Appunti di algebra e geometria (4)

Lezione 5 - 03/10/18 - ore 17 a 19:00

Coordinate

Nota_ℝ³ → ℕ (x₁, x₂, x₃)

Somma

Definizione (x₁, x₂, x₃) + (y₁, y₂, y₃) = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, x₃ + y₃)

Prodotto

λ • (x₁, x₂, x₃) = (λx₁, λx₂, λx₃)

Proprietà

(ℝ³, +) è un gruppo abeliano.

Insieme vogliamo le proprietà v₁, v₂, v₃, quindi: ℝ³, con queste operazioni, è uno spazio vettoriale.

Nello spazio dei vettori V, fissiamo una base: B = {v₁, v₂, v₃}.

Se ed ogni v ∈ V a scrive in modo unico come combinazione lineare degli elementi della base v₃, v₂, v₃:

v: x₁v₁ + x₂v₃ + x₃v₃.

Coordinate di v rispetto alla base B

Quindi è definita una applicazione: Φ_B: V → ℝℝ³ → N (x₁, x₂, x₃).

Applicazione dipende dalla scelta della base.

Lezione 5 - 03/10/18 - 08:17 @ 09:00

Coordinate

^Nota _ℝ³ ( _{^{1 2 3}}) ( _{^{1 2 3}}) + ^Definizione ( _{^{1 2 3}}) = ( ^{₁ + _{1 2} + _{2 3} + ₃}) ( _{^{1 2 3}} ) = ( _{^{1 2 3}}) →_ℝ ^ℝ³.

Proprietà (ℝ³, +) è un gruppo abeliano.

Insieme soddisfa le proprietà V1, V2, V3, quindi: ℝ³ con queste operazioni è uno spazio vettoriale.

Nello spazio dei vettori V, fissiamo una base: B = { ₁, ₂, ₃ }.

Se ogni v ∈ V si scrive in modo unico come combinazione lineare degli elementi della base ₁, ₂, ₃: v = _{1 1} + _{2 3} + _{3 3} → Coordinate B di V rispetto alla base B.

Quindi è definita una applicazione: _B : V → ℝ³ v ↦ (^{_{1 2 3}}).

^{Applicazione dipende dalla scelta della base}.

Infettiva o suriettiva

È infettiva perché non si verifica che due vettori finiscono nella stesso punto. È suriettiva perché ad ogni terna (punti) corrisponde un vettore.

Però, per avere un'applicazione i vettori devono essere l.i. Si dice che è ben definita perché:

Esempio di isogenia

J = β₁ν₁ + β₂ν₂ + β₃ν₃ + β₄ν₄.

V = d₁ν₁ + d₂ν₂ + d₃ν₃ + d₄ν₄.

Con: ν₁, ν₂, ν₃ con complanari; a₁, a₂, a₃ non complanari;

V ⟶ (_β1β2β3β4).

Ambiguità perché non so dove V va con la freccia, cioè non è ben definito.

In questo esempio prendiamo 4 vettori l.d., ovvero non è una base, e non è ben definita, con tre sì.

Proprietà dell'applicazione

• f_θ è binivoco.
• f_θ (ν + w) = ?

Aderiamo B = {ν₁, ν₂, ν₃} finito ed ha:

ν = x₁ν₁ + x₂ν₂ + x₃ν₃.

w = y₁ν₁ + y₂ν₂ + y₃ν₃.

ν + w = x₁ν₁ + x₂ν₂ + x₃ν₃ + y₁ν₁ + y₂ν₂ + y₃ν₃ == (x₁ + y₁)ν₁ + (x₂ + y₂)ν₂ + (x₃ + y₃)ν₃.

Coordinate del nuovo vettore dato dalla somma tra ν e w, quindi:

f (u + v)_i = f (u)_i + f (v)_i ← coordinate della somma = somma delle.

f ( (λ ∙ u)_i = d ∙ f (v)_i ← coordinate di λu = λ (coordinate di u).

u,v ∈ V i ∈ ℝ.

Coordinate

Applicazione lineare godrà rispetto queste due proprietà:

Struttura lineare

Versore

Definizione: un versore è un vettore di norma 1 ≠ 0.

Osservazione

Se prendo un vettore v ∈ V (di norma) v sono DUE versori. Uno ha stessa direzione di v, uno in stesso non ed uno con verso opposto: v/‖v‖, -v/‖v‖.

Definizione

Due vettori u e v, orineri de 0, si dicono ortogonali se l'angolo formato da u e v è un angolo retto: ⇒ u ⊥ v.

Versione S - 03/10/18 - 09:45 e 10:00

Diciamo che O v ∈ V è ortogonale e tutti gli altri vettori.

Proprietà di Pitagora

‖u + w‖² = ‖u‖² + ‖w‖² ⇔ con u ⊥ w.

Una base {i, j, k} si dice ortonormale se |i| = |j| = |k| e i ⊥ j, j ⊥ k, i ⊥ k. Un sistema di riferimento {O, i, j, k} si dice cartesiano se la base {i, j, k} è ortonormale.

Proposizione

Sia {i, j, k} una base ortonormale e sia v = x₁i + x₂j + x₃k.

Quindi: |v| = √(x₁² + x₂² + x₃²).

Dimostrazione

So che v = x₁i + x₂j + x₃k = (x₁i + x₂j) + x₃k.

Aggiungo Pitagora ai vettori "1",:

|v|² = |x₂i + x₂j|² + |x₃k|² =

Applico Pitagora: = |x₁i|² + |x₂j|² + |x₃k|² == |x₁|² + |x₂|² + |x₃|².

Prodotto scalare

Siano v, w ∈ V ≠ Ø e sia ∝ ∈ ]0, π[ l'angolo formato dai i due vettori:

<v, w> = numero = |v| |w| cos α.

Altra notazione: v • w = numero = scalare.

Se v = 0 o w = 0, per definizione, il loro prodotto scalare è uguale a 0.

Osservazione 1

<N, W> >= 01 uno dei due e 0 => cos α = 0 (ossia α = ^π/₂).

Pensiamo considerare le: <N, W> = 0 => π ⊥ W.

Osservazione 2

Sse {π, j, k} ortonormali, ossia j, j, k versori e due a due ortogonali.

Unoco il prodotto scalare:

<i, i> = 1
<j, j> = 1
<k, k> = 1
<i, j> = 0
<j, k> = 0
<k, π> = 0
<i, k> = 0
perché sono ortogonali.

Proiezione ortogonale

Proiezione ortogonale di v su W.

Significa scrivere v come somma di due vettori: uno parallelo e W e uno ortogonale e W.

Il vettore proiezione: <N, W> = <v, W>/|W|² ⋅ |W| == <N, W>/<W, W> ⋅ W.

Spezione dei passagi

|v| ⋅ |W| ⋅ 1 ⋅ cos α.

Il secondo passagio fa non noi ai se forse, scrivere le proprietà del prodotto scalare.

oss → <v, W> = |v| |W|.cos() - |W|².

Propisizione per le propiesità del P scalare

Sio {i, j, k} uno bone ortogonate. Sio v = x_ji + x₂j + x₃k.

Allora: x₁ = <v, i>, x₂ = <v, j>, x₃ = <v, k>.

Dimostrazione

V = x₁i + (x₂)j + x₃k [sono ortogonali].

Quindi: x₁ è la proiezione ortogonale di V su i quindi: < V, i > i = < x₁i, i > ⇔ x₁ = < V, i >.

Analogamente si dimostra per j e k.

Lezione 6 - 05/10/20 - 10:15 e 11:00

Ripasso

Data { i, j, k } ortonormale e V ∈ V, le coordinate di V rispetto alla base { i, j, k } sono le seguenti:

V = < V, i > i + < V, j > j + < V, k > k [coordinate di v].

Proprietà

S1) ∀V, W ∈ V: < V, W > = < W, V > ⇒ [proprieta di simmetria].

S2) ∀ V₂, W₂ ∈ V e ∀α ∈ ℝ ⇒ [proprieta di linearita].

a) < V₁ + V₂, W > = < V₂, W > + < V₂, W >.

b) < α V₁, W > = α < V₁, W >.

Proprietà di linearità nel primo fattore. Per le ④ vale anche nel secondo fattore. Il professore dice bilateral.

S3) < v, v > > 0 ed e' = 0 <=> v = 0 ➔ proprieta' a positività.

Il prodotto scalare e' definito positivo.

Dimostrazioni

S1) Dalla definizione.

S2-b). Notiamo che: < a v₂, w > = | a || w | cos α = | v₁ || w | cos α. se a ≥ 0 => < a v₂, w > ≥ < v₁, w > => a = 0 = 0. se a > 0 => < a v₂, w > = | a || w | cos α =. se a < 0 on solo formato da λv₂ e w e' uguale all'angolo formato da v₁ e w = λ | w | cos α = > < v₂, w > α + d' = α = 90° cos α = - cos α.

Quindi: < λ v₂, w > ≥ λ | v₂ || w | cos α = λ | v₁ || w | cos α == λ ( v₂ || w | cos α ) = λ < v₂, w >.

S2-a) obiettivo < v₂ + v₂, w > = < v₁, w > + < v₂, w >.

Rottiamo c = w inverse.

Aggingere Je e k e formo una base ortonormade B = { i , j , k }.

f_B ( v₁ + v₂ ) = | ⟨v₁ + v₂ , i⟩ | | ⟨v₁ + v₂ , j⟩ | | ⟨v₁ + v₂ , k⟩ |

Ho anche: f_B ( v₁ ) = | ⟨v₁ , i⟩ | | ⟨v₁ , j⟩ | | ⟨v₁ , k⟩ |

Ho anche: f_B ( v₂ ) = | ⟨v₂ , i⟩ | | ⟨v₂ , j⟩ | | ⟨v₂ , k⟩ |

Nota che variano le coordinate di un vettore rispetto ad una base ortonormale.

Ricordiamo che f_B è lineare, quindi: f_B ( v₁ + v₂ ) = f_B ( v₁ ) + f_B ( v₂ ).

In particolare ho che: ⟨v₁ + v₂ , z⟩ = ⟨v₁ , z⟩ + ⟨v₂ , z⟩.

Quindi: |v₁ + v₂|_z = ⟨ |v₁|_z ⟩ + ⟨ |v₂|_z ⟩.

Infine usando le S2-b, trovo: ⟨v₁ + v₂, w⟩ = ⟨v₁, w⟩ + ⟨v₂, w⟩.

Esercizio 6 - 05/10/16 - 11:15 a 12:00

Proposizione: Se | = | | | siano v = x₁ i + x₂ j + x₃ k.

w = y₁ i + y₂ j + y₃ k.

⟨v, w⟩ = x₁ i + x₂ j + x₃ k | ⟨y₁, y₂, y₃⟩ |.

S2|: ⟨v₂, j⟩ + ⟨x₂, y₂⟩ + ⟨y₃, y₃⟩ = ⟨y₁ y₂ y₃⟩ ⟨y₂, x₂⟩ ⟨y₃, k⟩ = ⟨y₁ x₂ x₂ x₃.

Nota breve

In ℝ³ definiamo un prodotto scalare: _{<x, y>} con _x=^(_x1) e _y=^(_y1).

<x₁, y₁> = x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃ e ordiene S₁, S₂, S₃.

Osservazione 1

La norma di un vettore: ||v|| = √<v, v> della definizione.

Osservazione 2

Dati v ∈ V e w ∈ V, v ≠ 0 e θ ∈ [0, π] angolo dato in determinati, allora: cosθ = <v, w> / ||v|| ||w||.

Osservazione 3

Proiezione _v(π) = <v, w> / <w, w> wcu^⋀.

Proiezione di v nella direzione di w.

Esercizi

Affiniamo una base ortonormale {î, j, k}.

• Calcolare <v, w> con:

v = 2î - 3j + _3/4 k.

w = - î + 2j + 6k.

Soluzione: <v, w> = -2 - 6 + 6 = -2.

Determinare il versore nella direzione di v (_v come es. 1).

||v|| = √(4 + 9 + 9/16) = √(49/16) = √(247/16) = 2^√_16/247 ẑ + 5^√_16/247 j + 3/4^√_16/247 k.

2 √16/247 ẑ + 3/4 ^√_16/247 k 2^√₁₆ - z1...

3) Determinare l'insieme dei vettori ortogonali a t, W (V e W come es. 1):

Sia t = xi + yj + zk.

<t, V> ≥ 0.

<t, W> ≥ 0.

• 2x - 3y + ³/₄z = 0-x - 2y + &gammadot;z

• 9y + 16z - 3y + ³/₄z = 0x - 2y + &pibar;z

• y ≠ ⁶⁷/₄z = 0x, 2y + &alphadotz;

Quindi, l'insieme dei vettori: {(⁵/₁z)i - (⁶⁷/₄)j + z k | z ∈ ℝ}.

Con condizioni: tra i vettori ortogonali a V e W ne scelgiamo archetipicamente uno: fissando z = 4:

t = - 102 i - 67 j + 6 k.

4) Determinare l'insieme dei vettori ortogonali a W (come nell’ es. 1).

Sia t = xi + yj + zk.

Soluzioni: <t, W> ≥ 0-x + 2y + βk = 0.

x = 2y + γz.

L’insieme è quindi: {(2y + &thetadot1)i + y + &thetadot z k | y, z ∈ ℝ}.

₂ Span{zi + j, βi + k} = y(βi + j) + z(βi + k).

Verifica 6 – 05/10/18 – 12:15 o 13:00

Sì dienti nel version: n = W^z + j + k.

Determinare l’angolo tra n e W.