Appunti di Analisi I

Appunti di Analisi I

Elefante Paola

Matr. 900025133

1. Limiti di funzioni reali

Definizioni preliminari

1.1. Siano x₀ ∈ R, ρ > 0. L’intorno sferico di x₀ di raggio ρ è l’intervallo

]x₀ − ρ, x₀ + ρ[

Inoltre definiamo la famiglia degli intorni sferici di x₀

I(x₀) = { ]x₀ − ρ, x₀ + ρ[ : ρ > 0 }

Intorni forati

e l’insieme degli intorni forati

I^◦(x₀) = {I : I = (I ∈ I(x₀))\{x₀}

Punto di accumulazione

Siano A ⊆ R, x₀ ∈ R. x₀ è un punto di accumulazione di A se

A ∩ I^◦ ≠ ∅   ∀ I ∈ I^◦(x₀)

Derivato di A

Chiamiamo derivato di A, indicato con la notazione D(A), l’insieme dei punti di accumulazione di A.

Funzioni pari, dispari e monotone

Una funzione f si dice pari se f(−x) = f(x); una funzione g è invece dispari se g(−x) = −g(x).

Una funzione f : A ⊆ R → R è monotona:

• Crescente se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).
• Non decrescente se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂).
• Decrescente se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).
• Non crescente se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂).

2. Definizione di limite

Siano f : A ⊆ R → R, x₀ ∈ D(A), λ ∈ R^* = R ∪ {−∞, +∞}.

Diremo che

def   lim_x→x0 f(x) = λ  ⇐⇒  ∀ V ∈ I(λ) ∃ I ∈ I^◦(x₀) : f(x) ∈ V   ∀ x ∈ A ∩ I

In modo del tutto analogo possiamo formulare una definizione leggermente diversa

def   lim_x→x0 f(x) = λ  ⇐⇒  ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ A, |x − x₀| < δ ⇒ |f(x) − λ| < ε

N.B. ε è arbitrario, δ no!

3. I principali teoremi

1.3. Elencherò ora i principali teoremi sui limiti di funzioni reali, con relative dimostrazioni.

Teorema 1.1: Unicità del limite

Siano A ⊆ R, x₀ ∈ D(A) ∩ R^*, f : A → R. Se esistono λ, σ ∈ R tali che

lim_x→x0 f(x) = λ    lim_x→x0 f(x) = σ

allora λ = σ.

Dimostrazione. Per la dimostrazione impostiamo un ragionamento ad absurdum. Supponiamo infatti che λ ≠ σ; allora esistono I₁ ∈ I(λ), I₂ ∈ I(σ) tali che I₁ ∩ I₂ = ∅.

Per la definizione di limite devono esistere U₁, U₂ ∈ I^◦(x₀)

f(x) ∈ I₁   ∀ x ∈ U₁ ∩ A

f(x) ∈ I₂   ∀ x ∈ U₂ ∩ A

Se prendiamo in considerazione però l’intorno U₁ ∩ U₂, in esso risulterebbe

f(x) ∈ I₁ ∩ I₂ ≠ ∅

il che contraddice l’ipotesi.

C.V.D.

Teorema 1.2: Teorema del segno

Siano f : A ⊆ R → R una funzione continua in A, x₀ ∈ D(A), λ ∈ R^*. Se

lim_x→x0 f(x) = λ  ⇒  ∃ I ∈ I^◦(x₀) : f(x) ∗ λ > 0   ∀ x ∈ I ∩ A

Dimostrazione.

Prendiamo in considerazione il caso λ ∈ R⁺. Per la definizione di limite

∀ ε > 0 ∃ I ∈ I^◦(x₀) : ∀ x ∈ I ∩ A, |f(x) − λ| < ε

Dato che ε è arbitrario possiamo sceglierlo in modo che ε < λ ⇒ λ − ε > 0.

In questo modo otteniamo: 0 < λ − ε < f(x) < ε + λ

ovvero nell’intorno I f(x) > 0 e di conseguenza λf(x) > 0.

Analogamente si dimostra il caso in cui λ ∈ R⁻. Supponiamo invece λ = +∞. La definizione di limite diventa:

∀ M > 0 ∃ I ∈ I(+∞) : ∀ x ∈ I ∩ A, f(x) > M

Dato che nell’intorno I, 0 < M < f(x), si vede subito che λf(x) > 0. Il caso in cui λ = −∞ è del tutto simile.

C.V.D.

Teorema 1.3: Teorema dei due carabinieri

Siano f, g, h : A ⊆ R → R, x₀ ∈ D(A) ∩ R^*. Supponiamo che esista U ∈ U^◦(x₀) : f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).

Se

lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0 h(x) = λ  ⇒  lim_x→x0 g(x) = λ.

Dimostrazione.

Per ipotesi

∀ ε > 0 ∃ U₁ ∈ U^◦(x₀) : ∀ x ∈ U₁ ∩ A, |f(x) − λ| < ε

∀ ε > 0 ∃ U₂ ∈ U^◦(x₀) : ∀ x ∈ U₂ ∩ A, |h(x) − λ| < ε

Perciò nell’intervallo U₃ = U₁ ∩ U₂ varranno tutte e tre le ipotesi, ovvero

λ − ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < λ + ε  ⇒  lim_x→x0 g(x) = λ

C.V.D.

Teorema 1.4

Siano f, g : A ⊆ R → R, x₀ ∈ D(A) ∩ R^*. Allora se:

• (1) lim_x→x0 f(x) = λ ∈ R, lim_x→x0 g(x) = σ ∈ R  ⇒  lim_x→x0 f(x) + g(x) = λ + σ
• (2) lim_x→x0 f(x) = λ ∈ R, lim_x→x0 g(x) = σ ∈ R  ⇒  lim_x→x0 f(x)g(x) = λσ
• (3) lim_x→x0 f(x) = λ ∈ R, lim_x→x0 g(x) = σ ∈ R⁰  ⇒  lim_x→x0 f(x) / g(x) = λ / σ, se g(x) ≠ 0   ∀ x ∈ A
• (4) lim_x→x0 f(x) = +∞(−∞), lim_x→x0 g(x) = +∞(−∞)  ⇒  lim_x→x0 f(x) + g(x) = +∞(−∞), lim_x→x0 f(x)g(x) = +∞
• (5) lim_x→x0 f(x) = +∞, lim_x→x0 g(x) = −∞  ⇒  lim_x→x0 f(x)g(x) = −∞
• (6) lim_x→x0 f(x) = λ ∈ R  ⇒  lim_x→x0 |f(x)| = |λ|
• (7) lim_x→x0 f(x) = λ ∈ R⁰  ⇒  lim_x→x0 1/f(x) = 1/λ

Dimostrazione.

Le dimostrazioni si costruiscono partendo dalla definizione di limite.

4. Calcolo di alcuni limiti notevoli

Primo limite notevole

1.4. • lim_x→0 sin(x) / x = 1

Come si osserva in figura (1)

∀ x ∈ ]−π/2, π/2[, |sin(x)| < |x| < |tan(x)|

Divido per |sin(x)|

1 < |x / sin(x)| < 1 / cos(x)

Inoltre x e sin(x) hanno segno concorde nell’intervallo ]−π/2, π/2[. Quindi posso omettere il valore assoluto.

lim_x→0 cos(x) = 1  ⇒  lim_x→0 sin(x) / x = 1 = lim_x→0 x / sin(x)

per il Teorema dei due carabinieri (1.3).

• lim_x→0 tan(x) / x = 1

Sapendo che tan(x) = sin(x) / cos(x) ottengo

lim_x→0 x cos(x) / sin(x)

Inoltre lim_x→0 cos(x) = 1 e, come precedentemente dimostrato, lim_x→0 sin(x) / x = 1;

ottengo allora: lim_x→0 tan(x) / x = 1

• lim_x→0 (1 − cos(x)) / x² = 1/2

Come si osserva in figura (1)

Figure 1.

1 In seguito verrà data la definizione di continuità.

2 Con la notazione R^* indico l’insieme R \ {0}.