Appunti Lezioni Calamai Completi 1 AA 2013 2014 Teoria

1. Funzioni di più variabili

Sono funzioni in cui dominio è un sottoinsieme di ℝⁿ.

ℝ² è l'insieme delle coppie (x,y) composto da reali ∈ ℝ che vengono interpretati come punti o vettori a seconda delle necessità.

In generale ℝⁿ (x₁, x₂, ..., x_m) è l'insieme delle n-uple coordinate.

La norma di P |P| è la distanza di P dall'origine (0,0) |P| = √(x_p² + y_p²)

La distanza tra 2 punti P e Q è la norma del vettore differenza |P - Q| = |P_p - Q_p|

Intorno sferico

Dato P_o ∈ ℝⁿ dato ε > 0 si definisce intorno sferico di centro P_o e raggio R e si indica con B(P, ε;) = {P ∈ ℝⁿ | |P, Po| < ε;}

Si definisce intorno forato B* l’intorno sferico privato del centro P_o B(P, ε;) = {P ∈ ℝⁿ | |P, Po| < ε;, P ≠ o}

Punti di accumulazione e punti isolati

Dato A ⊂ ℝⁿ dato P_o ∈ ℝⁿ si dice che P_o è p. di accumulazione per A se ogni intorno forato di P_o contiene punti di A: ∀ ε > 0 → A ∩ B*(P_o, ε;) ≠ { }

Un punto P_o ∈ A si dice isolato se non è di accumulazione per A, cioè se ∃ un intorno forato di P_o l’intersezione tra A e B* è vuota. ∃ B*(P_o, ε;) : A ∩ B*(P_o, ε;) = {}

V ∃ ε > 0 : B(P_o, ε;) ∩ A = {P_o}

Punti interni, insiemi aperti/chiusi

P_o ∈ A interno ad A se ∃ un intorno di P_o tutto contenuto in A.

P ∈ ℝⁿ è frontiera per A se ogni suo intorno contiene sia punti di A che del suo complemento.

A ⊆ ℝⁿ si dica aperto se ogni suo punto è interno chiuso se il suo complementare è aperto.

Funzioni di più variabili

Sono funzioni in cui il dominio è un sottoinsieme di ℝ² o ℝ³, l’insieme delle coppie (x,y) composto da x, y ∈ ℝ. Punti o vettori a seconda delle necessità.

In generale ℝⁿ (x₁, x₂, ..., xₘ) è l'insieme delle n-uple coordinate. La norma di P è la distanza di P dall’origine (0,0). La distanza tra 2 punti P e Q è la norma del vettore differenza.

Intorno sferico

Dato P₀ ∈ ℝⁿ, dato ε > 0, si definisca intorno sferico di centro P₀ e raggio ε e si indica con: B(P₀,ε;) = {P ∈ ℝⁿ | ||P-P₀|| < ε;}

Si definisce intorno forato B* l’intorno sferico privato del centro P₀ B*(P₀,ε;) = {P ∈ ℝⁿ | 0 < ||P-P₀|| < ε;}

Punti di accumulazione e punti isolati

Dato A ⊆ ℝⁿ dato P₀ ∈ ℝⁿ si dica che P₀ è punto di accumulazione per A se ogni intorno forato di P₀ contiene punti di A: ∀ ε > 0 → A ∩ B*(P₀,ε;) ≠ ∅

Un punto P₀ ∈ A si dice isolato se non è di accumulazione per A, cioè se un intorno forato di P₀ l’intersezione tra A e B* è vuota. ∃ B*(P₀,ε;): A ∩ B*(P₀,ε;) = {P₀} ∨ ∃ ε > 0: B(P₀,ε;) ∩ A = {P₀}

Punti interni, insiemi aperti/chiusi

P₀ ∈ A interno ad A se ∃ un intorno di P₀ tutto contenuto in A.

P ∈ ℝⁿ è di frontiera per A se ogni suo intorno contiene sia punti di A che del suo complementare.

A ⊆ ℝⁿ si dica aperto se ogni suo punto è interno. Chiuso se il suo complementare è aperto.

Funzioni reali di più variabili

Limiti

Sia f: A → ℝ, A ⊆ ℝⁿ

Sia P₀ p.t. acc. per il dominio A di f.

Diciamo che f(P) → l ∈ ℝ per P → P₀. Se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : P ∈ A, 0 < ||P - P₀|| < δ ⇒ ||f(P) - l|| < ε

Sia f: A → ℝ, A ⊆ ℝⁿ

Sia P₀ punto di accumulazione per il dominio A di f. => lim f(P) = +∞ (-∞;) _P→P0f(P) → α per P → P₀. Se ∀ M > 0 ∃ δ > 0 : P ∈ A, 0 < ||P - P₀|| < δ ⇒ f(P)| > H

Th. di unicità del limite

Se per P → P₀ la funzione f(P) ammette un limite questo è unico

Th. della permanenza del segno

Se per P → P₀ la funzione f(P) tende ad un limite finito l ≠ 0, ∃ un intorno di P₀ per tutti i punti del quale, escluso P₀, la funzione ha lo stesso segno di l

Th. del confronto (E. Carabinieri)

• Se due funzioni g(P) e h(P) tendono allo stesso limite l, per P → P₀ e ∃ un certo di intorno P₀, si ha g(P) ≤ f(P) ≤ h(P) ⇒ anche f(x,y) → l per P → P₀
• Se in un certo intorno di P₀ si ha |f(P)| ≤ |g(P)| e se per P → P₀ g(P) → 0 allora anche f(P) → 0 per P → P₀
• Se in un certo intorno di P₀ si ha |f(P)| ≥ |g(P)| e se per P → P₀, g(P) →