Appunti di Econometria

F Crancesco Arlucci

Appunti di Emanuela Barbato

Econometria

Università degli studi di Roma “La Sapienza”

Corso di laurea in Finanza e Assicurazioni

Anno accademico 2014 - 2015

I seguenti contenuti sono mie personali rielaborazioni di appunti presi a lezione e di ricerche personali, sono quindi frutto di studio autonomo e non sono pertanto attribuibili in alcun modo al docente titolare della cattedra né tanto meno all’università La Sapienza di Roma. L’indicazione del nome del docente è inserito al solo fine di agevolare l’organizzazione e la ricerca degli appunti sulla piattaforma Skuola.net.

P 5rima parte

1. I 6ntroduzione

1.1 Significato dell’econometria ............................................................................................6

1.2 Gli obiettivi dell’econometria ..........................................................................................7

2. I 8l modello lineare

2.1 Il modello lineare - Un esempio .......................................................................................8

2.2 I modelli e il lungo periodo ..............................................................................................11

2.2.1 Modelli statici e modelli dinamici ........................................................................................................11

2.2.2 Il saggio costante di crescita o di decrescita ........................................................................................11

2.2.3 La tendenza di lungo periodo come modello semilogaritmico ...........................................................12

2.2.4 Approssimazione del saggio di crescita ..............................................................................................13

2.3 Prime caratteri delle serie storiche: tendenza, stagionalità e ciclo ...................................14

2.4 La stima dei minimi quadrati (OLS) della tendenza lineare ............................................15

2.4 Approssimazione - Numero di cifre decimali ..................................................................18

2.5 I modelli econometrici .....................................................................................................18

2.6 I residui da un punto di vista matematico ........................................................................18

2.7 Il breve ed il lungo periodo - Un esempio .......................................................................20

2.8 La stima dei minimi quadrati nel modello lineare semplice ...........................................22

2.8.1 Determinazione dei parametri ..............................................................................................................22

2.8.2 Interpretazione statistica .......................................................................................................................23

2.9 Il grado di adattamento di un modello al campione dei dati ............................................24

2.9.1 Scomposizione della devianza e coefficiente di determinazione centrato ...........................................24

2.9.2 Coefficiente di determinazione non centrato .......................................................................................25

2.9.3 Considerazioni sul coefficiente di determinazione ..............................................................................26

2.9.4 Eliminazione della tendenza lineare con una differenza prima ............................................................27

2.9.5 Stima di una funzione - Esempio .........................................................................................................27

2.9.6 Il coefficiente di determinazione e scelta del modello .........................................................................28

2.10 Omogeneità dei dati .......................................................................................................28

2.11 La non linearità rispetto alle variabili ............................................................................29

2.12 Propensione media ed elasticità .....................................................................................30

2.12.1 La legge di Okun - Esempio ...............................................................................................................30

2.12.2 Relazione fra tasso di cambio nominale e prezzi relativi ...................................................................31

2.13 Le varie tipologie di dati - Serie storiche, dati sezionali e longitudinali .......................31

3. L’ 33ambiente stocastico

3.1 I residui come enti aleatori - Le ipotesi deboli ................................................................33

3.2 Definizioni e risultati nell’approccio stocastico ..............................................................35

3.3 Stime e stimatori dei minimi quadrati ..............................................................................37

3.4 Il teorema di Gauss - Markov ..........................................................................................38

3.5 La correlazione tra le variabili e tra gli stimatori dei parametri .......................................38

3.6 Le ipotesi forti sui residui ................................................................................................39

3.7 Gli intervalli di confidenza ..............................................................................................40

3.8 La standardizzazione dell’intervallo di confidenza .........................................................41

3.9 Residui normali ................................................................................................................42

3.10 Inferenza statistica per i parametri del modello linee semplice .....................................43

3.11 Verifiche d’ipotesi ..........................................................................................................44

3.12 Errore di prima specie e errore di seconda specie ..........................................................46

3.13 Inferenza statistica per la varianza dei residui ...............................................................46

3.13.1 Stima puntuale di σ² dei residui .........................................................................................................46

3.13.2 Stima intervallare di σ² dei residui ....................................................................................................46

3.13.3 Verifica d’ipotesi lineari semplici per σ² dei residui .........................................................................47

3.13.4 Altre considerazioni di carattere statistico ed economico ..................................................................48

3.13.5 Inferenza statistica per i parametri del modello lineare semplice con σ² ignoto ...............................48

3.14 Considerazioni finali sulla stima dei parametri e sugli intervalli di confidenza ............49

3.15 Le principali distribuzioni statistiche in econometria ....................................................50

3.15.1 La distribuzione Normale ...................................................................................................................50

3.15.2 Distribuzione del Chi Quadrato .........................................................................................................51

3.15.3 Distribuzione della t di Student ..........................................................................................................52

3.15.4 Distribuzione della F di Fisher ...........................................................................................................52

4. L 54a proiezione

4.1 Proiezione e proiettore nei modelli lineari .......................................................................54

4.2 L’errore di proiezione .......................................................................................................56

4.3 Proiezione ex ante o ex post .............................................................................................57

4.4 La proiezione con criterio dei minimi quadrati ................................................................57

4.5 L’errore quadratico medio di proiezione ..........................................................................58

4.6 Intervalli di confidenza per le proiezioni .........................................................................58

4.7 Indicatori dell’accuratezza delle proiezioni ....................................................................59

5. 61la malaspecificazione

5.1 Aspetti variegati della malaspecificazione .......................................................................61

5.2 Eteroschedasticità dei residui ...........................................................................................61

5.2.1 Il problema dell’eteroschedasticità e risoluzione .................................................................................61

5.2.2 I test di omoschedasticità .....................................................................................................................63

5.2.3 La formulazione di Koenker ...............................................................................................................65

5.2.4 La correzione per l’eteroschedasticità di White ...................................................................................65

5.3 Fonti e conseguenze dell’autocorrelazione ......................................................................66

5.3.1 Il problema dell’autocorrelazione ........................................................................................................66

5.3.2 Test di autocorrelazione dei residui ......................................................................................................66

5.3.3 Il trattamento dell’autocorrelazione di ordine uno ...............................................................................69

5.4 Il cambiamento strutturale per il modello semplice (Test del Chow) ..............................71

5.5 Ipotesi forte sui residui (il test di normalità di Jarque Bera) ............................................75

S 77econda parte

1. I 78ntroduzione al modello lineare multiplo

1.1 I vettori e le moltiplicazioni righe per colonne ................................................................78

1.2 Il modello lineare .............................................................................................................79

1.3 L’impostazione matriciale in termini più analitici ...........................................................79

1.4 Il criterio dei minimi quadrati ..........................................................................................80

6.7 Il Coefficiente di determinazione corretto .......................................................................82

2. L 83e variabili di comodo

2.1 Le variabili di comodo per il problema dell’omogeneità dei campione - Il termine noto ......83

2.2 Le variabili di comodo per l'eliminazione delle osservazioni anomale ...........................85

2.3 Variabili di comodo stagionali .........................................................................................86

2.3.1 La depurazione stagionale con il criterio dei minimi quadrati .............................................................87

2.3.2 La conservazione dei volumi ...............................................................................................................88

2.3.3 Stagionalità additiva e moltiplicativa ...................................................................................................88

3. I 90l cambiamento strutturale per il modello multiplo

3.1 Test del cambiamento strutturale per il modello lineare semplice ...................................90

3.2 Test del cambiamento strutturale per il modello lineare multiplo ....................................90

4. P 91roiezione dei minimi quadrati nel caso multiplo

4.1 La proiezione ...................................................................................................................91

5. G 92li schemi di aggiustamento

5.1 Gli schemi di aggiustamento ............................................................................................92

5.2 Meccanismo di aggiustamento parziale (PAM) ...............................................................93

5.3 L’aggiustamento con correzione del divario ....................................................................95

6. L 97a costruzione econometrica del modello

6.1 La tendenza deterministica e la tendenza stocastica .......................................................97

6.1.1 La tendenza deterministica ..................................................................................................................97

6.1.2 La tendenza stocastica ..........................................................................................................................98

6.1.3 Tendenza mista .....................................................................................................................................98

6.1.4 La passeggiata aleatoria ......................................................................................................................99

6.2 La cointegrazione .............................................................................................................99

6.2.1 La cointegrazione - Introduzione .........................................................................................................99

6.2.2 La verifica della tendenza stocastica test di Dickey e Fuller ...............................................................101

6.2.3 La verifica della cointegrazione ...........................................................................................................102

P rima parte

La regressione univariata

1. I ntroduzione

1.1 Significato dell’econometria

L’econometria è una scienza interdisciplinare che ha il fine ultimo di studiare i processi economici utilizzando metodi matematici e metodi statistici. A dimostrazione di questo consideriamo immediatamente un esempio: c = µ + βy dove c e y sono le variabili; µ e β sono i parametri che sono stimati con serie numeriche fornite dalle istituzioni statistiche.

Questa equazione indica la relazione che esiste fra reddito (y) e consumo (c) formulata per la prima volta da J. M. Keynes (1936) e dalla quale si evincono degli elementi di economia (ovvero la relazione fra consumo e reddito inteso in senso generale), elementi di matematica (si tratta infatti di una relazione lineare) e elementi di statistica (che risiedono nella necessità di stimare i parametri µ e β). Tuttavia spesso la sola teoria economica non è capace di sviluppare ipotesi compiute e spesso le sue indicazioni sono solo un punto di partenza.

Per meglio comprendere quanto detto poniamoci le seguenti domande: La relazione data è vera di per sé?; La variabile y (reddito) deve essere ritardata di un certo lag affinché la relazione sia vera?; ed infine La forma matematica è effettivamente lineare oppure no?.

Dare una risposta a tutte queste domande non è sempre agevole ed è proprio l’econometria che ci aiuta in tale obiettivo: essa parte da una relazione teorica, come quella prima illustrata, e sulla baseti dei dati statistici forniti da diverse istituzioni (ISTAT, EUROSTAT e così via) dà indicazioni suo1 come completare la relazione anche se questo non è sempre possibile.

In altri termini possiamo dire un atche l’econometria non è un semplice strumento della teoria economica utilizzato per applicare i dati ma è essa stessa produttrice di teorie economiche; e non è un semplice strumento di verificarbppempirica effettuata per scegliere fra ipotesi alternative ma è essa stessa produttrice di ipotesi da valutare di cui verificare la consistenza con la realtà. La conseguenza di queste argomentazioni è BadiAche si sviluppa un’analisi econometria composta da fasi di speculazione economica teorica e da fasi di indagine empirica, fasi queste non separabili ma fortemente integrate fra loro.

L’econometrico ha spesso a che fare con relazioni simili a quella vista prima ed in particolare nel corso di questa trattazione faremo riferimento quelle di tipo lineare o linearizzabili ovvero relazioni ueche in primis sono no lineari ma possono essere facilmente rese tali attraverso alcune rielaborazioni.

In alcuni casi la relazione proposta in termini teorici dagli econometrici non è valida quindi sono gli stessi1 Emche, essendo dei teorici economici, devono modificare le specificazioni teoriche dell’equazione da stimare in modo tale che la nuova formulazione sia più consona ai dati. Da questo si evince che è lo stesso econometrico che fa teoria economica.

Questo paradigma è divenuto sempre più importane nel corso del tempo, infatti molte formulazioni teoriche del passato oggi non sono più valide e necessitano di un’attenta revisione (vedi ad esempio i tassi di interesse negativi)

L’econometria presenta diversi campi specifici di applicazione ad esempio l’econometria finanziaria ovvero l’utilizzazione della modellistica econometrica e delle analisi econometriche all’ambito finanziario; altri esempi sono la microeconometria (ovvero l’econometria applicata a problemi di carattere microeconomico e aziendale) e la macroeconometria (ovvero l’econometria applicata a problemi di carattere macroeconomico riferiti ad esempio l’attività economica di un paese, alle impostazioni, alle es