Appunti di dinamica

Dinamica: studio del moto dei corpi

Lo studio del moto dei corpi in relazione alle cause che lo producono coinvolge la variabile tempo.

Esempi

• Autovettura in partenza
• Spazio di frenata in funzione della forza freno
• Problemi di urti
• Sollecitazione su supporti
• Vibrazioni
• Pantografo - catenaria

Sistema a 1 grado di libertà (SDOF: single degree of freedom)

Componenti del sistema

Il sistema comprende:

• Molla di rigidezza K (energia potenziale elastica)
• Smoderatore c (dissipazione)
• Massa u (energia elastica)

L'obiettivo è ricavare l'equazione del moto attraverso il diagramma di corpo libero.

Soluzione dell'equazione del moto

La soluzione è nella forma:

x(t) = A e^st

˙x = s A e^st

¨x = s² A e^st → (ws² + cs + k) A e^st = 0

A ≠ 0 → soluzione banale che corrisponde al K = 0, cioè la massa non si sposta → non applico forze (sistema in quiete).

Sistema a 1 grado di libertà (SDOF: single degree of freedom) - Parte 2

Descrizione del sistema

Il sistema comprende:

• Molla di rigidezza K (energia potenziale elastica)
• Smarcatore c (dissipazione)
• Massa w (energia cinetica)

L’obiettivo è ricavare l’equazione del moto attraverso il diagramma di corpo libero.

Equazione differenziale del moto

w_s¨x + c ˙x + kx = 0

La soluzione è nella forma:

x(t) = A_s e^st

˙x = s_s A_s e^st

¨x = s_s² A_s e^st → (w² s² + cs + k) Ae^st = 0

A ≠ 0 è una soluzione banale che corrisponde a k = 0, cioè la massa non si sposta → non applico forze (sistema in quiete).

Equazione caratteristica

w² + Cs + K = 0

s_1,2 = -C ± √(C² - 4Kw) / 2w

Δ = C² - 4Kw ≥ 0

Si definisce ξ = C / C_c dove C_c = 2√Kw

Fattore di smorzamento

1. Se Δ > 0 (ξ > 1): gli zeri s sono reali, distinti e negativi secondo Cartesio. Il sistema si dice sovrasmorzato.
2. Se Δ = 0 (ξ = 1): gli zeri sono reali, coincidenti e negativi. Il sistema si dice criticamente smorzato.
3. Se Δ < 0 (ξ < 1): le soluzioni sono complesse coniugate con parte reale negativa. Il sistema si dice sottosmorzato.

ẍ + Cẋ + Kx = 0

Divido per il coefficiente della derivata seconda:

¨x + 2 ξ ω_m ˙x + ω₁² x = 0 (A memoria)

ξ = coeff derivata 0 / coeff derivata 2^a

Pulsazione propria o naturale

Ricordando che x = A₁e^s₁t

s² + 2ξω_ns + ω²_n = 0

Zero dell'equazione caratteristica (o poli)

s_1,2 = -ξω_n ± √(ξ²-1)

Sistemi

1. Sistema sovrasmorzato ξ > 1

x(t) = A₁e^s₁t + A₂e^s₂t

lim_t→∞x(t) = 0 stabilità

2. Sistema criticamente smorzato ξ = 1, Δ = 0

s₁ ≡ s₂ = -ω_n < 0

x(t) = (A₁ + A₂t) e^-ω_nt

Qualitativamente lo stesso grafico di prima

3. Sistema sottosmorzato (0 < ζ < 1)

S_d1,2 = -ζω_n ± ω_n √₁-ζ² = -ζω_n ± i ω_n √_1-ζ² con i=√-1

x(t) = A₁ e^s₁t + A₂ e^s₂t

x(t) = (a cos ω_dt + b sen ω_dt) e^-ζω_nt

x(t) = A sen (ω_dt + φ) e^-ζω_nt

ω_d = ω_n √1-ζ₂

Pulsazione delle oscillazioni libere smorzate

T_d = 2π / ω_d = 2π / ω_n √1-ζ²