Appunti del corso di Geometria e algebra lineare

Strutture algebriche

Sia G un insieme non vuoto e ⊕ un'operazione binaria interna.

∀ x, y ∈ G, x ⊕ y = z ∈ G.

La coppia (G, ⊕) è detta gruppoide rispetto a ⊕.

Semigruppo

Un gruppoide (G, ⊕) che sia associativo.

∀ x, y, z ∈ G, (x ⊕ (y ⊕ z) = ((x ⊕ y) ⊕ z).

Monoide

Un semigruppo dotato di elemento neutro e ∈ G.

∃ e ∈ G / ∀ x ∈ G, e ⊕ x = x ⊕ e = x.

1. Gruppo

Un gruppo (G, ⊕) è una struttura algebrica definita dagli assiomi del monoide a cui si aggiunge l'esistenza dell'inverso.

∀ e ∈ G / ∀ x ∈ G ∃ y ∈ G / x ⊕ y = y ⊕ x = e.

Un gruppo è commutativo/abeliano se ∀ x, y ∈ G, x ⊕ y = y ⊕ x.

2. Anello

Insieme A dotato di 2 operazioni interne ⊕ e ⊗.

Il sistema (A, ⊕, ⊗) è un anello se:

• Commutativo rispetto alla 1^a operazione (A, ⊕).
• Associativo rispetto alla 2^a operazione (A, ⊗) (semigruppo).
• Legge di compatibilità fra 2 operazioni.

∀ x, y, z ∈ A, x ⊗ (y ⊕ z) = ((x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z)).

Strutture algebriche

Sia G un insieme non vuoto e ⊕ un'operazione binaria interna.

∀ x, y ∈ G, x ⊕ y = z ∈ G.

La coppia (G, ⊕) è detta gruppoide rispetto all'operazione:

Semigruppo

Un gruppoide (G, ⊕) che sia associativo.

∀ x, y, z ∈ G, x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z.

Monoide

Un semigruppo dotato di elemento neutro ∈ G rispetto all'operazione ⊕.

∃ e ∈ G / ∀ x ∈ G, e ⊕ x = x ⊕ e = x.

Gruppo

Un gruppo (G, ⊕) è una struttura algebrica definita dagli assiomi del monoide a cui si aggiunge l'esistenza dell'inverso.

∀ x ∈ G ∃ y ∈ G / x ⊕ y = y ⊕ x = e.

x: elemento neutro. y: elemento inverso.

Un gruppo è commutativo o abeliano se ∀ x, y ∈ G, x ⊕ y = y ⊕ x.

Anello

Insieme A dotato di 2 operazioni interne ⊕ e ⊗.

Il sistema (A, ⊕, ⊗) è anello se:

• Commutativo rispetto alla 1^a operazione (A, ⊕).
• Associativo rispetto alla 2^a operazione (A, ⊗) (semigruppo).
• Legge di compatibilità fra 2 operazioni.

∀ x, y, z ∈ A, x ⊗ (y ⊕ z) = (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z).

Anello unitario se esiste l'elemento neutro.

Anello commutativo se vale la proprietà rispetto a A.

Sia (A, ⊕, ⊗) un anello. Se (A*, ⊗) è un gruppo, (A, ⊗) è un gruppo commutativo, (A, ⊕, ⊗) è un campo.

* Esclude elemento neutro.

ℚ, ℝ e ℂ sono campi scalari in cui ogni elemento può essere definito scalare.

Relazioni di equivalenza

Dato due insiemi non vuoti A e B si definisce prodotto cartesiano A×B l'insieme di tutte le coppie ordinate (a, b) / a ∈ A, b ∈ B.

A×B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}.

Una relazione è una terna (A, B, R) in cui A e B sono due insiemi non vuoti e R è un sottoinsieme del prodotto cartesiano.

Per indicare 2 elementi in relazione: aRb o (a, b) ∈ R.

Una relazione è

• Riflessiva: se aRA ∀ a ∈ R.
• Simmetrica: se aRb ⇒ bRa ∀ a, b ∈ R.
• Transitiva: se aRb, bRc ⇒ aRc ∀ a, b, c ∈ R.

Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Esempio

A: Reale dei piombi RS si R/SR è riflessiva, transitiva e simmetrica.

Quindi si può dividere l'insieme A in sottoinsiemi ciascuno dei quali contiene solo elementi in relazione: classi di equivalenza.

Ogni classe può essere rappresentata da uno dei suoi elementi e le classi fra loro non hanno elementi in comune.

2. Vettori geometrici

Siano A, B due punti del piano o dello spazio.

AB è detto vettore applicato in A individuato da direzione, verso e modulo. Un vettore è detto versore di una retta se è un vettore di modulo 1.

2 vettori sono equivalenti se hanno la stessa direzione, verso e modulo.

Tutti i vettori sono distribuiti in classi di equivalenza, ciascuna classe è detta vettore geometrico. Una classe di equivalenza [AB̅] è composta da tutti i vettori equivalenti ad AB̅.

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