Appunti esame matematica generale

Indice

• I vettori p.2
• Le matrici p.3
• Teorema di Binet p.4
• Rango – Sistemi lineari p.5
• Cramer – Rouche-Capelli p.6
• Le funzioni p.6
• Iniettive – Inverse - Monotone – Convessa p.7
• Limitatezza (superiore e inferiore) – Max e min assoluti p.8
• I limiti p.9
• Asintoti p.9
• Teo esistenza lim dx per funzioni crescenti – Teo unicità – Teo permanenza segno – Teo del confronto (2 carabinieri) – Continuità – Calcolo limite tabella limite somma p.10
• Tabella limiti prodotto e quoziente – Infiniti e infinitesimi p.11
• Funzioni continue e discontinue p.12
• Teo Weierstrass – Teo Darboux – Teo esistenza zeri p.13
• Le derivate p.13
• Punto angoloso p.13
• Punto di cuspide – Tabella derivata + formule p.14
• Metodo bisezione/corde/tangenti – Teo Rolle – Teo Fermat – Teo Lagrange - Teo Cauchy p.15
• Teo De L’Hôpital – Max e min relativi – Condizioni 2^o ordine – Teo Taylor – Concavità e convessità p.16
• Punti stazionari e di flesso p.17
• Funzioni di due variabili reali p.17
• Gradiente – Matrice hessiana – Approssimazione in punto di Max p.18
• Condizioni di 2^o ordine – Ottimizzazione p.19
• Curve di livello – Concavità + Convessità – Teo del Dini – Lagrangiana p.20
• Integrali p.21
• Teo Torricelli-Barrow – Teo del valor medio p.21
• Integrali immediati + composti p.22
• Formule varie p.23

I vettori

Insieme delle n-uple ordinate di numeri reali → x=( )∈ ∀X R x₁, x₂, … , xn dove i=1, 2,…, n xi∈ R( )x= x x , … , x )y=( y y , … , y

Somma di vettori → Dati e_{1, 2, n} ∈ + + + )x+ y=(x y , x y ,… , x y R_{1 1 2 2 n n}

Proprietà della somma:

• Associativa → (x+ +(y)+ z=x y+ z)
• Commutativa → +x+ y= y x n /x +0=x0, 0, … ,0=∈ R
• Esistenza dell’elemento nullo → ∃0=¿ (−x )=0∈ +x x , … , x R/ x
• Esistenza dell’opposto 1, 2 n → ∀ ∈x R ,∃−x=¿ n( )

Prodotto per un numero reale / scalare: Dati e → ∈ x= x , x ,… , x R_{1, 2, n} ∈ k R ( ) ∈ kx= kx , kx , … , kx R_{1, 2, n}

Proprietà del prodotto:

• Associativa → ( ) ( )hk x=h kx
• Elemento neutro → 1 x=x
• Distributive rispetto a somma di vettori ( )=kx → +kyk x+ y
• Distributive di numeri reali → ( )h+k x=hx+ kx
• Per dividere moltiplico per il reciproco = n 2 → n * 1/2

Prodotto scalare: Dati e ,) → ∈ y=( y y , … , y R_{1, 2, n} il prodotto scalare tra x e y è + +...+ =x*y=x y x y x y ' x y R_{1 1 2 2 n n i ii=1}

Proprietà:

• Commutativa → x*y= y*x
• Distributiva → (hx +ky )*z=h( )+ ( )x*z k y*z
• x*x ≥ 0 =0
• x*x=0 , se e solo se x

Combinazione lineare: Il vettore → m∑ ∀+k =k v v , ..., k v ' k v con k R i (coefficienti)_{1 1 2 2 m m i i i1=1}

Lineare dipendenza è linearmente dipendente dai vettori → n∈W Rv , v ,... , v se esiste una combinazione lineare di vettori che da W_{1 2 m}

Le matrici

• Vettori riga vs. vettori colonna
• Somma e prodotto per un reale: sommo/moltiplico ogni numero per il reale → (nel caso di somma quando hanno stessa dimensione)
• Prodotto tra matrici (righe per colonne): n° righe 1° = n° colonne 1° → il risultato avrà tante righe quante la 1° matrice e tante colonne come la 2°

Proprietà:

• Associativa → ( ) ( )AB C= A BC
• Distributiva rispetto alla somma → ( )+A B C= AC+ AB
• Associativa rispetto al prodotto esterno → ( ) ( )=kABkA B=A kB
• NON è commutativa AB ≠ BA →
• NON vale la legge di annullamento del prodotto → =0AB con A ≠ 0 e B≠ 0

Trasposizione: data una matrice A di dimensioni n x m la A è la matrice A di T → dimensioni m x n (le righe diventano le colonne e viceversa)

Proprietà:

• T T¿ =A A
• ¿ T T T- ( = +A+ B) A B
• T (kA ) =kA

Matrice simmetrica: (nel caso di matrici quadrate) elementi al di sopra e → sotto della diagonale sono simmetricamente uguali

Matrice identità: → 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Permutazione righe e colonne: utilizzo una matrice identità → modificata per modificare la matrice originale, moltiplico a sx per modificare le righe e a dx per modificare le colonne.

Determinante di una matrice (solo per matrici quadrate): det(a) → ordine 1 = ha una riga e una colonna quindi un solo numero, quello è il determinante ordine 2 = prodotto elementi diagonale principale – prodotto elementi su diagonale secondaria *a *aa – a_{11 22 21 12}

Ordine 3 = Regola di Sarrus: affianco alla matrice originale la 1° e 2° colonna calcolo poi la somma dei prodotti degli elementi sulla diagonale ← principale e le parallele ad essa. Sottraggo al risultato la stessa cosa fatta sulla diagonale secondaria e ↖ parallele ordine ≥ 4

Teorema di Laplace

Det(A) è dato dalla somma degli elementi di una sua riga/colonna moltiplicati per i rispettivi complementi algebrici:

• n n∑ ∑( )= =det A ' a Δ ' a Δ_{ij ij ij ijj=1 i=1} complemento algebrico dell’elemento il

Complemento algebrico dell’elemento il _ij numero i+ j prendo il det della sottomatrice e lo moltiplico per i+ j se i+j(-1) è pari mantengo il segno del det, altrimenti cambio segno.

Proprietà discriminante:

• ( ) T- =det A det A
• ( )=0- se A ha una riga/colonna tutta di 0, det A
• - se in A scambio tra loro due righe/colonne cambia det A segno
• ( )=0- se in A due righe/colonne sono uguali det A
• ( )=0- se in A due righe/colonne sono tra loro proporzionali det A
• n( )=k ( )- data A di ordine n, si ha che det k A det A
• date A e B quadrate dello stesso ordine si ha che ( )=det ( ) ( )det AB A det B

Teorema di Binet: vettori in R sono linearmente dipendenti se e soltanto se la matrice A R che si ottiene accostandoli come righe/colonne ha det ≠ 0 matrice quadrata con matrice singolare → det=0

Rango: il rango r di una matrice A di dimensione n x m è l’ordine massimo → delle sue sottomatrici quadrate non singolari => det ≠ 0 Numero massimo di vettori riga/colonna linearmente indipendenti presenti in essa

Matrice inversa: matrice tale che: -1 -1 -1 → =A A A A A=1 ( )-1 se la matrice è quadrata ( )=1=detdet A A I matrici con NON hanno matrice inversa det=0

Calcolo di matrice inversa calcolo To A 6 calcolo matrice aggiunta (sostituisco elementi di con i loro To A componenti algebrici) 1-1 T divido matrice aggiunta per = *aggA . A(A ) det o ( )det A

Proprietà matrice inversa:

• -1 -1¿ =A A- l’inversa dell’inversa è la matrice di partenza
• ¿ -1 T ¿ A- l’inversa della trasposta è la trasposta dell’inversa
• -1T ¿ =¿A ¿ -1 -1 -1- se A e B sono invertibili l’inversa del prodotto( =BAB) A può essere ottenuta facendo il prodotto delle inverse, NON vale la commutativa quindi inverto anche A e B

Equazioni matriciali: esiste X tale che AX=B? quando esiste l’inversa si → X dovrà avere dimensioni n x m -1 Se A non è singolare allora esiste A -1 Moltiplico ambo membri a sx per A La soluzione esiste ed è unica { + +…+a =ba x a x x_{11 1 12 2 1n n 1} + +…+ =b• sistema lineare (1)a x a x a x_{21 1 22 2 2 n n 2}...

Risolvere un sistema significa trovare la n-upla di numeri che sostituiti ordinatamente alle incognite verificano tutte le equazioni => soluzione è un vettore x∈R

Sistema è impossibile, NON ammette soluzioni → possibile, ammette soluzioni determinato = solo → una soluzione indeterminato = ∞ soluzioni → La (1) può essere scritta come Ax = B a a … a_{11 12 1n} x R A= X =a a … a i_{21 22 2 n}... a a … a b R b =_{m 1 m 2 mn i}

Sistema crameriano: un sistema si dice crameriano se la sua matrice dei coefficienti è quadrata non singolare (det ≠ 0)

Per risolverlo uso teorema di Cramer:

• det A_i =x_{i=1,2 , … , n}
• det A7
• dove è la matrice che si ottiene da A sostituendo la colonna dei coefficienti dell’incognita i-esima con la colonna dei termini noti

Quando non posso usare Cramer uso il teorema di Rouché-Capelli solo se rango di matrice coefficienti = rango della matrice completar(A) = r(A∪b) possibile r(A) ≠ r(A∪b) impossibile se r = n esiste un’unica soluzione n-r se r < n esistono soluzioni (n =∞ n°incognite)

Le funzioni

Funzioni variabili di una variabile reale dati due insiemi X e Y di numeri → reali, chiamiamo funzione da X ad Y un’assegnata corrispondenza che ad ogni elemento x∈R associa uno ed un solo elemento di y∈R

Ovunque definita in X (posso prendere qualsiasi elemento)

È univocamente definita (ad ogni x corrisponde una sola y)

Se allora y è l’immagine di x e x è la contro immagine(y=f x)di y

X è il dominio/insieme d’esistenza

Y è il codominio/insieme delle immagini

Grafico di una funzione: Data , il suo grafico è l’insieme → ⊆f : A → R con A R delle coppie ( ) ∈ ordinate tale che e y è il valore x Ax , y corrispondente ad x: { }( ) ∈ ∈ ∈ ( ) grafico f = x ; y R : x A , y f x

Funzioni elementari e composte → ( )=5

Funzione costante f x[ ] ( )=2 +1

Retta ax+ b f x x8 [ ]- parabola 2 2( )=2+ +ax bx+ c f x x x-1 -dax+ b( )[f = ]x x=- funzione omografica assi. orizzont.cx+d ca y= assi. vertic.c

Le funzioni elementari sono varie, ad esempio: n le potenze x x le funzioni esponenziali alog x le logaritmiche ale trigonometriche sinx , cosx, tanx utilizzando le operazioni si possono creare le composte(x)x+1 f es. ( )=e ( )=x+1 ( ) =eh x → f x → h x

Funzioni iniettive e inverse:

f(x) iniettiva: una funzione si dice iniettiva quando elementi → f : A → R distinti di A hanno ( ) ( )∀ ∈ ( )f A : x , x A x ≠ x → f x ≠ f x immagini distinte in 1 2 1 2 2 ogni retta parallela all’asse delle x interseca il grafico una sola volta

f(x) inversa: funzione inversa di una funzione la chiamiamo f : X → R(f ) funzione definita su e(x)f ( )a valori di X che ad ogni associa la sua contro y f x immagine una funzione è invertibile solo se iniettiva f se calcolo avrò come risultato y(¿¿-1(f y))¿¿

Funzioni monotone:

• Funzioni crescenti → una funzione è detta crescente [in senso f : A → R stretto] quando ( ) ( )∀ ∈ < (x ) [f < ( )]x , x A x x → f x ≤ f x f x_{1 2 1 2 1 2 1 2}
• Funzioni decrescenti → una funzione è detta decrescente [in f : A → R senso stretto] ( ) ( )∀ ∈ < (x ) [f > ( )]x , x A x x → f x ≥ f x f x quando 1 2 1 2 1 2 1 2

Convessità di una funzione:

• Funzione concava → una funzione è detta concava quando f ∀ ∈ x , x A la corda che 1 2 ( ) ( )( ) (x )x , f x , f x congiunge i punti e sta sotto al 1 1 2 2 grafico di f
• Funzione convessa → una funzione è detta convessa quando f ∀ ∈ x , x A la corda che 1 2 ( ) ( )( ) (x )x , f x , f x congiunge i punti e sta sopra 1 1 2 2 al grafico di f

Massimo e minimo di un insieme: M(m) è il