Appunti di Algebra lineare e geometria

Algebra lineare e geometria

prof Detoni- spazi strutture esterna vettoriali algebriche interna2insiemi unaoperare e una= con,tra dell'elementigliinterna insieme→ orientatisegmentiI equipollenti*esterna elemento1 qualcos'altrotra sono→ e direte lunghezzahanno verso=s e =, =, equipollenzaè divettore classe=D unaundi segmenti orientatimodello vettori geometricideiinsieme= orientatientità↳ dotati diceredisegmenti retta=^ , _+ frecciaverso =- modulo lunghezza- = segmento(vettori elementiè internadi 2 nor maprendo osomma → dell' elementoottengoinsieme e undell ' )insiemea •itè a- dto direteLv doppiomodulo✓ ✓ → verso==+ =, ,ae 112 metàvettore dicevi modulo→v verso= =,^ ,e TE v traprodotto vettoredefinire ilposso un numero uneOv vettore nullo→Iv vettore stesso☐- il1) vettoreC- annulloOv+v v →=numeri }IO +IN 1,2= . ., .Z }{ +-11 120= ,, ., ..( afb@Z ) b)1) associativa c)prop-1 + c+ = +, faelemento72) neutro +0=0a a a=+73) te C-V-a-CZZ-a.CZ a)opposto =Da +commutativa4) b.oetbProp a+=le gruppo diconoproprietà 1- Zche è3 uncommutativo4 il è+ gruppo{① /1Mln EZ 1- 4:#min on propµ, interneho 2 +operaie .④le )che commutativoproprietà ècon gruppo-1 un,④( commutativolo } ) è' gruppoun•, associativa5) Prop commutativa6) prop7) 7 neutro8) distributiva c) ab( acaprop b: =+ +. soddisfano le2 cheinsieme operarecon +un prope -1- 8 chiama unitàcommutativoanellosi con{ )anello6,7 hosenza unD- soddisfanoè proprietàchecampo leinsieme 2un operareun +con .1- 8 inoltreefa9) 7 1) 1)( te-1-0 1( ott( )a- a. a- a== ..dell'esistenza↳ inversonoti EGIR④ G-campi1K di ènumeri campouninsieme= → basacriptografiala si→ questocostruiamo su campoelementipochicampo conun{ } divisionedella1• resti 20 intera per→, èla commutativa: :: somma→ tabella diagonalela-001 lasimmetrica rispettoè1perché di 11+1=0 oppostoèl' alloraelemento neutroè puòo→ esserenonsolonell'l' hoopposto 1F 0insieme e,resto ondapari0 no → divisione= intera } }10,1 { 0,11{ →per 2 0,1 ×nella1resto )Caab atbdispari1 -n°= divisione intera→ 2perL }{1)c- 0,1e-1.7 1+0 =/1 O1 O ==.:| :| la: elemento neutro101 0 0COSI a =campounin . distributivaprop0+0=0 →0 00Oh (0+0) aaa +==. -.- )3- chiamodil' 0 C-che 0aopposto .ae-che proprietà a)0.at C-la 0ha 0=.l' elemento C-dm a)su aasommo e •+0Aa=Da0=0 +00 a= . }{elementi Ha3 1,2concampo 0=• , }fu0 restoI nella èdiC- 01 divisione 3n per= I 1 }1 = n nf }22 = n n IK 7=33mn E-1= ,dell' orologioaritmetica→ 1=4•2°5 =+0-1-2 1 2O. l'2 °0 01 0 2-2=12dio 2o inverso è →201 10 11 2 1221 0O22 (" lela diI " divisioneresti classi dei4 equivalenza restiper• per della0,112,3 4)divisione per0=4 1=53 62 = l'ottengo 2 anche2di esiste seoperareconinsieme inverso→un non2=10↳ finitoè campounnonSe " elementi"è costruire Pprimop n°un =D camporiesce cona unsinel 2,3come pcaso =" lapotenza costruireSe di simileprimoconsidero èèp una unfinito elementi esiste laquando potenzaun ècampo con n vidi è isomorfismoeccettoedun primo unico K cambiacambiase vettorialefissato spazioelemento di camponumero un= e ✓èSpazio vettoriale ✓ K insiemeCalm unpoununo su)( vuoto dotato 2di operaren o n }✓ interna✓ elementoV di Uvettoridi+ ✗ →: somma =4 ) →W ✓ W+, }IK V vettoreprodotto esternascolareV✗ →• per( ✗✓↳ →a ↳, elementigli di 1k li chiamiamoscolariproprietàlecon associativa ( Cui )2) a)✓ +somma ✓ ww ++ + =commutativa27 ✓ utvu+ = ⑨7 elemento3) Ineutro E( vettore nullo ,⑨ È⑤V V.v Vc- c-UU ✓+: + = =4) te7 fu èopposto 7V Uc- C-C- ✓c- )) +u u =5) V-x.pe/kV-v-CVCx.pdistributivaprodotto )() pv ✗u=- . .è(34 ) pv✗ p ✗ ✓v+ +=- •6) )✗ ( ✗tu✓ w W+ +=Fuc- IK necessaria un nonProp/7) altredallediscendeIv ✓=↳ elementol' neutro moltiplicatoKdi per UvettorialeDimostrare V IKche spazioes è suunose0 1Kelemento neutro VEVdiÓ0 02.03v =.far definizioni nell'lerientrare deicome ambitoappena apprese?vettori geometrici| componenti del vettorele^ aeb usono ✓adti---/ e "d ' '✓è Cab) d)(n -1C b.le U a=+ +| i - i " ,' ( d)✓ c.☐ , '| ÷ >a- ZD ( c)aib✓'/ - _ ,- , _ →;e e%' " !- .E . . Ay cartesianoilconsiderarequesto prodottoragionamentocon possoK "KKK K×× ✗ =✗. . .- Kcoordinateho Una ogni↳ in per." scelte levettoriale KK sul voltaè campospazio unaunoopportune operare "( )le KEdua1 02 }, . _ . ,,,( b "b1 b. Kb ) E32, , n, ,. . _Samuel (definiamo barba (Casa ) b ) )03 QutbQu QOla b+ bi Oeatbz.ba al += +} , >. . }, . , ,, ., .. , ... ,., ,I EK e-→ numerounprodotto (definiamo IanCQ7. ) )haIdaIaia anda = >}. .., . .,., . - .. .le definisconoproprietà che vettoriale valgonospaziouno xkproprietà delle nelalle Kè semplice camporicondursi operose( valgono )bia.per +È ( )0,0avremo 0 0= ., ., . ,esempi 41 4✓1se n == = ☐èòtroviamo partitidue dacasi2. cuii eravamo=3per u= ingraficamente Vnello spaziovettori vettorialeprendiamo deidei numerieKnel canapa ✓E↳ V2 Vti .. ,.. C-@ K01 Ole2 .- . ,,,calcoliamo ✓C-V1da devedava +-1+ . . .È detta combinazione dilinearequesta viene v1 vasomma Ut, ... ..?ÒI lineare di ugualevettoricombinazione può aessereunacertamente si O@ atdai ase ====< >, . . .vettoriche idiremoD- v2 v2 sonoUt., ., ,.linearmente lorolaindipendenti unica combinazioneselineare è da at Oasquella cuiper = - == . .. lorodipendenti combinazioneesistelinearmente se unanulla almeno deglilineare 1 ai -1-0conesempi ÈK =D V• - ?linearmente3,2) dipendenti(V1 ( ) v21,4 sono ☐ a'Òdava dava+ - () 02 (( 1,4 3,2)@ )+ QO1 = 7)4) (( ( 2)Q11 0,0caz 3as dea =- + .- ., ,( ) )(202+302 401 0,0a1 + =, ☐{ {( Qs sistema-3oz 0-1302--0da as è= un→= Olz202 ciLeda -1202 +2dLO o-0+ omogeneo non= - or-termini notisonolinearmentevettori indipendenti→ sonoi 1122due vettori linearmente dipendentirisultano solo sesein eparalleli frarisultano loro↳ altromultiplo dell'sono uno'✓ R K IR• = =, }%)( "di Knotazione vettoriv1 0,3)( possono essere= i= :{)() colonnaindicati( 2,2↳ = in= ( %)( )1,4V3 == dava Qsvsdeve + o=+ (8)(2) (f)(G) a•a. • =>+ +:)( ( =/% g)a} )Iad( + + 403{ -202202+03=0 a→ => 802=0+2dL202+403=0 -301301-1- -☐- 301-602--0- Leda01202 Oal →+ = = -alinfiniteho d.soluzioni davariare→ lez -2↳ es = 1da = -2@ =3 linearmente dipendentivettori sono→ i > =DR✓ K• = , =/ )=/ ?! )( %)vi. v. ↳ÓQsvsAI davaV1 + =+(E) =/3aaf (2):/ %)a. a.+ +{ -1393=0 ZaLas Az 203 a# O3=0- } =}- 30.3=002 -0023dgda+ =as asas 0daa o=+ -→> -linearmentevettori indipendentisono→ , : :::::::"÷: :}✓ IR RK= --, (%)( )§ Fg( ) [ ]Ivavs↳ v3↳vs -==- =- linearmentelivettoriscegliendo questo homodo resiin idipendenti{ 2dL2dL -14dg-203-14dg 03AL-0oda →= = --30h1 0=0Q3 0lez La altre-3dg =D dà-1 al→ mi+ + → non+ = }> info2dgLala 493=0 da→- =2equaz.com incognite' 3avessiè secome in ?implica la -2kscelta v3 vacosa =il 3° vettore sullo stessoè→ pianoin - - , è aicomplanare primi 2"' ↳ problema→,& >2h V2- 03.03particolare vettorialevediamo esempio diun spazio}{ fK IR funzioni✓ R tutte le Rvettori RIR= da- → sono: ini, fafa fa funzioneEVDate fa la elementochedefiniamo KEIRmanda+ un,facie fzcn ))in +fa fa IR IR→+ : fa fa R→K D) sommaCn( +) in-n funzionefev definiamo IfIERDato RERchelacome mandae7 fcnin ) If IR IR→: fin7. prodotto Rk 1 - ) →☐ inle vettoriale diproprietàderivano naturalmenteproprietà dalledi spazioprodotto IRnelsomma campoe funzionadella Vl' elementonotare laèche nullasommaneutro infn R IR→: fu C- IR0✗ '→esercizio ?le funzioni Vindipendentilinearmente"sereni caschi e sono in, , fn@ tu IR" 0 C-(03 )Sluck ) a Cosca1 + = ne) =+ 2- illimitato↳ ±→funzioni _limitatesono ✗ → a+flash tael+la ±se -1-0a avasomma sempre=D _} Onecessariamente leg=D = KERda Sluck) ) =Dda cosca+OLÈ dadaa-per 0 =D dacome -0+ =theAL ) a 1=0osen <( >ze == indipendentilinearmentevettori→ sonoithvn criterio linearedipendenzadi vettoriale allora vettoriV tK vsspaziosia Canepa vauno utsu un , . . . ,.dipendentilinearmente puòdisono siunose essi scriveresoloe selineare altrideglicombinazionecomeDim linearmentee- vettoriche i dipendentisianosupponiamo] tcAllora tutti nullidaas.ae C- K non .., . . . Èdeve92 V1 Olzvz at =V3+ ++> . . .1=0 allora Qi didi QiAsvSia -024 vi aiutvi Vi+1= -ase- .is -- , -- --. .. ., . .allora ( )ma dividere operai 0seu =/possoVi A-1 D= QIvediV1 V2= - - -- . . .di diche esiste→ garantisce trovarlodimostrazione dicostruttiva permettemiKKènon nonuna⇐ vettoriche dei sisupponiamo come combinazionescrivereuno possalineare degli altri71 772Vi ItdiV1 Va vi.+ UtVit-1 i= +'+ +→i i+i- ... .. .71 772 deve7 OV2V1 Vi+ +vii ✓ =+ i ++a, a+ e-- +1-_ . . .almenoho Iicoefficiente1 -1→ o =troviamo fraquindi icombinazione vettori almenolineareuna concoefficiente di linearmente dipendenti1=0-1 vettoriun i sono=D=esempio3✓ ☒ RK 1= 3(= ) G)&voi{vettori ° V3v1i = =. 2 ( )dipendentilinearmenteSono v3 03. +3kva↳perché ✓= e = .13v2 v3=oppurenotare lineareche diè combinazionequesto V3V2V2 noncasoin e)( èloMA importa v2perchénonSottospazi vettoriali KdefinitoVK vettorialeD- Dato ed sottoinsiemecampo spazioun su ununo ,U anch'Vettoriale VU sottospazio didice èc- si esso unose spaziovettoriale le operazionimedesime definite Vcon suUsi Vindica c-verificarecondizioni da } chiuso operazioni2U alleU1) rispettoV-us.ua C- UE Us ne+7A EUne2) EK U¥ in, ÓEUfattodallaNB 2° condizion