Cinematica
Lo spostamento è il cambiamento di posizione rispetto al tempo. Ho bisogno di vettori per sapere dove si spostano gli oggetti, si deve quindi sapere modulo, direzione, verso.
Sono lo stesso vettore.
2 segmenti orientati sono equipollenti solo se hanno le tre caratteristiche uguali.
→V → vettore
|V| → modulo del vettore (è un numero reale affiancato da unità di misura > 0)
V ∈ ℝ
→V ∈ V
Stesso verso di →V se > 0
Cinematica
Lo spostamento è il cambiamento di posizione rispetto al tempo. Ho bisogno di vettori per sapere dove si spostano gli oggetti, si deve quindi sapere modulo, direzione e verso.
Sono lo stesso vettore.
2 segmenti orientati sono equipollenti solo se hanno le tre caratteristiche uguali.
v → vettore
|v| → modulo del vettore è un numero reale affiancato da unità di misura > 0
V λ ∈ ℝ v ∈ V ℝ ℝ × V → V λv
V × V → V stesso verso di v se λ > 0
|λv| = |λ||v|
Somma di vettori
Somma di vettori a + b = c = a + b
Le proprietà sono:
- B + a = a + b commutativa
- Associativa
- A + b = a + (-b)
- Elemento neutro è un vettore di modulo zero o
- A + o = o + a = a
Prodotto scalare
Prodotto scalare
V × V → ℝ associare un numero reale
a · b = |a| |b| cosφ
Le proprietà sono:
- 0 ≤ |a| |b| ≤ a · b ≤ |a| |b|
- B · a = a · b simmetrica
(cos(2π - φ) = cosφ
È il prodotto del modulo del vettore per la proiezione del modulo del secondo sul primo, geometricamente parlando. Così si può intendere così.
Vale la proprietà: distributiva
\[\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\]
Prodotto vettoriale
Prodotto vettoriale
V x V → V
\[\vec{a}, \vec{b} \rightarrow \vec{a} \wedge \vec{b}\]
\[\vec{a} \wedge \vec{b}\]
È perpendicolare sia ad a che a b.
Se 2 vettori sono paralleli, non esiste \[\vec{a} \wedge \vec{b}\] perché non esiste direttore, nessun piano.
\[|\vec{a} \wedge \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta\]
\[\vec{a} \wedge \vec{b} = 0\]
Il verso si fa con la regola della mano destra.
Le proprietà sono:
- a∧c = -c∧a
- a∧(b+c) = a∧b + a∧c
Non vale la proprietà associativa:
a∧(b∧c) ≠ (a∧b)∧c
a∧(b∧c) = (a•c)b - (a•b)c
Il doppio prodotto vettoriale può essere riportato in prodotti scalari.
Tensore
Tensore
Si chiama così un vettore di modulo e adimensionale u
|u| = 1
v→̂v→ / |v→| = uv
v = {v̂|v|uv}
u1 ∧ u2 determinano un piano.
Qualunque vettore si può scrivere come somma di due vettori paralleli a u1 e u2.
v→= v1→ + v2→ Componenti di v→
Siano assegnati u1 e u2 non paralleli ∈∀ ∈ ℝ ⇒ v = v1u1 + v2u2 ⇒ (v1, v2)
∀ (1, 2) ⇒ → = 1u1 + 2u2 →∈ Esiste una corrispond
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