Appunti di Geometria e algebra lineare

SISTEMI DI EQUAZIONE

• 2x - y = 0
• -x + y = 3

x = 3

y = 6

DOMANDA: Esistono 2 vettori _v e _w la cui somma dia _z?

1_v + 2_w = _z

i valori x e y indicano i fattori per i quali bisogna moltiplicare _v e _w per ottenere _z

Notazioni e insiemi numerici

• N → numeri naturali = {1, 2, 3, ...}

• Z → numeri interi = {..., 0, +1, ±2, ...}

• Q → numeri razionali = {^p/_q, p ∊ Z, q ∊ Z - {0}}

• R → numeri reali

• C → numeri complessi = {a + i b | a, b ∊ R}

  i² = -1

se una proprietà vale per un insieme, vale anche per quelli sotto!

Si ampliano gli insiemi, ma non si perdono proprietà.

Sistemi di Equazione

• 2x - y = 0
• -x + y = 3

• 2x - y = 0
• -x + y = 3

Domanda: Esistono 2 vettori ^→ v e ^→ w la cui somma dia ^→ z? Faccio le proiezioni di ^→ v e ^→ w (li traslo)

1 ^→ v + 2 ^→ w = ^→ z

i valori x e y indicano i fattori per i quali bisogna moltiplicare ^→ v e ^→ w per ottenere ^→ z

Notazioni e insiemi numerici

• N → numeri naturali = {1,2,3,}
• Z → numeri interi = {0,+1,+2,...}
• Q → numeri razionali = ^p_q , p ∈ Z , q ∈ Z-{0}
• R → numeri reali
• C → numeri complessi = {a+ib | a,b ∈ R}

se una proprietà vale per un insieme, vale anche per quelli sotto! si ampliano gli insiemi, ma non si perdono proprietà.

OPERAZIONE:

funzione tra almeno 2 numeri, per ottenere un unico risultato dipendente dal tipo di operazione utilizzato.

A, B insiemi

A x B := { (a,b) | a ∈ A e b ∈ B }

possono esistere le seguenti proprietà:

• COMMUTATIVA a ♡ b = b ♡ a
• ASSOCIATIVA (a ♡ b) ♡ c = a ♡ (b ♡ c)
• esiste l'elemento NEUTRO → elemento che non fa succedere nulla nella operazione (0 per somma, 1 per moltiplicazione)
• esiste l'OPPOSTO / INVERSO di ogni elemento∀ a ∈ X esiste a^-1 ∈ X a ♡ a^-1 = a^-1 ♡ a = enecessario perché altrimenti esisterebbe un numero per il quale valga la prop.

GRUPPO:

Dato un insieme non vuoto X e un'operazione ♡ che rispetta queste proprietà, dico che X ♡

• è un gruppo, se rispetta 2, 3, 4
• è un gruppo commutativo, se rispetta 1, 2, 3, 4

es. _R, +

NON È UN GRUPPO → non vale la 4^a proprietà

(non esiste un numero ? ⋅ 0 = 1)(non esiste opposto di 0)

es. _Z, +

È UN GRUPPO → qua vale la 4^a proprietà

(0 + 0 = 0)

• _Z⊆R⊆C, +
• gruppo commutativo

es. _Z, -

non è un gruppo -> non valgono 1^a e 2^a proprietà

CAMPO: struttura algebrica X (insieme non vuoto) con 2 operazioni: *, +, (che comprendono anche -, :) dove valgono le proprietà:

• X, + è un gruppo commutativo
• X - {e} è un gruppo commutativo
  • elemento neutro
• Proprietà DISTRIBUTIVA - (X + Y) · Z = (X · Z) + (Y · Z)

es. _R, +, : è un campo

_Q, +, : è un campo

_C, +, : è un campo

_Z, +, : non è un campo perché per la moltiplicazione manca