Appunti di Probabilità e statistica

Lezione 1: martedì 01.03.2022

Esperimento aleatorio: è un'osservazione su un fenomeno il cui esito non è determinabile a priori.

Per darne una descrizione matematica, dobbiamo costruire un opportuno modello probabilistico.

Un mod. prob. è definito tramite uno spazio di probabilità.

Lo spazio di probabilità discreto

Lo spazio di probabilità relativo ad un esperimento aleatorio si compone di 3 elementi:

• Spazio campionario: Ω = {esiti possibili dell'esperimento}

Esempio: Lancio dei dadi: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Osservazione: se Ω è finito o numerabile si dice spazio discreto.

• Eventi: sono affermazioni sull'esito dell'esperimento che vengono identificati con i sottoinsiemi di Ω dati dagli enti che soddisfano l'evento.

Esempio: "Il lancio di un dado fa esito pari" = {2, 4, 6} ⊂ Ω.

In definitiva, gli eventi sono elementi di P(Ω) = insieme delle parti di Ω.

Vengono denotati con lettere maiuscole: evento A, B, C...

L'evento ∅ si dice evento impossibile.

L'evento Ω si dice evento certo.

Operazioni tra eventi

Operazioni logiche tra le affermazioni a cui corrispondono operazioni tra insiemi.

Se A, B ⊆ Ω, allora:

• “Avviene A” ∪ “avviene B” ⇔ A ∪ B
• “Avviene A” ∩ “avviene B” ⇔ A ∩ B
• “Non avviene A” ⇔ A^C = Ω \ A
• “Avviene A” ∩ “non avviene B” ⇔ A ∩ B^C = A \ B

Si ricordano le regole di De Morgan:

(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

(A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C

Si ricorda che se A ∩ B = ∅ ⇒ A e B si dicono disgiunti.

Lezione 1: martedì 01.03.2022

Esperimento aleatorio: è un’osservazione su un fenomeno il cui esito non è determinabile a priori.

Per darne una descrizione matematica, dobbiamo costruire un opportuno modello probabilistico.

Un mod. prob. è definito tramite uno spazio di probabilità.

Lo spazio di probabilità discreto

Lo spazio di probabilità relativo ad un esperimento aleatorio si compone di 3 elementi:

1. Spazio campionario: Ω = {esiti possibili dell’esperimento}

Esempio: Lancio di dadi: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Osservazione: se Ω è finito o numerabile si dice spazio discreto.

2. Eventi: sono affermazioni sul risultato dell’esperimento che vengono identificati con i sottoinsiemi di Ω dati dagli esiti che soddisfano l’evento.

Esempio:

"Il lancio di un dado ha esito pari" = {2, 4, 6} ⊂ Ω.

In definitiva, gli eventi sono elementi di P(Ω) = insieme delle parti di Ω.

Vengono denotati con lettera maiuscola: evento A, B, C ...

L’evento ∅ si dice evento impossibile.

L’evento Ω si dice evento certo.

Operazioni tra eventi

Operazioni logiche tra le affermazioni a cui corrispondono operazioni tra insiemi.

Se A, B ⊂ Ω, allora:

• "Avviene A" "avviene B" ⇔ A ∩ B
• "Avviene A" "avviene B" ⇔ A ∪ B
• "Non avviene A" ⇔ A^C = Ω \ A
• "Avviene A" "non avviene B" ⇔ A ∩ B^C = A \ B

Si ricordano le regole di De Morgan:

(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

(A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C

Si ricorda che se A ∩ B = ∅ ⇒ A e B si dicono disgiunti.

3. Misura di probabilità

È una misura di fiducia che viene assegnata agli eventi A ⊂ Ω.

Formalmente:

Def: sia Ω un insieme dato. Una funzione P: P(Ω) → [0,1] è una probabilità su Ω se:

1. P(Ω) = 1
2. Per ogni successioni di eventi (An)_n∈N a due a due disgiunti (Ai ∩ Aj = ∅ ∀i ≠ j) si ha:

P(⨆_n∈N An) = ∑_n∈N P(An) (σ-additività)

Da questa definizione discendono varie proprietà.

Proprietà

Prop.1: P(∅) = 0

dim: sia (An)_n∈N t.c. An = ∅ ∀n∈N. Per la σ-additività di P: P(⨆_n∈N An) = ∑_n∈N P(An) = ∑_n∈N P(∅) = P(∅)

Prop.2: una probabilità P su Ω è (finitamente) additiva, ovvero ∀n∈N_≥1 e dati A1,...,An eventi a 2 a 2 disgiunti, si ha P(⨆_k=1ⁿ Ak) = ∑_k=1ⁿ P(Ak) (additività).

dim: Introduciamoli eventi Ak = ∅ ∀ x > n+1, così da ottenere una successione (An)_n∈N, a due a due disgiunti. Per la σ-additività di P: P(⨆_n∈N An) = ∑_n∈N P(Ak)

Osservazione: il viceversa è falso in generale. Se una funzione è finitamente additiva, non è detto che sia σ-additiva.

Proprietà fondamentali

Valgono le seguenti:

Proprietà fondamentali:

Siano A,B ∈ Ω e P probabilità su Ω:

1. P(B\A) = P(B) - P(A∩B)

Infatti, B = (B\A)∪