Appunti matematica generale

Logica matematica

Proposizione

Proposizione - Def: si dice proposizione enunciato un'affermazione o vera o falsa.

Proposizione decidibile

Proposizione decidibile - Def: si dice decidibile quando il soggetto della proposizione è una variabile, e può essere o confutata o provata.

Equivalenza logica

Equivalenza logica - Def: Due proposizioni P e Q si dicono equivalenti se hanno gli stessi valori di verità (se è vera P è vera anche Q e viceversa).

Somma logica

Somma logica - Def: Date due proposizioni P e Q, si dice somma logica di P e Q (P v Q) la proposizione che è vera se almeno una delle due proposizioni risulta vera.

Prodotto logico

Prodotto logico - Def: Date due proposizioni P e Q, si dice prodotto logico di P e Q (P ^ Q) la proposizione che è vera solo se entrambe le proposizioni sono vere.

Negazione logica

Negazione logica - Def: Data la proposizione P, si dice negazione di P (TP), la proposizione che è vera se P è falsa e falsa se P è vera.

Implicazione logica

Implicazione logica - Def: Date due proposizioni P e Q, si dice relazione di implicazione logica (P => Q), la relazione che esiste tra P e Q nel caso in cui dalla verità di P si ricava la verità di Q. P e Q sono proposizioni conseguenti.

Teorema

Teorema - Def: si dice teorema una proposizione deducibile (o) a partire da assiomi o altre proposizioni (P). La proposizione P si chiama ipotesi, se la proposizione Q è chiamata tesi.

Condizione necessaria e sufficiente

Condizione necessaria e sufficiente.

Per la dimostrazione di un teorema si utilizzano due tecniche:

• Dimostrazione diretta - Sviluppando validi argomenti P si deduce che la tesi Q è in relazione alla ipotesi logica di P (P -> Q) (condizionalmente).
• Dimostrazione indiretta (o per assurdo) - Si suppone valida l'ipotesi P e la negazione della tesi Q; si suppone cioè la proposizione P n Q; si arriva a una contraddizione e si mostra che quindi era impossibile che fosse vera la proposizione data e pertanto si ottiene la tesi Q. Tale dimostrazione è anche chiamata per contraddizione, mentre quindi falsa la negazione della tesi (o anche della tesi stessa Q).

Insiemi

Insieme

Insieme - aggregato, classe o collezione alla quale appartengono degli elementi (a e A). Per caratterizzare un insieme si vuol specificare gli elementi che lo compongono in due modi:

• Per elencazione.
• Indicando le proprietà che caratterizzano gli elementi dell'insieme.

Sottoinsieme

Sottoinsieme - Def: Siano A e B due insiemi, se ogni elemento di A è anche elemento di B si dirà che A è un sottoinsieme di B (A C B).

VX e A => X e B.

Sottoinsieme proprio

Sottoinsieme proprio - Def: Se l'insieme A è un sottoinsieme di B ma A non coincide né con B né con l'insieme vuoto allora A è un sottoinsieme proprio di B (A C B).

VX e A => x e B e E b e B | b e A.

Logica matematica

Proposizione

Proposizione - Def: Si dice proposizione enunciato un'affermazione o vera o falsa.

Proposizione decidibile

Proposizione decidibile - Def: Si dice decidibile quando il soggetto della proposizione è una variabile, e può essere o confutata o provata.

Equivalenza logica

Equivalenza logica - Def: Due proposizioni P e Q sono equivalenti se hanno gli stessi valori di verità (se è vera P è vera anche Q e viceversa).

Somma logica

Somma logica - Def: Date due proposizioni P e Q, si dice somma logica di P e Q (P v Q) la proposizione che è vera se almeno una delle due proposizioni risulta vera.

Prodotto logico

Prodotto logico - Def: Date due proposizioni P e Q, si dice prodotto logico di P e Q (P ^ Q) la proposizione che è vera solo se entrambe le proposizioni sono vere.

Negazione logica

Negazione logica - Def: Data la proposizione P, si dice negazione di P (Tp), la proposizione che è vera se P è falsa e falsa se P è vera.

Implicazione logica

Implicazione logica - Def: Date due proposizioni P e Q si dice relazione di implicazione logica (P=>Q), la relazione che mette tra P e Q nel caso in cui una delle due possa essere vera e l'altra falsa. Si dice che la proposizione P è causa sufficiente per Q o che Q è condizione necessaria per P.

Se P implica Q e Q implica P, P e Q sono proposizioni equivalenti.

Teoremi

Teoremi - Def: Si dice teorema una proposizione deducibile (Q) a partire da assiomi o altre proposizioni (P), la proposizione P si chiama ipotesi, Q la tesi. Se P implica Q e thm=>P <- proposizione Q soddisfa la tesi; condizione necessaria e sufficiente.

Per la dimostrazione di un teorema si utilizzano due tecniche:

• Dimostrazione diretta - Sviluppando ipotesi e tesi e in mezzo si arriva alla conclusione.
• Dimostrazione indiretta (o per assurdo) - Si suppone valida l'ipotesi e la negazione della tesi (P and not Q), si dimostra che ne deriva una contraddizione; allora si conclude che la proposizione non è falsa, quindi è vera.

Insiemi

Insieme

Insieme -> aggregato, collezione alla quale appartengono degli elementi (a E A).

Per caratterizzare un insieme si può specificare gli elementi che lo compongono in due modi:

• Per estensione.
• Indicando la proprietà che caratterizza gli elementi dell'insieme.

Sottoinsieme

Sottoinsieme - Def: Siano A e B due insiemi, se ogni elemento di A è a