerato anche nel caso più complesso di sistemi di produzione. Un valore eccessivo dell’indice di performance può essere segnale di un centro di lavorazione per troppo tempo occupato. Tale centro di lavorazione può rappresentare un collo di bottiglia per tutto il sistema.

Sistema del alto utilizzazione coefficiente monte troppo neanche buono' di Non avete un ae.

In fase di simulazione, conoscere tale coefficiente è utile per la costruzione del sistema di produzione al fine di evitare riduzioni del throughput del sistema (pezzi prodotti per unità di tempo).

Altri indici di performance:

• Numero medio degli utenti in coda.
• Numero totale di utenti nel sistema C- loex a attira=. utente.
• Throughput del sistema sempre un ,E via Va20 sempre.
• Ecc. z :utenteun ^

La simulazione può essere eseguita considerando gli istanti d occorrenza degli eventi e la durata dei servizi deterministici o stocastici.

Partenze gli le attivi e> deterministiche esausti non comunque o sono.

Svantaggi: software apposito.

• Complessa descrizione del funzionamento del sistema; di sviluppo un>.
• Difficile comprensione dell’osservazione.
• Tempo richiesto per un’analisi accurata.

Reti di code

Reti di code: Sono rappresentate tramite un centro di servizio e una coda in senso stretto in cui gli utenti attendono di essere serviti.

In questo modello stocastico è necessario specificare per una singola coda:

Tempi di interarrivo: tempo che trascorre tra l’arrivo di un utente e il successivo (secondo legge deterministica o stocastica).

Tempi di servizio: Tempo necessario per espletare il servizio (nella maggior parte dei casi sono estrazioni di una distribuzione probabilistica).

Numero di serventi: numero di agenti umani o artificiali che danno il servizio.

Disciplina di servizio: regola con cui si stabilisce l’ordine di servizio sulla base di varie informazioni, tra cui l’ordine di arrivo (esempio: FIFO il primo ad arrivare è il primo ad essere servito, LIFO l’ultimo ad arrivare è il primo ad essere servito, eec.) coda centro di servizio.

Reti di code: È un insieme di code legate in modo che gli utenti uscenti da una coda possano entrare in un’altra coda o uscire dal sistema.

Quindi in una reti di code vanno specificate anche le probabilità di routing degli utenti sia verso l’esterno che verso qualsiasi coda.

È possibile studiare il comportamento delle reti di code a regime e dedurre importanti informazioni come il throughput, il tempo di permanenza in coda, il numero medio di utenti in coda, l’ergodicità (simile al concetto colli di bottiglia).

Tali modelli sono largamente utilizzati nell’ambito delle telecomunicazioni, dell’informatica (reti di calcolatori) e automobilistico.

Reti di Petri temporizzate

Reti di Petri temporizzate: Lo scatto di una transizione può avvenire dopo un tempo finito dalla sua abilitazione. In dettaglio, una volta che le condizioni di abilitazione di una transizione sono verificate, dopo un tempo la transizione (rappresentata da un rettangolo) scatta muovendo i token tra i posti di ingresso e uscita. Il tempo può essere deterministico, oppure un’estrazione da una distribuzione probabilistica.

Automi – linguaggi formali

Abbiamo visto che ad ogni evento è associato un simbolo. Per questa ragione ad una sequenza di eventi è associata una sequenza di simboli. È quindi necessario definire formalmente un linguaggio generato da un sistema ad eventi discreti.

Definizione di parola

Una parola (o stringa) w definita sull’alfabeto E è una sequenza di simboli di E, che consente anche le ripetizioni.

Il numero di simboli, comprese le ripetizioni, che formano la sequenza w è chiamata lunghezza della parola w, e si indica con |w|.

∈ Analogamente indica il numero di volte in cui compare nella stringa w.

Definizione di parola vuota

La parola vuota, indicata con il simbolo è una parola di lunghezza zero ( , = 0) definita su qualunque alfabeto.

Indichiamo con E* l’insieme di tutte le parole costruibili con i simboli di E, indipendentemente dal significato e dalla lunghezza.

∗ ∗ ∈ = +∞e

Operazioni tra stringhe

Adesso soffermiamoci sulle operazioni tra stringhe:

Concatenazione di parole.

∗ ∗ ∗ ∈ ∈ ∋ = Date due parole e , la concatenazione di w e w è una parola ottenuta facendo seguire 1 2 1 21 2 alla stringa w la parola w .1 2

∗∀ ∈ : = = .

Nota che ex . 1=266 ÒCal> WiwaWI abrazo:= <>=W Zac:)

Proiezione

3364 ∗ ⊆ ∈ Dato un alfabeto E e un sottoinsieme di esso e considerata una parola (parola w definita su E), la proiezione 3364 3364 3364 , ↑ , . di su indicata con è la parola ottenuta eliminando da tutti i simboli non appartenenti a 3364 3364 ↑ ={aaca}.

Esempio: E={a,b,c}, ={a,c} , w=aabcbba,

Prefisso, substringa, suffisso

Operazioni tra stringhe: Prefisso, Substringa, Suffisso.

∗ ∗ ∋ = , , ∈ ⊂ Data una parola con , ( ) è detto prefisso (suffisso) di e si indica con (1 2 3 1 2 3 1 3 1 3 ⊃ , , .), mentre le tre parole sono substringhe di 1 2 3.

Un prefisso (suffisso) di può essere ottenuto eliminando da simboli da destra (sinistra).

Linguaggio di un sistema

Linguaggio di un sistema: Un linguaggio L definito su un alfabeto E è un sottoinsieme di E*. Indichiamo con |L| la cardinalità del linguaggio L.

Esempio: Se E è l’alfabeto italiano, allora un linguaggio potrebbe essere dato dall’insieme delle parole della lingua italiana.

Poiché il linguaggio L è un insieme, esso è soggetto a tutte le operazioni tra insiemi come l’unione e l’intersezione.

Esempio di linguaggi i j k z E={a,b,c} , L1={a,b,c} , L2={aba, bacca, bca}, L3={b a b,b ,a } , con i,j,k,z=0,1,… , L4={a,ab,ac} , L5={} , L6=∅

Nota che |L5|=1, mentre la |L6|=0.

Operazioni con i linguaggi: concatenazione di linguaggi

Operazioni con i linguaggi contenuto.

Concatenazione di linguaggi a.

∗ ∗ ⊆ ⊆ = Dati due linguaggi e (costruiti sull’alfabeto E), la concatenazione di L e L è il linguaggio formato 1 2 1 21 2 dall’insieme di tutte le parole ottenute concatenando (nell’ordine) ciascuna parola di L con tutte le parole di L .1 2

∗L = = ∈ , ∈ } , ⊆ In modo formale: con 1 2 1 1 2 2 1 1

Operazioni con i linguaggi.

Esempio di concatenazione:

∗ ∗ 2 2 2 ⊇ = , , ⊇ = , , ⟹ L = = { , , , , , , , , } E={a,b,c}; ,1 2 1 2 K.

È possibile concatenare un linguaggio L con se stesso K volte, utilizzando la notazione L .

Si assume L ={}0

Chiusura di Kleen

Dato un linguaggio , la chiusura di Kleen è il linguaggio L* definito come segue:

∗ ⊆

∞∗ 0 2 = ᚂ … = ᚂ ᚂ ᚂ =0

Chiusura dei prefissi

Dato un linguaggio , la chiusura dei prefissi di L è il linguaggio formato da tutti i prefissi di L, ed è formalmente definito dalla seguente relazione:

3364∗ ∗ ⊆ ⊆

3364 ∗ = { ∈ |∃ ∈ ∶ ⊂ } prefissii abc tutti c' 4sto× a.patois .- , ,

Operazioni con i linguaggi.

Esempio di chiusura dei prefissi: vite C- le parole per 1.

3364∗ 3 3 2 3 3 2 3 ⊇ = , , ⟹ = {, , , , , , , , , , } E={a,b,c}; IE- -]ÒI iperper >

3364 3364 L ⊆ L = In generale e se si dice che L è chiuso rispetto ai prefissi.

Complemento di un linguaggio

∗ ∗ ∗ ⊆ ⊆ Dato un linguaggio , si dice complemento di L rispetto a il linguaggio costituito da tutte ∗ le parole di che non appartengono a L.

∗ = { ∈ | ∉ } Formalmente:

{ "silo }loc↳ miki= Io, "Pistolate '" J→it > .>me 'èè" "anni↳ Koen' ' ◦ ◦ } diversi indicib. :< devono' : coopre-2 e µ, ≥- , ,n:{ .. ," ,sìla } .~io nik ≥; o altrimenti imporranno, kit che↳ "" stesso volte'si ripetono dilo numero0^15 " lo si significa ad esempio e che

Composizione concorrente o sincrona di due linguaggi

Operazioni con i linguaggi.

Composizione concorrente (o sincrona) di due linguaggi.

1∗ 2∗ ⊆ ⊆ = ᚂ Dati due linguaggi e , e posto l’alfabeto , si dice composizione concorrente (o 1 2 1 2 ∗ ∥ = { ∈ | ↑ ∈ , ↑ ∈ } sincrona) di e il linguaggio , ossia l’insieme delle parole di 1 2 1 2 1 1 2 2 ∗ le cui proiezioni su appartengono a e le cui proiezioni su appartengono a .1 1 2 2

Esempio: = {, }, = , ⟹ = ∪ = , , 1 2 1 21∗ 2∗ ⊆ ⊆ ={ con n=0,1,…} , ={ con n=0,1,…}1 2

Per calcolare la composizione concorrente si parte da uno dei due linguaggi e si impongono per ciascuna delle sue parole i vincoli affinché le proiezioni sull’altro alfabeto appartengano all’altro linguaggio.

Scegliamo ={ con n=0,1,…} . Si nota subito che affinché le proiezioni delle sue parole su appartengano 1 2 al linguaggio è necessario che;2

• 1) N=2 ;
• 2) Il simbolo c deve precedere la prima b ma può precedere o posporsi al simbolo a, dato che esso … a … ); scompare dopo la proiezione ( ,
• 3) Tra le due b deve interporsi una c ripetuta n volte.

∥ = { , Pertanto, il linguaggio con n=0,1,….}

Partiamo dalla ' lunga pium lob( (abm lom prefisso di deve2 essere un ""' "' i i;^^ , "! "..:a. =Io molte' posizioni in messo a essere puo tos o>la ' nelle violainposizioni2 essere non messo puo

Composizione concorrente partendo da L2

Automi – linguaggi formali.

Composizione concorrente (o sincrona) di due linguaggi.

Si giunge allo stesso risultato partendo da :2

= {, }, = , ⟹ = ∪ = , , 1 2 1 21∗ 2∗ ⊆ ⊆ ={ con n=0,1,…} , ={ con n=0,1,&hellip