Appunti di probabilità

Probabilità

Per definizioni date probabilità delle parlare di evaporati prima sanno per cosa (Un (Def) aleatorio) bene sperimento esperimento procedura è sperimentale con una: un definito di risultati esito el possibili prevedibile priori è insieme cui a non, (Def Lo()) finito infinito associato ad spazio campione campione spazio: uno Farti dell'di possibili' risultati i esperimento' l insieme esperimento e w.

(A dice Def) dir Dato evento si evento spazio sato insieno R campione uno: un, Un elementare dato risultato che è evento abbia atento solo e un ultimo probabilità dei molto quest' nella problemi di utile Trattazione sarà. La singola di detta è esperimento un ripetizione prosa. La Di probabilità dote particolare gli si Teoria portante della un sposi per sono di risultati i presenti interesse sono. Per la classe finiti di S gli eventi interesse di degli eventi intendesi spazio.

Funzione di probabilità

Funzione P La definire probabilità degli ha S valori sullo eventi è una spazio e in [ ]0,1 [ ]P A es PIA) e 0,1→: Ovvero legge' che ad el A ed che evento 1 e tra ogni un compreso 0 mismo numero assegna una di dell'terrificati al incertezza stesso evento associato grado.

Per hanno la probabilità esistono Trattare contro che approcci 3 pro e.

• Approccio assiomatico.
• Approccio frequentate.
• Approccio classico.

Quello livello el soddisfacente ritenuto basa è matematico assiomatico quale si su più quello a quelli l'el Kolmogorov che probabilità i Definiamo assiomatico 3 di usando di sono approccio concerto assiomi.

(Def Assegnato () S Probabilità 6- died di eventi approfondito: compiono si campo ~spazio) dopo~ un uno definisce funzione definire S soddisfare probabilità negativi da salari P tale seguenti reali i una non in a, Tre anioni) P/I (20 AESA)) negatività di assioma non () P (I) di normalizzazione =L) assioma r / :*(☒ -2E) { / g)) =PAina VI.

Se PA Sti An allora di " " esclusivi di #eventi =mutuamente è" ; successione una, " ,=(Assioma /di additività numerabile le Oss In 'parole disgiunti probabilità eventi di due ultimo si cie dice che assioma poche: sommano PIANA /A APA esenti due allora Nel =P PIAdi /tA avremo A)) = che caso c +e -, ,,L' delle intera discende probabilità Teoria da tramite dimostreremo Tali questi assiomi eltnpottouti proprieta'.

)PIO1) O-- Per PlaD () Assioma fato) di E questo normalizzazione che ricordiamoci =L provare: e=Dnn Allora (# ① el -17101=1Plm)) v0 assioma allora r PIO posso) usare o==/ 1=1) A-P PIAa) ☒-. AUÀANÀ =DDij: r=.,/)Plm PIÀ:P A) Ma PIAUÀ allora Pfn))) che =\+ avrò anche: so PIÀ)(A) PIAPIÀ=P) 1-)1 + → = e. Plauto Plant)) PIB(A)3) =P)+ -D: A.

Proprietà e diagrammi

Prima grafico modo ragionano in l''E ^^MMMM disegno 'faccio -dal unione ovvio che se blu delle alto lte probabilità due conto petto in devo contributo B cui saturare per un Possiamo di alla matematica prova tale proprietà ora: AUCÀRIBAUB) disgiunti A BAÀ questo = in caso sono e Allora PlAUlA_nbh-_PlAI-iPlA-nBIaB- @n. i i i EiP/ PIBNÀI=P/)BAAB) + PIRAPIB A) PIBAÀ)) *- -In definitiva usando avrò * * * in PINA) P PIB/ A)) + - □.

5) EPIA(B)T') EB A →: mà dai diagrammi Vena BOATI di A- di situazione tale = BUIARBTA- è Chiaro townland Ora Quindi AnpiB disgiunti sono e PIANI) PIAI=P PLB)/PA B)) a.→ + Perche PIA PIB)) contributo sarebbe' più un El. fini Oss della del solidità Ai probabilistico modello gli utili verifica molto di pratici sono; la fare deve delle probabilità I è poiche I somma 1 assegnate assiomi sicuri siamo non che' e e negativa al mai Zero è minimo.

Campi di eventi

,6- campi: Una S classe Def:() di cedi eventi campo ruota: si <non conto (complemento) el chiusura 1) S A-A S ripeto E€ o-()AUBES chiusure 2) all'A. Bes → rispetto unione In base proprietà Tali seguenti provare anche le possiamo a: gessi r, Dim: l'S ÀES elemento contiene almeno 5A- contiene Areato ma è 'e se campo non e e un, Sappiamo $AUÀ S a- (dare S) anche inoltre che che appartenere ne è re ma proprse=. →#Prop □.

(A.2) AS chiusura -5B ABE rispetto') e → minuziosa e À ÀUPÒESÀESA.BE 5ÀÙB facendo Inoltre Se allora al5 allora c- anche parte anche suo:, .ÀUBES Auto (ANBES usando Arts negato è avrò parte pe = magari ne, (6-Un S Def 6 di soddisfa) oltre proprietà esenti' che anche campo campo 1 alle 2 e campo un e:-, ([ UE 'ES{ chiusura/ rispetto 3) e S An unione An) numerabile e o-..,

La distinzione il Tra significativa infinito due possibile solo esenti è di questo' concerti i numero e se e Se ha finito infiniti ha lo elementi solo di elementi campione accadere può un ~spazio si se numero. (l') "N possibili allora 6-2 'parti sottoinsiemi delle sarà che quindi e campo campo insieme sia un sue un Le {) probabilità formaterme P dial di 6- concerto R spazio, ,Un Oss eremi disgiunti contiene possibile numerabili di insieme è quindi: sono e sempre se. problemi ricondursi dei Tali eventi la semplici risoluzione a per.

Spazi discreti e continui

Esistono due probabilità tipologie discreti sposi di di continui sposi spazi: e Sposi Sia {finita) discreti cardinalità discuto insieme Wz1 ovvero W insieme uno Wu=: a. . ,.. ,. .Allora l'numerabile parti 8-infinita di scegliere delle possiamo campo insieme come ro. .({ inclusi }=PS tutti ~di) Rir sottoinsiemi e-, Essendo al finito infinito eventi descrivibile di numerabile numerabile ~ più è unione esso o come elementari {)wiU {)A- noiiera Dove T-ac.IN.

Quindi la probabilità sufficiente la di A probabilità qualunque per è evento assegnare assegnare un, fui tali fatto) la degli elementari (=P distando al che { wi C- deve probabilità attenti eventi rp somma.. ,1 essere [ APltwiPlm [))) ti se÷= = ii =, =, Considerando le probabilità allora gli eventi equiparabili modo assegnate essere equo possono in È=f- =.

Applicazioni ed esercizi

Esercizio 1.9

Vediamo alcune concerti dei esposi applicazioni Esercizio Gelli 1.9: (P B)G. 0,3=PIM B) 0,4=//P almeno A 1131=0,1 nessuno me PL e) almeno ?1 =B ma nessuno Veo ÈÌI gli Termini elementari di eventi esenti poiché pochi so, matrice una possiamo usare.

÷ La: probabilità cercata ':|: e. ung [ ⑶ "" °"" "" ccCBCAC tbPL PIBA PLBBPIAB))e)) almeno ++=1 B ma nessuno facciamo PCG verificare Dobbiamo step indietro B) 0,3 eventi 3 evento questo uno = quei è un, ,,che eventi è di più unione/ PCCBPIBB)()P) 0,3=P +B) AB =-1G.(P MB PCBC) 0,4PIBB=P))A) =++ ///) P PCBC)(B)=PP 0,1BB +almeno +A) -nessuno 113mee-.

Proviamo dati colorato i rappresentare da codice una PG PCI) PIE)B) PIM B) == - =- -= -, ,☒ A CBf |""" P "" ⇐ """""""" """ " "" " """° "⑷ Allora 0,3+0,4-0,1=06PCI) -. - ⑶ ccCAC, K.

Esercizio 1.10

Esercizio 1 IO.{)I 321 12= eventi probabili. . equi.. ., ,,{ il A- ? dispari' e numero = il { }B divisibile è per 3 numero = il) divisibile {(4 è numero per = ? (B)P ?(A) PP (c) PIÀB?= P (?) ?C)PCA? 'AB= = === ,, ,

L' % allora probabilità A evento 6' eventi elementari da sente composto e • ,%PIA -7 %= % %P(b)B elementari da eventi quindi è 4 =composto =, ÷72C è (c) da P elementari composto -eventi quindi 3 = _ .,

L' AB Che i Tutti divisibili Tra dispari evento 3 1 sarebbero 12 numeri 2 sono per ef-PIAB quindi) --L'. PHAC evento 4 divisibili c) è dispari tanti da =D composto numeri cima sono per non, L' ÀB (Enti Sarebbero evento 6 divisibili i) di 12 E poi che sono numeri > 3 per non, PIÀB %) quindi =,

Esercizio 1.11

Esercizio 1.11=/)d- 28Da •Da+ |{ •-8B- DaDa + -)lanci {6 almeno [due 00= nei un F-la Schematizzare matrice attraverso situazione una ftp.i-pr ?8l- Ig-P(D.-Dz- 8)- g5-gDi-É_DeEHA:|• o' 7 %/ E) =÷÷÷I = • "d of | aA 1 I|n -12.

Esercizio 1.12

Esercizio 1-: dati Avendo vediamo ottenere quali quale 93 con 20 con somma posso e. ① Non tiene le probabili SS attraverso equi potrei: somme 'sono somme poiche quelle più ottenere, elementari eterei.))) {((34) 2441/() 235(136 226114510,= ,,,,{(1261/1351,44414225)/(23411/333)}9 =.

Ora le elementari risultati Triple descritte Tutti scambiando ottenere poiché non posso quella somma sono l' dei questi 216 ad 621 Tripla tale ordine elementari anche eventi 126 esempio numeri sono può essere, ,)( particolare 6 in sono ne. 333 invece elementare è. In ho ! combinazioni generale diversi 3 numeri 3 per. Con favorevoli la di 9 che è questa somma i osservazione ovvio rispetto per casi meno sono la 10 somma.

Esercizio 1.13

Esercizio 1 13:. (P () # =//*)× proporzionalità poiché parlato = 1.43.4.56 abbiamo di ✗ Va TiPlpai) Possiamo di il tale -tosato veloce _costante. dove la ÷ finti' K che di ragionevolmente 21 i somma = e × numeri pensare Possiamo anche nel modo ragionare seguente [l' normalizzazione K 1 di ✗ = per assioma. ✗ =L 6- [6-1%11-1(Studiano 2k Tale se µ× →× serie =. ✗ =, ✗ -=/ 6 dei primi numeri Somma. Kte 21--2 → Sisto = prima come. .12PIPAR +4%+6=1[:| ÷= ==.

Esercizio 1.16

Esercito 1.16: Volendo} le112,314,5{ Ciealentifieaae Cscifre I avremo che = con e (la cifra CCaer [scegliere) di stessa nuoto e en - non posso, a. È(/)P PCC? dispari dispari Cs ==,)(?P Cz dispari =PCC) ?ecz dispari =, "risultati " bruciata I cifra possibili 20 'la poiché sono Totale prima e in. Nel cifra escluso Combinazioni carassi avuto 25 avrei quella Non coro. *52 "3a [¥00 =3PKix) _dispari -, - i✗ 00O2 Ò (# %× ①o) dispari ⇐↳s =e =0X04 Os.

Esercizio 1.17

Esercito divise In fiori francesi 1.17 di corte 52 quadri: corte in cuori sono picche ci mazzo e un, .,(?A)P A. = questo Tutti In valori molti poiché possibili 'contiene i caso sono non enumerare Contiene astratto ragionare in. ÒSS la significa Estraggo simultaneamente Corte che identico prima prima Ciò: alla può essere non.. Questo risultati che 51.52 abbiamo sperimentali indica. I favorevoli Prendendone abbiamo Tipi di di rimarranno 4 3-T.fi4-sono 3'. ne uno. eupo assi. definitiva In. %PCA.n-t.fi?s----,

Esercitino 1.19

Esercitino 1.19: P / ?la)Cz> =In (esenti questo elementari problema) questo individuare possiamo 3 non caso e n. &Potrebbero Serifieaioi eventualità seguenti - i{){E Ec) Calce ECe {(4=41> == =, >a Ed inoltre -ora Plea PIE) 1=1) PIE++ , .>La 'situazione nella condizione poiché simmetrica troviamo quale non ci ho una e, PCCenfaeneasionei simultanea sulle =P((a)tale) ora corte estate >in cicci. caso in, .;

Allora =P (chiamata (G)=P Cicr) avremo >Cs una equazione ✗,() fare /Perché 2x+× di deve &+× 1 normalizzazione assioma) -. |: Causi: → ÷":[ "÷ "( "1-§_. allora-deviano (rimarrebbero 1)P ✗ 3 essere per uni 2 2=Cz 3C f- ×= = semi) to t a l e 51 di surimanenti carte un.