Appunti di Scienza delle costruzioni - seconda parte

Seconda parte teoria e applicazioni

Teoria

• 23. Analisi della deformazione
• 24. Analisi della deformazione Equazioni di congruenza interna / di compatibilità di De Saint-Venant (DSV) 11
• 25. Esercizi + Vincoli cedevoli elasticamente ..19
  • A. Esercizio metodo cinematico 19
  • B. Esercizio struttura isostatica
  • C. Vincoli cedevoli elasticamente
• 26. Analisi della tensione ..23
  • A. Principio delle sezioni
  • B. Postulato di Cauchy
  • C. Teorema di Cauchy-Poisson ..25
  • D. Vincoli cedevoli ..27
• 27. Analisi della tensione ..29
  • A. Teorema delle reciprocità delle componenti di tensione
  • B. Corollario del teorema di reciprocità: reciprocità delle tensioni tangenziali
• 28. Cerchi di Mohr
• 29. Cerchi di Mohr
  • A. Continuazione teoria
  • B. Esercizio ..40
• 30. Legame costitutivo / reologico
  • A. Elasticità ..43
  • B. Linearità ..45
• 31. Legame costitutivo
  • A. Isotropia ..48
  • B. Legge di Hooke generalizzata ..49
• 32. Teorema dei lavori virtuali (TLV)
  • A. Ipotesi ..53
  • B. Tesi
  • C. Dimostrazione
  • D. Sforzo normale ..56
  • E. Momento flettente
• 33. Teorema dei lavori virtuali (TLV)
  • A. Taglio
  • B. Applicazione pratica
• 34. Applicazione TLV
  • A. Esercizio 1 ..61
  • B. Esercizio 2 ..63
• 35. Problema elastico ..64
  • A. Spiegazione ..64
  • B. Risultato: Equazioni di Navier/Lamé ..67
  • C. Esercizio ..68
• 36. Strutture iperstatiche (fisse)
  • A. Spiegazione ..69
  • B. Esempio ..69
  • C. Applicazione TLV in una struttura reticolare
  • D. Problema dei tre fili (o tre bielle)
• 37. Strutture iperstatiche (fisse)
  • A. Continuazione problema dei tre fili
  • B. Metodo di Williot (o cavalletto di Williot)
  • C. Esempio di iperstatica labile
  • D. Esercizio TLV
• 38. Esercizi iperstatiche con metodo cinematico e TLV ..78
• 39. Teoremi energetici
  • A. Teorema di Clapeyron ..89
  • B. Teorema di Betti
  • C. Teorema di Maxwell ..91
  • D. Teorema di Castigliano
  • E. Teorema di Menabrea ..93
• 40. Criteri di resistenza ..93
  • A. Introduzione
  • B. Criterio Galileo-Rankine-Navier
  • C. Criterio Grashof-De Saint Venant
  • D. Criterio Beltrami
  • E. Criterio Tresca-Guest
  • F. Criterio Huber-Henky-Von Mises ..98
• 41. O (o instabilità) 00
  • A. Introduzione .100
  • B. Instabilità di prima specie 101
  • C. Instabilità di seconda specie ..102
  • D. Prova di instabilità non Euleriana (terza specie) .103
• 42. Trave di Eulero ..104
  • A. Spiegazione 104
  • B. Esempi 106
• 43. Problema di De Saint Venant (DSV) ..108
  • A. Introduzione .108
  • B. Ipotesi 108
  • C. Spiegazione 111
• 44. DSV - Continuazione .112
  • A. Continuazione spiegazione con soluzione 112
• 45. DSV - Casi della sollecitazione* .117
  • A. Sforzo normale* .117
  • B. Flessione retta* ..118
  • C. Flessione deviata* .119
• 46. DSV Casi della sollecitazione* e altro 121
  • A. Tenso (o presso) flessione deviata* .121
  • B. 122
  • C. Presso (o tenso) flessione retta* 122
  • D. 123
  • E. Torsione semplice* ..124
• 47. DSV Casi della sollecitazione* e altro 125
  • A. Torsione semplice* ..125
  • I. Primo approccio Problema di Dirichlet .125
  • II. Secondo approccio ..125
  • B. Spostamenti Problema di Neumann-Dini .125
  • C. Sezione ellittica 127

Analisi della deformazione

Studio l'una all'altra analisi cinematica legate geometrico o di virtuali Ipotesi spostamenti permane.

D. Sezione circolare (Cicala) 127 Il la all'infinitesimo materiale continuità fino matematico si assioma postula come.

E. Esempi di sezioni 128 di le distesse materia volumi finiti hanno proprietà chiede definitfiei.

• 48. DSV Casi della sollecitazione* e altro 130
  • A. Soluzioni approssimate Analogia idrodinamica 130

Ci dalle disinteressiamo.

• B. Sezione rettangolare in parete sottile .130

Cause.

• C. Profili chiusi in parete sottile 131

Deformazione dei di di dido ogni volume.

• D. Taglio retto e taglio deviato* 133

Variazione corpi forma processo.

• 49. DSV Casi della sollecitazione* e analisi sezione a C 134

Le il Dobbiamo variabili.

• A. Taglio* 134

Identificano che identificare processo dello.

• B. Cicala-Trefftz .134

Di O incentrato Prendiamo sistema riferimento qualsiasi un spazio un punto.

• C. Sezione C in parete sottile ..134
• 50. Esempio di sezione in parete sottile ..138
  • A. Stato di sollecitazione .138
  • B. Stato di tensione 138
  • C. Andamento delle tau ..139

CIil nella Ci finale deformata continuo Consideriamo poi o configurazione iii iii iii XAI YAIE ZAIE deformata A della alla fine AA A detto A di trasformato processo XII IIITI ZIETI_Ia di vettore A spostamento EILIADE EEEEEEEE funzioni spostamento vettore componenti SI dove uuu che è vettoriale ci un campo certe assolve a chiediamo se Gifuni sii nero dipendono proprietà dV V dal z vx y se µ potrà ma qualunque essere non il dovrà congruente essere con di deformazione campo al nel di che Non si continuo fratture o fessure campo soggetto generino vogliamo spostamento co IOA.

Non che due vada Quindi diverse disporsi trasformate a su vogliamo impongo le CI Cdromia solo punto in funzioni M un passano Ci CIE due che Potrebbe diversi accadere punti viceversa vadano in unico punto si trasforma a un Ma che di materia sia anche ci quindi non compenetrazioni vogliamo Ci In dire C che equivale conclusione monodrama a nell derivabili biunivoche iou eEfu continue u sempre di ipotesi spostamenti piccoli nel.

Torniamo solo a Iti idi B Prendiamo dove volumetrico intorno A ci anche sia infinitesimo un A't BBi AA BA B Congruenza definizione notgruenza lo de dimostriamo dalla costruzione non per per processo Da Tracciamo di A di B vettori i ricaviamo questo una cosa ne posizione e de LaVI il Se al fòra secondo sottraiamo primo de de da_Sa ds dove di.

Definiamo spostamento una nuova gradiente grandezza dal Lele sali cui E tensore proprietà indipendenti sono un operatore t di dette dal d matrici sono un indipendenti componenti re sono non sCIILII derivate e ISeE SI de3 3 simmetrica antimetricasimmetrica ami ItE CI simmetrica E y y emisimmetrica I dirette deformazioni ESe Sa E de de vedi lezione fine del scorrimenti angolari a meno 42 vedi lezione fattore successiva è t'elle dià tefitazioni E cEEEEha SS i spostamenti piccoli di ge.ca gradienti spostamento piccoli e intesi tenore Isifi tensore di rotazione Geni rigida oi cambiano segni ha rotazioni attorno E Wiz Wx agli assi Wy componenti come la.

Analizziamo formula di dello l'ipotesi campo di spostamen prevede avendo rimosso sviluppo che dello alla dovuta sia rigido spostamento deformazione parte una quota corpo cinematico il che metodo anticipavano con pura già il termine solo di.

Supponiamo avere primo SI cioè I ipotesi Ejjafini una sovrapponibilità di alla che volta analizzare mi consente di effetti contributo degli un e totale il dei studiare effetti singoli somma come Stoke dovuta a A da B due punti ee sono HASe SI BESeDEI di traslazione identifichiamo un processo rigida termine.

Quindi il traslazione rigida rappresenta primo appunto termine Ora il vediamo secondo de la al SI tensore associata E quadratica forma nulla ami simmetrico è Adate de do Vuol dire B che in9 se riguardiamo il E visualizziamo vettore di e che è rotazione rigida una ed rotazione termine.

Quindi il secondo rigida rappresenta appunto Infine il delle il terzo tensore termine deformazioni rappresenta pure fisico delle dail Ora modo in studieremo comprendere sue componenti significato che il delle tensore dentro ci quantità deformazioni sono riconducibili piccole deformazioni a pure del delle.

Nota le tensore all'interno quantità piede nadi feiffiondi mesi dal definizione di partire a spostamento gradiente Quindi l'unità scalari deformazione una quando funzioni sono rappresentiamo ma c'è di misura non appunto il termini.

Cerchiamo di dei capire fisico significato diagonali il Aind Spostiamo rs Z TE dIÈ taxÉgyptedottiyL di la Stokes Utilizziamo decomposizÈàà Feritoie Bin deformazione da la da Riscriviamo è variabile If rappresentativa x di che consentono mi la fibra della calcolarmi deformata lunghezza dex La la di de di lungo z z lungo per proiezione proiezione geometria de TITdx7EVGI.ieMclaurinIII piEx D di Ex di è relativa della è variazione una lunghezza diretta deformazione delle del.

Quindi le tensore chiameremo deformazioni piccole diagonali componenti del dirette In deformazioni particolare seconda come a segno le dilatazioni contrazioni chiameremo o elongazione oppure il delle Che è diretta cos'è deformazione qual significato una meglio o componenti.

Questa fibra misura quantità disposta una diagonali originariamente per di alla della medesimo stessa rispetto variazione asse lunghezza lungo un asse Quando queste notazioni chiamano si notazione ingegneristica all di della derivazione si simbolo associa componente operazione particolare un ad Quindi di di coordinata le ipotesi una spostamento rispetto piccoli ecco dove da di definizione spostamenti piccoli spostamenti gradienti e la che di unità ha di misura visualizza deformazione nuovo non.

Analisi della deformazione

Continuazione

Continuazione deformazione al breve ripasso dha il Torniamo del cui interno in continuo su rs un punto origine di Quindi i trasform7 lunghezza passaggi nde deformata fibra dy le daggett fatday B BCEC da Itzaà le Con moti rigidi of ipotesi no AA in rimane Stokes BA le solo rappresentati qui sono proiezioni Bit le loro è trascurabile nell'errore C confondere proiezioni ma e con iiilo.

Definiamo Xxy innis corrimento E angolare come I_0 due trascorrimento fibre dell'angolo ortogonali Ci li trovo correlazione concentriamo individuo dy perché se ax e una con su e delle delle correlazione tensore ho piccole deformazioni componenti una constimpifàiandoeetinfinièsimi dalla Quindi Aga quindi trigonometria a Ida 9ddiiii Ex ex1 ordine superiore lo stesso definizione rimane per delle il tensore piccole É perché A gagYi è y le che.

Abbiamo del extra fattore Mari trovato diagonali componenti a meno fisico di scorrimenti significato Fiji IIISe altri due piani ripetiamo procedura questa negli angolari la relazione identificano le delle tra variazioni component corrispondenza al di rispetto spostamento di te Reparti ledi terzo coordinate sistema I e effettive deformazioni if Ex 3 di tra cinematica l'ammissibilità.

Definiscono deformazioni spostamento e campo Sono di set No relazioni qualifica di relazioni un questo sempre congruenza di solo da parte si spostamento con se e un se congruente campo processo le indicate restrizioni sopra niente fratture derivabili continue funzioni di materia compenetrazione no istigarono.

Se la così più assicurerebbero fosse non non congruenza di dallo cioè stato deformazione parto se voglio e Pe capitale spofamento realtà devo lo In dimostriamo non integrare la Quindi di le bastano costanti assicurare non per integrazione congruenza C di da Ch set di abbiamo relazioni un per bisogno passare aggiuntive da memoria a imparare Cioè di di anche che relazioni il Sono deformazione garantiscono processo congruenza il di Ni quindi sia parto spostamento con se congruente campo sì altrimenti ftp.oni diiggititie.to fatto bene devono seta usare un etÌÈÈÈÉÈÈÈ.

Il delle la tensore Riscriviamo piccole deformazioni con di la scorrimenti a angolari meno JefEx In gli stessi anche tengo se indici nella parte DEIEyE simmetrica meta cambiano n E dirette deformazioni teorema spettrale Sì il E matrice diagonalizzabile una per Perché simmetrica è è quindi forza per diagonalizzabile extra nulle tutte soli le diagonali diagonali componenti esiste simmetrica Si appunto perché reali.

In che detto che autovalori siano gli è più non sono sappiamo E'un autovalori agli problema A X coincidenti E essere I possono E EE principali deformazioni Ea1 3 le di direzioni principali autovettori gli deformazione principali principali e sono delle di il In tensore sistema deformazione piccole principale siccome un delle il di tensore piccole deformazioni sistema principale deformazione le dirette solo sole vedo contrazioni deformazioni cioè presenta e elongazioni chiamate.

Che normali deformazioni sono spesso dirette le Quindi Es principali EaEa deformazioni deformazioni sono dal che deriva si direzione autovalori agli ciascuna anzi principale problema presenta come le Gli autovalori deformazioni 0 sono È attàtiàtori le direzioni E sono g di deformazione principali o di è.

Una direzione scorri risulta associata deformazione principale a se nullimenti definizione contemporaneamente angolari per Le dimostrato hanno abbiamo che fisico diagonali significato componenti E3 di dirette dirette Ea Ea deformazioni quindi deformazioni e sono detto prima come di Una direzione solo deformazione è principale se e se DikVij direzione i principale O con il.

Se sto di il valori cercando dei deformazione minimo massimo e tra diretta ricadono essi deformazioni principali EEaEaEiMaxmin Se succede questo esempio per È 5 principale E o o1 0 munulli associata scorrimenti entrambe angolari a di risolvere Quindi inutile andare è 30 problema grado ora una di ha nulla che Direzione deformazione non a una principale con fare d'inerzia direzione principale AI XICA XI OIAdet XI O reali di terzo radici.