Appunti fisica 2 - Teoria

Capitolo 1) forze e campi elettrici

L’equazione che determina la forza di interazione tra cariche puntiformi prende il nome di legge di Coulomb:

| || |q q1 2=kF e e 2rk

Dove si chiama costante di Coulomb e 9 2⋅10 ⋅8,9876 N m 1 2−12ϵ= = =8,k dove 8542.10 Ce 0ϵ2 24 π ⋅mC N0

Campo elettrico

Campo elettrico: ogni carica genera un campo la cui equazione è:

⃗F q⃗⃗ =k ^E re= sostituendo con la legge di Coulomb si ottiene cheE e 2q r0

Per un insieme di sorgenti otteniamo che:

q∑⃗ i ^=kE re i2ri i

Quando abbiamo un oggetto con distribuzione di più cariche:

Δ q Δ q∑⃗ ⃗i i^ ^=kΔ E r → E ≈ k r ovviamente più la differenza di q è piccola più èe e i2 2r rii ipreciso il conto, quindi si può dire che:

Δq ⅆ qi ^ ^=¿r k ∫ ri e2 2r ri ∑⃗ = ¿E limΔq→ 0 i

Per svolgere gli esercizi, per capire come si distribuisce la carica utilizziamo la densità di carica:

• Qρ=per volume (per volumi): V
• Q=σsuperficiale (per superfici): A
• Qλ=lineare (per linee e fili): l

Ovviamente le forze rispondono alla legge di Newton quindi si può calcolare la massa e la velocità della carica in un campo elettrico:

⃗q E⃗ ⃗=q =m⃗ ⃗ =F E a → ae m

Il flusso elettrico

Il flusso elettrico: corrisponde alle linee di campo che attraversano un’area.

ϕ ⋅ ⋅cos=E =EA θ → Δϕ Δ A cos θdi conseguenzaE E i i i

Discorso analogo per la distribuzione di carica:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ϕ ⋅ ⅆ= =lim ∑ E Δ A ∫ E A per superfici chiuse:E i iΔ A →0i

⃗ ⃗ Eϕ ⅆ ⅆ=∮ E A=∮ E A in cui rappresenta la componente del campo Normale nE nalla superficie.

Da qui nasce il:

Teorema di Gauss

Teorema di Gauss

Partendo dal presupposto che: consideriamo una carica positiva/negativa posta al centro di una sfera, si può affermare che:

⃗ ⃗ⅆ ⅆ=E =EⅆE A A Aper tutti i punti: di conseguenza possiamo risolvere la formulai n i idel flusso, scritta precedentemente, in questo modo:

ϕ ⅆ ⅆ ⅆ=∮ =∮ =E∮ =EAE A E A AE n

Specificando i valori delle variabili otteniamo che:

( )k q ( )e 2ϕ =EA= =44 π r π k qE e2r 1=ksappiamo che e otteniamo quindi che:e ϵ4 π 0qϕ =E ϵ 0

Estendiamoci al caso generale di più cariche puntiformi presenti:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗( )∮ ⅆ ⋅ ⅆ=∮ + +⋯E A E E A1 2

Il Teorema di Gauss è una generalizzazione del discorso e afferma che il flusso di Qualunqueuna superficie chiusa è data da:

q⃗ ⃗ ¿ϕ ⅆ=∮ E A=E ϵ 0 ⃗q

Dove rappresenta la carica totale interna alla superficie e rappresenta ilE¿campo elettrico in ogni punto della superficie.

Conduttori in equilibrio elettrostatico

Conduttori in equilibrio elettrostatico

Può essere di fondamentale utilizzo l’uso delle formule sulla densità:

q σA¿ϕ ⅆ=∮ =EA= =E A =σAqin quantoE ¿ϵ ϵ0 0

Si può quindi dare una definizione di E:

σE= ϵ0

Capitolo 2: potenziale elettrico e capacità

Introduciamo il concetto di energia potenziale pure per quanto riguarda l’elettricità.

Il lavoro effettuato dal sistema carica campo è il seguente:

∫ ¿=⃗ ⃗ⅆ ⅆ⃗ =q ⃗F s E se 0W ¿

Dal momento che il lavoro è effettuato dal campo, l’energia del sistema carica-campo ∫ ⃗ ⅆ¿=−q ⃗E s0è cambiata di una quantità per uno spostamento finito dal punto A al ⅆ =−WU ¿punto B.

=U −UΔU

La variazione di energia potenziale è quindi e più nello specifico:B AB

∫ ⃗ ⅆ=−q ⃗ΔU E s0 A

Dividendo l’energia potenziale per la carica di prova otteniamo una nuova grandezza fisica chiamata potenziale elettrico (V):

U=V q 0 =V −VΔV

Ancora più importante è la differenza di potenziale ( ) cheB Aovviamente ha la seguente formula:

BΔU ∫ ⃗ ⅆ= =− ⃗ΔV E sq0 A =W ΔU

Sappiamo dai primi capitoli di fisica meccanica che Quindi possiamo affermare che: ( )1 J=qΔV =W ricordo che 1 V CN V=C m

Elettronvolt: −19 −19⋅10 ⋅V=1,602 =1,602⋅101 eV C J

Differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme

Differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme:

Movimento parallelo alle linee di campo:

B B B∫ ∫ ∫⃗ ⃗ ( )=−ⅆ ⅆ ⅆ=− =−ΔV E S E S cos 0 E SA A A

Poiché E è costante può essere tirato fuori dal segno di integrale ottenendo:

B∫ ⅆ=−E =−EdΔV S dove d è la distanza percorsa.A

Possiamo anche ricavare la differenza di energia potenziale sapendo che:

=q =−qΔU ΔV Ed0 0

Ovviamente queste equazioni sono nel caso specifico di movimento parallelo al campo E (quindi Cos = 0). θ

Nel caso generale bisognerà considerare il valore di .

Equazioni generali

Equazioni generali

B∫ ⃗ =−⃗⋅ ⅆ ⋅=− ⃗ ⃗ΔV E s E s1) A

⃗ ⋅=q =−q ⃗ΔU ΔV E s2) 0 0

Potenziale elettrico e energia potenziale di cariche puntiformi

Potenziale elettrico e energia potenziale di cariche puntiformi

Il campo elettrico di una carica puntiforme abbiamo visto essere q⃗ =k ^E re 2r

q⃗ ⅆ ⋅ ⅆ⃗ =k ^ ⃗E s r sQuindi e 2r

⋅ ⅆ^ ^ ⃗ =dsr r s cos θ θ

Poiché il modulo di è 1: dove.ⅆ^ ⃗r sè l’angolo tra e ⅆ ⃗ ^ds cos θ s r

Inoltre, è la proiezione di lungo.ⅆds cos θ= rcosicché ⅆ ⃗s

Quindi ogni spostamento dal punto a al punto b.ⅆ ⃗r rproduce una variazione nel modulo di

Con queste sostituzioni si ottiene che:

( )q⃗ ⅆ ⅆ⃗ =E s k re 2r |r rⅆ r qb b∫=−k =kΔV q

L’equazione della differenza di potenziale diventa quindi: e e r2r rr aa[ ]1 1=k −ΔV qQuindi: e r rb a

Da qua capiamo che:

k qe= per una carica puntiforme.V r

q∑ i=kV per un sistema di cariche puntiformi.e ri i

Seguendo queste formule appena dette:

q q1 2U=V q → U=k1 e r 1,2

Dall’equazione si può notare che se le cariche sono di segno uguale U è positiva.

Ricavare il valore del campo elettrico dal potenziale elettrico

Ricavare il valore del campo elettrico dal potenziale elettrico

=−⃗ⅆ ⋅ⅆSappiamo che ⃗V E s

Se il campo ha una sola direzione (componente) per esempio lungo l’asse delle X allora

⃗ ⋅ ⅆ ⅆ⃗ =EE s xx ⅆ ⅆ=−EV x

L’equazione diventa quindi e di conseguenza il valore del campo xelettrico altro non è che la derivata cambiata in segno del potenziale elettrico rispetto alla coordinata x.

ⅆ− V=E x ⅆ x

Se il campo ha simmetria sferica:

ⅆ− V⃗ =E⋅ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ⃗ =E =−EE s r → V r quindi r ⅆr r r

Se la dimensione non è una sola bisogna applicare le derivate parziali:

−∂ −∂ −∂V V V= = =E E Ex y z∂x ∂y ∂z

Potenziale elettrico dovute a distribuzioni di carica continue

Potenziale elettrico dovute a distribuzioni di carica continue

ⅆ ⅆq qⅆ =k =kV →V ∫e er r

Potenziale elettrico di un conduttore carico

Potenziale elettrico di un conduttore carico

B∫ ⃗ ⋅ ⅆ=− ⃗ =0ΔV E sA

Ovvero ogni punto sulla superficie si trova a stesso potenziale

La capacità

La capacità

Iniziamo a studiare il comportamento dei circuiti, il primo oggetto che vediamo è il Condensatore.

Il condensatore immagazzina delle cariche fondamentalmente tramite due armature che generano una differenza di potenziale.

Q CC= F=La capacità di un condensatore è definita da: e si misura in Farad (ΔV V), è una grandezza sempre positiva.

Con un po' di sostituzioni arriviamo alla seguente formula:

Qk QQ re ϵ= = =4C= π r0ΔV r k eϵC=4 π r0

Condensatore piano

Condensatore piano

Un condensatore con armature piane (piatte) genera un campo elettrico come abbiamo già visto di questo tipo:

σ Q=E= ϵ ϵ A0 0 Qd=Ed=ΔV

Il campo è uniforme quindi: dove d è la distanza fra le armature.ϵ A0

Sostituendo alla formula sulla capacità del condensatore otteniamo:

Q Q=C= ϵΔV Qd ∕ A0ϵ A0C= d

Condensatore cilindrico

Condensatore cilindrico

Utilizzare l’immagine come riferimento per capire le formule:

b∫ ⃗ ⋅ ⅆ=−