Appunti di Algebra e Geometria

Algebra e geometria: ripasso

Mercoledì 10 marzo 2021

Funzioni: corrispondenza

Vincolo stretto: ad ogni x corrisponde un solo b (a pochi). Se da A parte già una pacca, non ne può partire un'altra.

Definizioni

Dati ρ ⊆ A × A, elementi di A legati dalla relazione ρ. ×

Insieme: immagini di questa corrispondenza.

Inoltrativa: a coppia diversa dominio ⇒ coppie diverse codominio.

Sovrattiva: immaginazione burocratica.

Invertibilità: esiste e l'inversa è ρ^-1. ρ ◦ ρ^-1 = id_A. ρ ◦ ρ^-1 = id_A.

Basta che sia inoltrativa e estremizzazione con l'inversa col codominio della funzione di partenza.

Esempio

• A = R
• B = R

Def: R^: può succedere R molto incaricato con B.

Imm ρ_f = R - {0}. ρ₁^: Dom_ρ Imm ρ = R - {0}.

x₁² ρ= y - x₂ = x y = x z = x.

p ◦ id_A = id_{−ℝ - {0}}. ρ ◦ ρ^-1 ◦ id_{R - {0}}.

A = ℝ. f: x₂ ⇒ x^-1 y = x^-1.

x₂ ◦ y₂ = y₂ x^m. g ◦ ρ ^: A ⇒ C.

x ∈ a ⇒ y = ρ◦ x x² = log ○ f(x).

B = R.

ρ ◦ id_{a ⊆ Ŷ ☆ imm ∃ a}.

Altro esempio

ρ^-1 Imm ρ ◦ f_{y2 - x / y = elog y/x}.

Inverses do g.

Funzione: corrispondenza

_f: A → B

Vincolo stretto: ad ogni _a corrisponde un solo _b (p_arti). Se da _a parte già una freccia, non ne può partire un'altra.

DOM (f) ⊆ A, elementi di A legati dalla corrispondenza. Im (f) ⊆ B, insieme immagini di questa corrispondenza.

Iniettiva: a coppie diverse dominio → coppie diverse codominio.

Suriettiva: inversa. Invertibile ⟺ esiste f⁻¹ e stessa ∘_A = id_A e stesso ∘_B = id_B.

Basta che sia iniettiva rispetto con l'inversa del codominio della funzione di partenza.

Composizione di funzioni

Esempio: _f: A → B.

f prende elementi Im B.

_g: B → C. È corrispondenza; Im elementi di C.

g∘f: A → C.

x ∈ A → y = f(x) → z = g(y) ∈ B.

DOM g ⊆ Im f.

A = R, B = R.

_f: x ↦ x³. È iniettiva? Ma possiamo dimostrare.

9∘f: A → C. x ∈ A → y = f(x) → z = g(y) ∈ B.

Composizione di funzioni (continua)

Esempio: _f: x ↦ x.

A = ^Im _R: → y = e segue y ⊆ log y.

Inversa ^Im _R: y = e^x → x.

id _R.

Prodotto cartesiano di due insiemi

A × B = { (a,b) : a ∈ A, b ∈ B }.

Coppia ordinata

1° elemento sempre in A, 2° elemento sempre in B.

Relazione binaria

Sottoinsieme qualunque di A × A.

ES/ se A = N × N.

R m ^' m = m '.

Relazioni di equivalenza

• Riflessiva: ogni elemento si relaziona con se stesso, a R a ∀ a ∈ A
• Simmetrica: a R b, b R a ∀ a, b ∈ A
• Transitiva: a R b, b R c, a R c ∀ a, b, c ∈ A

Esempio di relazione di equivalenza

A = ⟨automobili⟩; a R b se a e b hanno lo stesso colore

• Riflessiva: a R a, a R b e b R b
• Simmetrica: a R b, b R a
• Transitiva: a R b, b R c, a R c

Esempio di relazione di equivalenza tra persone

A = ⟨tutte le persone⟩; a R b se sono nati nello stesso giorno

• Riflessiva: a R a
• Simmetrica: a R b, b R a
• Transitiva: a R b, b R c, a R c

Classi di equivalenza

A insieme, R relazione equiv. a, ∀ a ∈ A, l'insieme { x ∈ A: x R a} = classe di equivalenza di A.

Proprietà

1. Se a R b allora [a]=[b]. DIM: poniamo che a ∈ [b]; sia x ∈ [a] allora x R a. So che a R b... x R b, cioè x ∈ (b), analogamente [a]⊆[b] x ∈ (b) x R b ⟶ a R x ⟶ x ∈ (a), a R b [b] ⊆ [a].
2. Se (a, b) ∈ R, allora [a] ∩ [b] = ∅. Quindi per assurdo sono disgiunte.