Appunti di Aerodinamica del veicolo

Dispense di aerodinamica del veicolo

Luca Proietti Colonna

April 2021

Indice

• 1 Proprietà dei fluidi 6
• 1.1 Ipotesi del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 2 Moto dell’elemento fluido 8
• 2.1 Moto e deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• 2.2 Relazione tra vorticità e rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 2.2.1 Corrente piana di Couette . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 2.2.2 Vortice elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 2.3 Teorema di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 2.3.1 Vortice elementare attraverso Stokes . . . . . . . . . . 15
• 3 Equazioni fondamentali 16
• 3.1 Bilancio della quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 3.1.1 Tetraedro di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 3.1.2 Ipotesi di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 3.1.3 Forma finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 3.2 Equazioni di Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 3.2.1 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 3.3 Interpretazione del termine viscoso e del termine advettivo . . 24
• 3.3.1 Termine advettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 3.3.2 Termine diffusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• 3.4 Flusso di Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 3.5 Teorema di Bernoulli per flussi rotazionali . . . . . . . . . . . 31
• 4 Moto a potenziale 33
• 4.1 Campo irrotazionale e conservativo . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 4.2 Equazioni del moto potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 4.2.1 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
• 1
• 4.3 Navier-Stokes vs. moto potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• 4.4 Flussi elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 4.4.1 Moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 4.4.2 Vortice elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 4.4.3 Moto sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 4.5 Flusso potenziale attorno al cilindro . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 5 Bilanci macroscopici 46
• 5.1 Bilancio della massa macroscopico . . . . . . . . . . . . . . . 47
• 6 Dinamica dei vortici 50
• 6.1 Teorema di Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• 6.2 Teoremi di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
• 6.2.1 Primo teorema di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . 52
• 6.2.2 Secondo teorema di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . 52
• 6.2.3 Teorema di Wu: conservazione della vorticità totale . . 54
• 6.3 Equazione del trasporto di vorticità . . . . . . . . . . . . . . . 55
• 6.4 Gradiente di pressione nel centro di un vortice . . . . . . . . . 57
• 7 Teoria dello strato limite 59
• 7.1 Teoria dello strato limite di Prandtl . . . . . . . . . . . . . . 61
• 7.2 Analisi agli ordini di grandezza . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 7.2.1 Forma non dimensionale della conservazione della massa 62
• 7.2.2 Forma non dimensionale della quantità di moto . . . . 65
• 7.3 Vorticità dello strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
• 7.4 Soluzione di Blasius per lo strato limite . . . . . . . . . . . . . 73
• 7.5 Strato limite su superficie curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
• 7.6 Separazione dello strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
• 7.6.1 Classificazione dei flussi in base al gradiente di pressione 82
• 7.7 Vortice di partenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
• 7.7.1 Evoluzione temporale del vortice di partenza . . . . . . 85
• 7.8 Metodo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
• 8 Turbolenza 91
• 8.1 Generalità sulla turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
• 8.2 Approcci statistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
• 8.2.1 Decomposizione di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . 92
• 8.2.2 Autocorrelazione spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . 94
• 2
• 8.3 Cascata di energia di Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . 95
• 8.4 Ipotesi di Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
• 8.5 Scale di Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
• 8.5.1 Separazione tra le scale . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
• 8.6 Simulazione numerica della turbolenza . . . . . . . . . . . . . 102
• 8.7 Analisi spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
• 8.8 Equazioni RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
• 8.9 Soluzioni RANS su canale piano . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
• 8.9.1 Conservazione della massa . . . . . . . . . . . . . . . 113
• 8.9.2 Quantità di moto in direzione y . . . . . . . . . . . . . 113
• 8.9.3 Quantità di moto in direzione x . . . . . . . . . . . . . 114
• 8.10 Interpretazione dei termini degli sforzi . . . . . . . . . . . . . 117
• 8.11 Modello di profilo di velocità in regime turbolento . . . . . . . 120
• 9 Teoria circolatoria del Lift 126
• 9.1 Teorema di Kutta-Joukowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
• 9.2 Origine della portanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
• 9.3 Metodo di Prandtl-Munk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
• 9.3.1 Condizione di Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
• 9.4 Metodo a pannelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
• 10 Teoria dei profili sottili 141
• 10.1 Stallo del profilo alare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
• 11 Ali ad estensione finita 146
• 11.1 Resistenza indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
• 11.1.1 Velocità di downwash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
• 11.2 Teoria della linea portante di Prandtl . . . . . . . . . . . . . . 150
• 11.3 Distribuzione ellittica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
• 11.4 Ali a delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
• 11.4.1 Coefficiente di pressione delle ali a delta . . . . . . . . 159
• 11.4.2 Coefficiente di portanza nelle ali a delta . . . . . . . . 159
• 11.4.3 Coefficiente di resistenza nelle ali a delta . . . . . . . . 161
• 12 Aerodinamica dei corpi tozzi 162
• 12.1 Resistenza di un corpo tozzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
• 12.2 Valutazione del contenuto energetico della scia . . . . . . . . . 167
• 3
• 12.2.1 4 parametri per valutare il contenuto energetico della scia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
• 12.3 Coefficiente di pressione totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
• 12.4 Flusso reale intorno al cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
• 12.4.1 Gallerie del vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
• 12.4.2 Fenomenologia del flusso attorno al cilindro . . . . . . 175
• 12.5 Coefficiente di resistenza del cilindro . . . . . . . . . . . . . . 179
• 12.5.1 Corpi rugosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
• 12.5.2 Numero di Strouhal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
• 12.6 Coefficiente di pressione intorno al cilindro . . . . . . . . . . . 182
• 12.7 Sezioni quadrate con spigoli smussati . . . . . . . . . . . . . . 183
• 12.8 Interferenza aerodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
• 12.8.1 Dischi circolari in interferenza . . . . . . . . . . . . . . 185
• 12.8.2 Cilindri in interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
• 12.8.3 Profili alari in interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . 188
• 13 Aerodinamica delle family car 190
• 13.1 Geometria del posteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
• 13.2 Audi 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
• 13.3 Corpo di Ahmed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
• 13.4 Angolo di Slant ed esperienza di Hucho . . . . . . . . . . . . . 197
• 13.5 Boat-Taililing: rastremazione del posteriore . . . . . . . . . . . 200
• 13.6 Spoiler posteriore nella Audi A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
• 13.7 Spoiler posteriori nelle family car . . . . . . . . . . . . . . . . 204
• 13.8 Spoiler anteriore Opel Calibra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
• 14 Aerodinamica delle vetture ad elevate prestazioni 208
• 14.1 Cornering Ability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
• 14.2 Effetto suolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
• 14.2.1 Ali in effetto suolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
• 14.3 Ala posteriore e deportanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
• 14.3.1 Deportanza prodotta dall’effetto suolo in un’ala posteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
• 14.4 Diffusore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
• 14.4.1 Effetto suolo nel diffusore . . . . . . . . . . . . . . . 215
• 14.4.2 Effetto deportante del diffusore . . . . . . . . . . . . 217
• 14.5 Effetti dell’aerodinamica sulla dinamica . . . . . . . . . . . . . 219
• 14.6 Domande professori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
• 4
• 14.6.1 Domande Stalio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
• 14.6.2 Domande Cimarelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
• 14.6.3 Domande Fregni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
• 14.6.4 Domande Romoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
• 5

Capitolo 1

Proprietà dei fluidi

1.1 Ipotesi del continuo

La meccanica dei fluidi non è collegata direttamente con la struttura molecolare dei liquidi o dei gas, piuttosto è collegata a quantità di campo come la velocità ~v (~x, t), la densità ρ(~x, t) e la pressione p(~x, t).

Queste quantità di campo sono introdotte come media su un volume piuttosto che le proprietà possedute da una singola particella, risulta quindi opportuno introdurre il concetto di Particella Materiale.

Una particella materiale può essere considerata come un agglomerato di materia formato sempre dalle stesse molecole di materiale. Per definizione, una particella materiale è un punto che si muove alla velocità locale del fluido ed è definita dalla sua posizione in un istante di riferimento. Ad alcune di queste particelle materiali è possibile associare un valore di densità, viscosità cinematica e temperatura.

Affinché questo sia possibile le particelle materiali non devono avere dimensioni né troppo grandi né troppo piccole, in quanto i valori di ρ, ν e T nel primo caso non sarebbero rappresentativi dei valori reali, nel secondo caso la presenza di gradienti farebbe perdere il dettaglio del fenomeno fisico.

Come si nota in fig. 1.1 esiste solamente una ristretta zona in cui il valore di densità non varia apprezzabilmente con la dimensione della particella materiale; al contrario, per dimensioni della particella infinitesime, il grafico mostra una scarsa rappresentazione del fenomeno fisico, con brusche variazioni di densità per piccole variazioni di dimensioni, mentre per elevate 6

Figura 1.1: Relazione tra la densità ρ e la dimensione della particella.

Dimensioni della particella materiale lo stesso grafico mostra una dispersione del fenomeno fisico troppo elevata per avere un interesse pratico.

Pertanto, possiamo affermare che una particella materiale deve essere abbastanza grande da contenere un numero sufficiente di molecole, dove con numero sufficiente si intende un numero di molecole tale che le medie effettuate per la definizione delle proprietà macroscopiche siano significative. Allo stesso tempo, però, devono essere sufficientemente piccole (confrontate con le dimensioni del fluido) da non essere influenzate da effetti macroscopici.

Per ovviare a queste difficoltà nella scelta delle dimensioni delle particelle materiali, lo studio dell’aerodinamica si basa sull’Ipotesi del continuo.

Sulla base di tale ipotesi è possibile trattare il fluido come se fosse un mezzo continuo (e non, come è realmente, discreto): si assume quindi che una qualsiasi porzione del fluido, per quanto piccola possa essere, contenga un numero infinitamente grande di molecole e, pertanto, che le proprietà intensive del fluido (quali temperatura, pressione, densità, viscosità e velocità) siano definite ad una scala di lunghezze infinitesima e che varino quindi con continuità da un punto ad un altro. Questa ipotesi permette pertanto di ignorare il ragionamento legato al grafico di fig. 1.1 e definire particelle materiali di dimensioni arbitrarie.

Una volta invocata l’ipotesi del continuo, possiamo associare ad una particella materiale definita da una posizione e un istante di tempo (~x, t) proprietà macroscopiche quali velocità, densità, pressione e temperatura calcolate come medie sul volume della particella. 7

Capitolo 2

Moto dell’elemento fluido

2.1 Moto e deformazione

Consideriamo ora un Elemento Fluido, che possiamo immaginare come un quadratino nel caso bidimensionale o come un cubetto nel caso tridimensionale; tale elemento può muoversi o deformarsi secondo quattro distinte modalità: può infatti traslare, ruotare attorno a un’asse, dilatarsi o deformarsi a taglio (Shear Strain) variando l’angolo tra le facce dell’elemento.

Nella maggior parte dei casi reali, questi quattro meccanismi agiscono simultaneamente. Sotto l’ipotesi di densità costante, alla dilatazione dell’elemento fluido in una direzione deve corrisponderne la contrazione in una delle altre due (o entrambe), in modo tale da mantenere costante la superficie (2D) o il volume (3D).

Durante il moto supponiamo che l’elemento subisca una rotazione di un angolo θ sulla faccia in direzione x e una rotazione θ sulla faccia in direzione 1 2y. Definiamo angolo di rotazione dell’elemento fluido in coordinate cartesiane la media delle deviazioni angolari delle due facce inizialmente perpendicolari:

θ + θ1 2 (2.1) ϕ =k 2

Analogamente possiamo definire lo sforzo di taglio come la metà della differenza tra gli angoli che sono perpendicolari in assenza di sforzi.

−θ θ1 2s = (2.2)k 2

8

Figura 2.1: Elemento fluido in rotazione.

Nella meccanica dei fluidi si studia il tasso di variazione della deformazione poiché gli elementi possono deformarsi continuamente. Definiamo dunque la velocità angolare dell’elemento fluido come

˙ ˙θ + θ1 2φ = (2.3)k 2

Definiamo inoltre velocità di deformazione dell’elemento fluido (rate of deformation tensor) come metà della riduzione dell’angolo tra due facce dell’elemento fluido inizialmente ortogonali, ovvero

˙ ˙−θ θ1 2 (2.4)ε =1,2 2

Il nostro elemento fluido di lato l avrà velocità nel primo spigolo pari xad v(x) mentre velocità pari a v(x + l ) sul secondo. Andando ad esprimere xl’angolo θ in funzione di queste velocità possiamo scrivere

1 −v(x + l ) v(x)xθ = (2.5)1 ∆t lx

9

Dove ∆t è un piccolo intervallo di tempo che porta dunque a scrivere

−v(x + l ) v(x)x˙ ≈θ (2.6)1 lx

Essendo l’elemento piccolo, possiamo considerare lineare il profilo di velocità e dunque linearizzando con un’espansione in serie di Taylor

∂v 2l + o(l ) (2.7)v(x + l ) = v(x) + x xx ∂x

Da cui possiamo dedurre che ∂v ∂u˙ ˙≈ ≈ −θ ; θ (2.8)1 2∂x ∂y

Sotto l’ipotesi di piccoli angoli, andando ad inserire l’equazione 2.8 nella equazione 2.3 possiamo ottenere in definitiva 1 ∂u∂v˙ −φ = (2.9)z 2 ∂x ∂y ∂v ∂u1 + (2.10)ε̇ =1,2 2 ∂x ∂y

10

2.2 Relazione tra vorticità e rotazione

Si definisce con il termine vorticità ω~ il rotore del campo di velocità ~v cioè

~k~i ~j∂ ∂∂ω~ = curl (~v ) = (2.11)∂x ∂y ∂zu v w

Andando a svolgere i calcoli si ottiene

∂v∂w ˙− = 2φ (2.12)ω = xx ∂y ∂z

∂w ∂u ˙−ω = = 2φ (2.13)y y∂x ∂z

∂v ∂u ˙− = 2φ (2.14)ω = zz ∂x ∂y

Quindi, la vorticità è il doppio della velocità di rotazione dell’elemento fluido e, pertanto, il vettore vorticità è associato al moto di pura rotazione degli elementi fluidi. Solitamente, il termine vorticità è associato alla presenza di un vortice nel fluido. Tuttavia, come vedremo negli esempi seguenti, esistono:

• Flussi completamente piani caratterizzati da vorticità non nulla (Couette);
• Flussi vorticosi caratterizzati da vorticità nulla (vortice elementare);
• Flussi vorticosi caratterizzati da vorticità non nulla.

Essendo il vettore vorticità parallelo al vettore velocità di rotazione e proporzionale ad esso, possiamo intendere la vorticità come una misura della rotazione delle particelle. Pertanto, è necessario distinguere il concetto di vorticità dal concetto di vortice e associarlo, invece, alla rotazione degli elementi fluidi. 11

2.2.1 Corrente piana di Couette

La Corrente piana di Couette è uno dei flussi canonici, ovvero dei flussi semplici di riferimento utili per semplificare lo studio di flussi reali complessi.

Con riferimento alla fig. 2.2, scelto un sistema di riferimento si considera uno spessore H al cui interno scorre un fluido sovrastato da una piastra piana che trasla alla velocità costante u .0

Figura 2.2: Meato con profilo di velocità triangolare.

Come sappiamo, il profilo di velocità all’interno del meato fluido è di tipo triangolare, con velocità nulla alla parete e velocità u alla piastra. Pertanto, 0 si ha che u(y = 0) = 0 (2.15)

u(y = H) = u (2.16)0

Utilizzando la semplice equazione tra due punti del meato per cui vale P = (u ; H) e P = (0; 0) otteniamo l’equazione del profilo di velocità 1 0 2 u0 y (2.17)u(y) = H

Andando a cercare la vorticità in direzione z, uscente dal foglio, quello che si ottiene è ∂v ∂u u0− −ω = = = 2φ̇ (2.1