Appunti di Probabilità e statistica 1

Appunti di probabilità e statistica 1

Francesco Lucibello
2 agosto 2022

Indice

• Premessa i
• 1 Insiemi contabili
•     σ-algebre 2
• 3 Misure 8
• 4 Sistemi di Dynkin 11
• 5 Semi-anelli 13
• 6 Funzioni misurabili 14
• 7 Combinatoria 19
• 8 Spazi campione ed eventi 22
•     8.1 Variabili aleatorie e funzione di distribuzione 24
• 9 Integrazione di funzioni misurabili 34
• 10 Misura prodotto 46
• 11 Statistiche 50
•     11.1 Statistiche d’ordine 55
• 12 Stimatori 60
• 13 Condizionamento 67
•     13.1 Statistiche sufficienti 68
•     13.2 Statistiche complete 69

Premessa

Questi appunti sono relativi al corso del primo semestre dell’anno accademico Probabilità e Statistica 1 2021/22 tenuto dal professore Aniello Bonocore presso l’università Federico II di Napoli. Gli appunti sono comprensivi di tutti gli argomenti trattati durante il corso. Dove qualcosa non è trattato esplicitamente è possibile consultare la bibliografia consigliata. Sono anche presenti aggiunte e approfondimenti, osservazioni e dubbi personali che forse risulteranno utili. I testi consigliati per seguire il corso sono:

• [Sch05]: questo libro può essere accompagnato dal corrispondente manuale che contiene le soluzioni ai problemi proposti [Sch17]
• [Wil91]
• [BCR11]
• [Bon21]: Sono gli appunti scritti a mano dal professore, reperibili su unina.it
• [Dal03]

Capitolo 1

Insiemi contabili

Richiamiamo dei concetti fondamentali di teoria degli insiemi.

Definizione 1.1 (Unione disgiunta). Siano e due insiemi tali che si dice unione disgiunta A B A BX “ H, di e e si indica A B A B A BY “ Y. Questa notazione sarà adottata maggiormente nella prima parte del corso, per poi essere abbandonata.

Definizione 1.2 (Complementare di un insieme). Sia un insieme e sia un suo sottoinsieme, si dice S A S Ÿ complementare di e si denota A cA S “ zA.

1.1. La definizione di complementare di un insieme dipende dall’insieme in cui è contenuto Osservazione A che si sta considerando, anche se la simbologia non lo rende palese.

Teorema 1.1 (Leggi di De Morgan). Sia S un insieme e siano A, B S sottoinsiemi di S, allora valgono:

• c c c Bq A BpA Y “ X
• c c c Bq A BpA X “ Y

Definizione 1.3 (Cardinalità). Siano e due insiemi, se :

• è biettiva f si dice che e hanno la stessa cardinalità e si scrive A B #A #B “
• è iniettiva f si dice che ha cardinalità minore di o ha cardinalità maggiore di e si scrive A B B A, #A #B #B #A o"
• se inoltre : iniettiva, allora si dice che ha cardinalità strettamente minore di o ha cardinalità strettamente maggiore di e si scrive A#A #B #B #A o",

Teorema 1.2 (Teorema di Cantor-Bernstein). #S #T #T #S Siano S T due insiemi, se e, allora #S #T .“

Da qui in poi adotterò la notazione del prof di insieme "contabile", mentre in inglese ([Sch05]) è detto "countable" (io avrei preferito tradurlo con "numerabile").

Definizione 1.4 (Insieme contabile e non contabile). Sia un insieme, se #S #N allora si dice S S Ÿ se #S #N allora si dice contabile, S non contabile á

1.2. Nota che esiste una definizione alternativa per la quale un insieme è contabile se Osservazione S #S #N e si dice finito quando #S #N “ á

Proprietà 1.3 (Unione numerabile di insiemi contabili). Siano A₁, A₂ insiemi contabili in quantità numerabile, allora A A è un insieme contabile. Cioè l’unione numerabile di insiemi contabili è “ contabile.

Definizione 1.5 (Insieme cocontabile). Sia un insieme e sia sottoinsieme di, se è contabile, S A S S A Ÿ allora si dice A cocontabile.

Capitolo 2

σ-algebre

Procediamo con la definizione di σ-algebra e anche di algebra, quest’ultima definizione non viene data su [Sch05]) però mi servirà per un'osservazione successiva.

Definizione 2.1 (Algebra). Sia un insieme e sia una famiglia di sottoinsiemi di, se S S Ÿ

• AHP
• cA AA AP ùñ P
• A AA, B A BP ùñ Y PA

allora si dice algebra su S.

2.1. Non lo dimostriamo esplicitamente ma è ovvio che l’ultima proprietà vale nel caso di un numero finito di insiemi, si ottiene facilmente per induzione.

Definizione 2.2 (σ-algebra). Sia un insieme e sia una famiglia di sottoinsiemi di, se S S Ÿ

• AHP
• cA AA AP ùñ P
• ďA AAtA u Ď ùñ Pi iPN i iPN σ-algebra

allora si dice σ-algebra su S.

2.2. Una σ-algebra è un sottoinsieme di sottoinsiemi di che è chiuso per unione numerabile Osservazione S e complementazione. σ-algebra.

Proprietà 2.1. Sia S un insieme e sia un algebra finita su S, allora è una σ-algebra.

Dimostrazione. Per definizione di algebra, è necessario solo verificare la terza proprietà di una, . . . , A A, Sia l’ordine di e sia allora necessariamente esistono degli indici tali che m n n pA q Ď 1n nPN m. . . ,: : per cui n k mu u, t A P “ t A P t1, Nun nk m ď ď . A A A“ P n n knPN k “1 σ-algebre).

Proprietà 2.2 (Proprietà di σ-algebre). Le σ-algebre godono delle seguenti proprietà:

• σ-algebra Una è chiusa anche per intersezioni (si dimostra con De Morgan)
• σ-algebre L’unione di due su un insieme è ancora una su quell’insieme

Proprietà 2.3 (Intersezione di σ-algebre). Sia S un insieme. L’intersezione di un numero arbitrario di σ-algebre su S è ancora una su S.

Definizione 2.3 (σ-algebra generata). Sia un insieme e sia famiglia di sottoinsiemi di, allora S S Ÿ σ-algebra σpGq σ-algebra G G G esiste la più piccola contenente ed è detta generata da e è detto generatore σpGq. di 2.3. Questa definizione è ben posta per la (Proprietà 2.3).

Osservazione 2.3. Questa definizione è ben posta per la (Proprietà 2.3).

Definizione 2.4 (σ-algebra traccia). Siano e insiemi e sia una su, si dice traccia di e si denota l’insieme A A Au: E A AX tE X PB BE σ-algebra che è una su detta E traccia. σ-algebra: https://proofwiki.org/wiki/Trace_Sigma-Algebra_is_Sigma-Algebra. Dimostriamo che è una Dimostrazione. □

Definizione 2.5 (Algebra contabile-cocontabile). Sia un insieme, l’insieme SA : è contabile o cocontabile uS A “ t A Ÿ σ-algebra. è una, F

Proposizione 2.4 (σ-algebra generata da una famiglia di funzioni). Sia S un insieme, siano spazi p S q i i σ-algebra F : misurabili per ogni i I e f S S un’applicazione, la più piccola che rende f -P Ñ { F i i i misurabile per ogni i I è P ď σ pt σ p ´1 : ff i I uq p F qq P B i i iPI σ-algebra, Ť ´12.4. Nota che se è contabile allora è una quindi coincide con la Osservazione I f p F q i iPI σ-algebra σ-algebra ´1 generata perché è una per ogni f i I. p F q P i

Definizione 2.6 (σ-algebra generata da un’applicazione). Siano insieme, spazio misurabile e S p S q σ-algebra σ-algebra 1 : un’applicazione, la generata dalla famiglia di funzioni si dice f S S f generata Ñ t u σ pe si denota da f f q. 2.5. Quindi in particolare si ha Osservazione σ p σ p , ´1 1 ´1 1 f f fq “ p F qq “ p F q σ-algebra.

Definizione 2.7 (Topologia). Siano un insieme e una famiglia di sottoinsiemi di tale che S S Ÿ q O 1. SH, P 2. O OA, B A BP ùñ X P 3. ď O, OU i I UP @ P ùñ P i iPI con un’insieme qualsiasi. I O allora si dice topologia. σ-algebra 2.6. Nota che in generale una σ-algebra è una topologia ma non vale il viceversa.

Definizione 2.8 (Topologia dei sottoinsiemi aperti di n). Sia l’insieme dei sottoinsiemi aperti di n, si ha che:

• n n O H, PR
• n n O OU, V U VP ùñ X P
• ď,n n O OU i I UP @ P ùñ P i iPI con è un’insieme qualsiasi. I

quindi è anche una topologia. O PpS

Definizione 2.9 (Spazio topologico). Siano un insieme e una famiglia di sottoinsiemi di S S Ÿ q, O O q tale che è una topologia, la coppia è detta spazio topologico. p S, σ-algebra O q O

Definizione 2.10 (σ-algebra di Borel). Sia spazio topologico, la generata da è detta p S σ-algebra σ-algebra di Borel o topologica. I suoi elementi sono detti oinsiemi di Borel, insiemi boreliani boreliani. n n ON

Notazione 2.11. Nel caso particolare di con la topologia euclidea, denotiamo R σ p O n n n B B p R q q B B σ-algebra

Notazione 2.12 (σ-algebra di Borel). Esistono delle abbreviazioni per indicare la di Borel. Per si usa la notazione R .B B p R q B

Siano per gli intervalli di estremi e si utilizzano le notazioni a, b a b P R, B p a, B p a, b q b q q B B r a, B r a, b q b q q B B p a, B p a, b s b s q B B r a, B r a, b s b s q B

Definizione 2.13 (Rettangoli). Definiamo i seguenti insiemi, , , . . . , o o, n o n I I I : b b a b i nuup R q tpa q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pa q P P t 1, B B B R, 1 1 n n i i, , , . . . , n n I I Ip R : b b a b i nuuq tra q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ ra q P P t 1, B B B R, 1 1 n n i i, , , . . . , o, no o n I I I : b b a b i nuup R q tpa q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pa q P P t 1, B B B Q, 1 1 n n i i rat rat rat , , , . . . , n n I I I : b b a b i nuup R q tra q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ ra q P P t 1, B B B Q, rat rat 1 1 n n i i rat , . . . , , . . . , n

Notazione 2.14. Siano , si usano anche le notazioni a, b a a b b P “ pa q, “ pb q R 1 1 n n, , b q q b b p p a, pa q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pa q B 1 1 n n, , b q q b b r r a, ra q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ ra q B 1 1 n n σ-algebra

Teorema 2.5 (Generatori della σ-algebra di Borel). σ σ σ σ o, n n rat n o, n B p R q p I q p I q p I q p I q “ “ “ “ rat σ-algebra, n n n O C K

Teorema 2.6 (Generatori della σ-algebra di Borel). Denote by and the families of open, closed 1 n and compact sets in . Then R σ σ σ n n n n B p R q p O q p C q p X q “ “ “ σ-algebra. Ora introduciamo il concetto di atomo in una σ-algebra A A,

Definizione 2.15 (Atomo). Sia una e sia se non esiste alcun insieme tale che A B P ‰ H A, e allora si dice B A B A atomo. Ă P A

2.7. Si ha che è un atomo se e solo se è un elemento minimale nell’insieme ordinato Osservazione A A P p A z t H u, Ď q. σ-algebra

2.8. Si osserva facilmente che gli atomi di una devono essere necessariamente Osservazione disgiunti. σ-algebre, L’idea di atomo è utile per scrivere esplicitamente alcune che non è affatto facile in generale, né sappiamo se sia possibile farlo. σ-ALGEBRE

Proprietà 2.7 (Determinazione atomi di una σ-algebra generata). Sia spazio misurabile, siano p X, σ p A, c A, B X, allora possiamo determinare gli atomi di B q sono A z B, B z A, A B, B q . Ď X p A Y □ Il libro dice "fai un disegno!", grazie. Dimostrazione.

Teorema 2.8 (Determinazione di una σ-algebra generata). Sia spazio misurabile, siano A, B X, p X, Ď σ p A, allora possiamo determinare B q in questo modo:

• Prendi gli insiemi A, B, X H, , c c
• Aggiungi i complementari A B
• Aggiungi unioni, intersezioni e differenze: A B, A B, A z B, B z A Y X, , , c c c c c c
• Aggiungi i complementari A B A B X Y p A z B q p B z A q
• Aggiungi l’unione delle differenze: p A z B q Y p B z A q c c
• Aggiungi il complementare p A z B q X p B z A q

In totale puoi ottenere al più 16 insiemi. σ-algebra

2.9. Ovviamente questo risultato vale per la generata da due insiemi, ma se ne Osservazione, . . . , σ p A , . . . , σ p σ p A , . . . , avessimo atomi, allora quindi possiamo estendere A A A A A q “ q, q, 1 1 1 n n n ´1 n σ-algebra questo processo ad una generata da un numero finito di atomi.

Dimostrazione. Dobbiamo solo far vedere l’insieme che abbiamo descritto con quelle operazioni è una σ p t A, G G algebra, in quanto se supponiamo di saperlo allora già sappiamo che contiene da cui A, B, B u q Ď σ p t A, σ-algebra G e sappiamo anche che (perché la è chiusa rispetto a tutte le operazioni descritte, B u q Ď cioè unione, intersezione e differenza di insiemi). Si capisce abbastanza facilmente che se prendo l’unione G, G, G di due qualsiasi elementi di l’unione è ancora in cioè è un’algebra, ma per (Proprietà 2.1), è anche σ-algebra. □

Sussistono inoltre i seguenti risultati. σ-algebra A q

Teorema 2.9 (Ordine di una σ-algebra generata da un numero finito di atomi). Sia spazio misurabile, p X, n k “ 1, . . . , , . . . , Ť n # σ p A 2 sia n e siano A A X atomi tali che A X, allora A . P Ď “ q “ N 1 1 n k n σ-algebra

2.10. Nota che il risultato ci dice in particolare che se una è generata da un numero Osservazione finito di atomi, allora essa è finita, mentre il viceversa è ovvio.

Dimostrazione. Chiediamoci come possiamo costruire esplicitamente la generata. Per prima cosa abbiamo bisogno degli insiemi poi dobbiamo fare le unioni di tutti gli. Bisogna X, A A H, 1 n , . . . , chiedersi quante unioni è possibile fare, se fissiamo 0 e il numero di sottoinsiemi di k n A ď ď t A u 1 n ` ˘ nk è (è il numero di modi possibili di estrarre elementi da un insieme di elementi), quindi possiamo k n ` ˘ nk 1 considerare unioni di tali sottoinsiemi ed esse sono tutte diverse in quanto gli insiemi sono disgiunti. In totale troviamo n ˆ ˙ n ÿ n 2 “ kk “ 0 σ unioni diverse. Affinché questo insieme che stiamo delineando sia una è necessario che sia stabile rispetto al complementare, ma dato 1 si hai n, ď ď ď ci A A “ k 1 ď k ď n, k ‰ i ci cj inoltre se facciamo il complementare di un unione del tipo otteniamo che risulta essere ancora A AYA X A i jun unione di atomi, di conseguenza vale per qualsiasi unione finita e ciò vuol dire che i complementari non li dobbiamo considerare (è come se li avessimo già considerati nelle unioni!). Questo significa che abbiamo σ-algebra considerato tutte le possibili "combinazioni di insiemi" secondo le operazioni rispetto a cui una σ-algebra σ p A , . . . , n è stabile, quindi abbiamo ottenuto una che coincide con e ha ordine 2 . A q 1 n 2.11. Poiché la dimostrazione è di carattere costrittivo, possiamo affermare che Osservazione # + m ! ď ) ď σ p A , . . . , , . . . , σ , . G G: : 1 1 A A A S m n q “ Ď t A u “ P ď ď ` σ 1 1 n n m mk ` 1 q ´ 1 m k “ 0 ¹ Basta ragionarci un attimo: se hai due unioni di insiemi disgiunti diversi e supponi che le unioni siano uguali arrivi all’assurdo perché trovi due insiemi diversi ma non disgiunti.

7, . . . , σ p A , . . . , A q

Proposizione 2.10. Sia spazio misurabile, sia n e siano A A X, allora A p X, P Ď q N 1 1 n n 2 ha al più atomi. σ p A , . . . , 2.12. Nota che per il teorema precedente, si ha anche che dev’essere finita Osservazione A q 1 n perché ha un numero finito di