Appunti di algebra e geometria (6)

Spazio vettoriale

Definizione

Sia V un insieme qualunque dotato di una operazione di somma e di una operazione di prodotto per scalari...

Proprietà

(V, +) è un gruppo commutativo...

Osservazione

I_K = I_Q x C

Esempi

1. Lo spazio dei vettori definiti e partire da Σ, ℓ...
2. Spazio euclideo tridimensionale

^K x ₂₃...

Prodotto cartesiano in volte...

SOMMA:... x_m y_m

PRODOTTU: Con queste operazioni I_K^m...

3) M_{m, nm}(I_K) = {...} RIGA i - ESIMA COLONNA j - ESIMA

Lezione 8 - 22/10/18 - 10:15 a 11:00

Spazio vettoriale

Definizione

Sia V un insieme qualunque dotato di una operazione di somma e di una operazione di prodotto su scalari di campo K che soddisfano le seguenti proprietà:

(V, +) è un gruppo commutativo

Il prodotto per scalari in K soddisfa V1, V2, V3 (inoltre si richiede che 1.x=x ∀ x ∈ V)

(V, +, *) é uno spazio vettoriale sul campo K

Osservazione 1

K = ℝ, ℚ, ℂ (numero di elementi infinito)

K = {ℤ₂, {0, 1}} (a volte è quozionamento)

Esempi

1. Lo spazio dei vettori definiti e partire da Σ b
2. Spazio euclideo tridimensionale Kⁿ × K^m × ... × K^l

Prodotto cartesiano n volte

Somma [x₁, x₂, ..., x_n][x_m, y_m]

Prodotto: [x₁, x_n][x_m]

Con queste operazioni K^m è uno spazio vettoriale.

Sottomagazzini di Kⁿ non

1. M_m,n(K) = { [a₁₁ ... a_1m]^ril[a_mla ... a_mm]^ril colonna j-esima q_ij ∈ K

In _m,n(K) definire + e . Comporre endomorfismi di K^m a K^m

Con queste operazioni _m,n(K) e' uno spazio vettoriale.

A = [_{4 0 -37 -1 0}]

B = [_{-1 1 50 1 1}]

A+B = [_{3 1 27 0 1}]

-3A = [_{3 0 -521 -3 0}]

Polinomi

4) Chiamiamo: K[x] = {a₀ + a₁x + ... + a₂x² ; a_i ∈ K}

Con le somme ed il prodotto fra scalari in K e' uno spazio vettoriale.

Applicazioni

5) Sia S un insieme e K, { f : S -> K: f applicazione }

Definiamo: (f₁ + f₂)(s) = f₁(s) + f₂(s) ∀ s ∈ S

(λf)(s)^def = λ . f(s) ∀ s ∈ S e ∀ λ ∈ K

E' quindi uno spazio vettoriale

Sotto esempio S = IR

{f : IR -> IR}

Combinazione lineare

Siano v₁, ... , v_n ∈ V V spazio vettoriale. Diciamo che v_k con e' una combinazione lineare di v₁, ... , v_n e con e' Span{ v₁, ... , v_n }:

Span{ v₁, ... , v_n } = { λ₁v₁ + ... + λ_nv_n. λ_i ∈ K }

Definizione

Sia V uno spazio vettoriale e per ∀W un sottoinsieme di V. Allora W è un sottospazio vettoriale se:

1. 0 ∈ W
2. W₀ è chiuso rispetto alla somma
3. W₀ è chiuso rispetto al prodotto per scalari

Chiuso rispetto alla somma ed al prodotto per scalari

∀ w, w₀ ∈ W allora w + w₀ ∈ W

∀ w ∈ W e ∀ a ∈ K allora a w ∈ W

ℶ sia per definizione e lui non uno spazio vettoriale

Es: Il²→ Sottospazio? NOW = 2∪S

Non è un sottospazio. Il punto è fuori delle rette.

Lezione 8 - 17/10/18 - 08:15 a 10:15

Esercizio

1. Im ℚ³ A = (-1, 2, 1) B = (3, 0, -1)

Descrivere con un'equazione la retta passante per A e per B.

Soluzione

Alternativa {A-O} + s * [(A-O) - (B-O)]

Insieme = {B-O + t * [(A-O) - (B-O)] se t = 0 => (B-O) se t = 1 => (A-O)

t ∈ ℚ

x(t): 3 - 6t

y(t): 0 + 2t

z(t): -1 + 2t

Osservazione

Osserviamo che dato un vettore v ∈ ℚ³ con v≠0 il luogo:

L_v = {t * v = [ t*v₁, t*v₂, t*v₃ ] t ∈ ℚ è un vettore ed è un autospazio vettore di ℚ³

L_v si può interpretare come il sottospazio unidimensionale di ℚ³ generato da v. Lo span di v.

Corollario

v ≠ 0 ∧ w ≠ 0 ⇒ vdp (v,w) ≠ 0

con -v ≠ w ⇔ -v ∉ L_w con v ≠0 ⇒ span {v, -v} ∉ ℚ³ sott. di ℚ³

con v, w ∉ w ⇒ ∃h∈ℚ. (h*v, w)

Esercizio 2

Assumiamo un punto C dell’esercizio precedente:

C = (1,1,2)

Descrivere con un’equazione il piano passante per A, B, C

2(A - O) + β(B - O) + γ(C - O) = O con α, β, γ ∈ ℚ

(-2, 4, 1) + β(3, 0, 1) + γ(1, 2, 0) = (0, 0, 0)

d = 0, β = 0, γ = 0 ⇒ LI

(-2α;, 4α;, α;) + (3β;, 0, β;) + (γ;, 2γ;, 0) = (0, 0, 0)

{-2α + 3β + γ = 0 4α + 0β + 2γ = 0 α + β + 0γ = 0}

{-α + 3(-3α) - 2α = 0 γ = -2α β = α - 4α - 3α}

{-12α = 0 γ = -2α β = -3α α = 0 γ = 0 β = 0}

Rifare

x(t) = 3 - 4t

y(t) = -2t

z(t) = -2 + 2t

{3 – 4t = 1 z = -21 + 2t ≥ z}

Quindi imposero

{(u - O) + ε(A - d) - ((C - O) + s[(B - O) - (C - O)])}

con ε, s in ℚ

{x(t, s) = 1 + ε(-2) + s(2)

y(t, s) = 1 + ε(1) + s(-1) ε, s ∈ ℚ

z(t, s) = 2 + ε(-1) + s(-3)} = {x(t, s) = 1 - 2ε + 2s

y(t, s) = 1 + ε - s

z(t, s) = 1 - ε - 3s ε, s ∈ ℚ;}

Esercizio 31

Consideriamo { (x, y, z) ∈ ℚ³ | x + 2y = 3 } = π

Consider (3,0,0) ∈ π

B = (3, 0, -1) ∈ π

C = (1, 2, 2) ∈ π

A = (-1, 2, 1) ∈ π

P₁, P_1' ∈ ℘

P₁ = (x₀, y₀, z₀)

P_1' = (x₁, y₁, z₁)

d(P₁, P_1') = √(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)²

d'(P₁, P_1') = √(x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)²

Usando la media ponderata otteniamo

(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = ((x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)²) ((x - x₀)²)

a b c (a b)⇒ x (2x₁, 2x₀) + y (2y₁ - 2y₀) + z (2z₂ - 2z₀) + x₀ + y₀ + z₀ + x₁ + y₁ + z₁ - 7⇒ ax + by + cz + d = 0

Se ax + by + cz + d = 0 è la generica equazione di un piano in ℚ³

allora 0 ∈ π ⇔ d = 0 con (a, b, c) non tutti nulli.

quindi { x ∈ ℚ³ | x + 2y = 3 } ma è un sottospazio vettoriale di ℚ³ ⇔ quando d = 3

A) Adesso cerco la retta ortogonale al piano di equazione x + 2y = 3 passante per il punto (1,5,7).(...)