Preparazione all'esame di GAL - Ingegneria Informatica

GAL (11-03-2019) -- Sistemi parametrici

Kx + 2y - z = 1

-x + y - 2z = 0

x - y + 2z = k

y - z = 0

m = 4    m = 3

A =
( k   2   -1 )
| -1   1   -2 |
| 0   1   -1 |
( 1   -1   2 )

A' =
( k   2   -1   1 )
| -1   1   -2   0 |
| 0   1   -1   0 |
( 1   -1   2   k )

Compatibile ⇔ ∃ soluzioni

• Se   p = m ⇒ ∃! sol.
• Se   p m-p sol.

rg (A) ⊆ 3

|A'| =
( k   -1   1     |    k   2   1 )
| -1   -2   0    |   -1   1   0 |
| 1   2   k      |      1   -1   k )
= - ( -2k² -2 + 2 - k ) - ( k² -     k + 2k ) == k² - k = 0    ⇒    k (k - 1) = 0

k = 0    ∨    k = 1

Se   k ∈ ℝ - {0,1}   ⇒   rg (A) ⊆ 3   e rg (A') = 4   ⇨ incompatibile

Se   k = 0     o   k = 1   ⇒ rg (A) = rg (A') = 3   ⇨ compatibile

Caso I: k = 0

A =
( 0   2   -1 )
| -1   1   -2 |
| 0   1   -1 |
( 1   -1   2 )

rg (A) ≡ rg (A') = ρ = m       ρ = m

ρ = 3         m = 3          ∃! soluzione

A_u,b =
( 0   2   -1 )
| -1   1   -2 |
( 0   1   -1 )

⇒ { 2y   - z =                         ∃!   x - y + y -2z = 0 ⇒        x = -1   y - z = 0                 y = z = 1

Caso II: k = 1

A =
( 1   2   -1 )
| -1   1   -2 |
| 0   1   -1 |
( 1   -1   2 )

|A_1,3| =
( 1   2   -1 )
| -1   1   -2 |
( 0   1   -1 )
= -1 + 1 + 2 - 2 = 0 ⇒ rg (A) = 2

Proviamo con la 4^a riga ed esce 0

GAL (11-03-2019) -- Sistemi parametrici

kx + 2y - z = 1

-x + y - 2z = 0

x - y + 2z = k

y - z = 0

m = 4 m = 3

Compatibile ⇔ ∃ soluzioni

• Se ρ = m ⇒ ∃1 sol.
• Se ρ < m ⇒ ∞^m-ρ sol.

A = {k 2 -1-1 1 -20 1 -11 -1 2

A' = {k 2 -1 1-1 1 -2 00 1 -1 01 -1 2 k

rg (A) ≤ 3

|A'| = -{k -1 1-1 -2 01 2 k
= -(-2k² -2 + 2 - k) - (k² + k(-1 + 2k))
= k² - k = 0 ⇒ k(k - 1) = 0

k = 0 ∨ k = 1

Se k ∈ ℝ - {0,1} ⇒ rg (A) ≤ 3 e rg (A') = 4 ⇨ incompatibile

Se k = 0 o k = 1 ⇒ rg (A) = rg (A') = 3 ⇨ compatibile

Caso I: k = 0

A = {0 2 -1-1 1 -20 1 -11 -1 2

rg (A) = rg (A') = ρ = m

ρ = m

ρ = 3 m = 3

∃! soluzione

A_u,b = -{0 2 -1 1-1 1 -20 1 -1

⇒ {2y - z = 1

x - y + 2z = 0

y - z = 0

⇒ x = -1

y = z = 1

Caso II: k = 1

A = {1 2 -1 2-1 1 -20 1 -11 -1 2

|A_1,3| = {1 2 -1-1 1 -20 1 -1
= -1 + 1 + 2 - 2 = 0 ⇒ rg (A) ≥ 2

Proviamo con la 4^a riga ed esce 0

rg(A')−3 ⇒ essendo rg(A) ≠ rg(A') il sistema è incompatibile (nessuna soluzione)

Prova in itinere (anno 2018)

x₁ + x₃ − h x₄ = 0

h x₂ + (1+h) x₃ = 0

h x₂ − x₃ = 0

Omogeneo ⇒ compatibile è lineare

m = 3 m = 4 m (incognite) = n (equazioni)

rg(A) ≤ 3

∃∞^m-p soluzioni

A_12,13 =    | 1 0 |   | 0 -1 | = -1 (≠0)

A_123,124 =    | 1 0 1 |   | -h 0 1+h |   | 0 h -1 | = -h | -h 1+h | = -h (1 - 1-h) = -h

Troviamo il "rango" con le righe e le colonne 1, 2, 3.

A_{1,1,4 1,2,3} =    | 1 1 -h |   | -h 1+h 0 |   | 0 -1 0 | = -h       | -h 1+h | | -1 | = -h² ← "rango" con righe 1, 2, 3 e colonne 1, 2 e 4.

Se h = 0 ⇒ rg(A)=2 ⇒ ∃∞^m-p soluzioni ⇒ ∞² sol.

Se h ≠ 0 ⇒ rg(A)=3 ⇒ ∃∞^m-p sol. ⇒ ∞¹ sol.

Caso I: