Appunti completi Fisica Generale I

Fisica generale 1

Fondamenti

In Fisica Generale I si studia la meccanica classica, quindi statica e dinamica dei corpi, e la termodinamica.

Grandezze fisiche

La fisica è la scienza della natura, che ha scopo di studiare i fenomeni naturali e le leggi che le governano. A questo fine sono definite le cosiddette grandezze fisiche, ovvero proprietà oggettive e quantificabili dei corpi. Le grandezze si dividono in fondamentali e derivate. Le grandezze fondamentali hanno definizioni esatte (es: metro), mentre quelle derivate si ricavano dalle prime. Ogni grandezza ha un'unità (metro, secondo, chilogrammo …) con un simbolo associato (m, s, kg).

Per convertire una grandezza fisica in un'altra unità si utilizzano i fattori di conversione, ossia il rapporto unitario di due quantità identiche espresse mediante le due unità considerate. Per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli si utilizza la notazione scientifica. Nell'espressione di un risultato bisogna tenere conto delle cifre significative, ossia il numero di cifre in cui ha senso esprimere un risultato in base all'incertezza sulla misura della grandezza. (Es: 6.25 m ha 3 cifre significative).

Vettori

Un vettore è identificato da una intensità (o modulo o valore assoluto), da una direzione (retta lungo la quale agisce) e da un verso (orientamento sulla retta). Le grandezze che necessitano di vettori per essere definite con precisione sono dette vettoriali, mentre quelle che necessitano di un unico numero sono scalari. Un esempio di grandezza vettoriale è lo spostamento, definibile con una freccia che va da un punto A a uno B, ignorando la traiettoria. I vettori sono rappresentati mediante lettere in grassetto o lettere con una freccia su di esse. I moduli sono invece scritti con le rispettive lettere non in grassetto.

Esistono varie operazioni che si possono effettuare sui vettori:

Somma vettoriale

Il vettore risultante della somma vettoriale ha le componenti date dalla somma delle componenti dei vettori sommati. Presenta le stesse proprietà della somma algebrica, come la proprietà commutativa e associativa. La differenza è equivalente a effettuare la somma tra un primo vettore e l'opposto dell'altro.

Componenti di un vettore e orientamento

Un’operazione eseguibile su un singolo vettore è la sua scomposizione nelle sue componenti scalari, ossia le proiezioni del vettore su ciascun asse. Dato un vettore v, le sue componenti sul piano cartesiano saranno v_x e v_y. Essendo scalari, non necessitano di frecce o del grassetto, e possono avere valori positivi o negativi. Per definire l’orientamento di un vettore si considera l’angolo del vettore rispetto all’asse x, misurato in senso antiorario.

Per calcolare le componenti di un vettore, sapendo l’angolo che forma rispetto all’asse θ, si ha che:

v_x = v cosθ , v_y = v sinθ

Il modulo di un vettore può essere quindi scritto equivalentemente come:

√(v_x² + v_y²)

Analogamente, θ = arctan(v_y/v_x)

Da notare che l'arcotangente dà come risultato l'angolo tra il vettore e l'angolo più vicino all'asse x, in senso orario o antiorario; quindi, se l'angolo va considerato in senso antiorario rispetto alla x, nel secondo quadrante va sommato l'angolo negativo trovato a 180, nel terzo va sottratto a 180, e nel quarto va sommato a 360.

Scrivere l'insieme di modulo e orientamento è un modo per rappresentare un vettore: v:v con θ

Prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori è uno scalare corrispondente al prodotto tra i moduli e il coseno dell'angolo compreso. Corrisponde al prodotto tra il modulo di un vettore e la componente parallela rispetto al primo di un altro vettore.

a • b = ab cosθ

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale di due vettori è un vettore avente come modulo l'area del parallelogramma formato dai due vettori, come direzione la perpendicolare rispetto al piano di azione delle forze, e verso uscente o entrante a seconda da quanto dato dalla regola della mano destra, dove il primo vettore è l'indice, il secondo è il medio, e il pollice è il verso del prodotto vettoriale (è da notare quindi che il prodotto vettoriale non è commutativo).

Se i due vettori sono sullo stesso piano cartesiano, il modulo si può ricavare dal prodotto tra i moduli ed il seno dell'angolo più piccolo compreso tra i due; questa operazione si può considerare pari ad effettuare il prodotto tra il modulo di uno dei due vettori e la componente perpendicolare rispetto al primo dell'altro vettore.

Il versore associato al vettore risultante sarà quello dell'asse cartesiano non considerato nel piano (ad esempio, nel piano xy il verso del vettore risultante è quello dell'asse z, ossia k^).

|a × b| = ab sinθ

Più in generale, nello spazio il prodotto vettoriale è così definito:

a × b = (a_yb_z - a_zb_y)i + (a_zb_x - a_xb_z)j + (a_xb_y - a_yb_x)k

È da notare che questa definizione, essendo generale, è valida anche se i vettori sono sullo stesso piano cartesiano. (Per ricordarla, si noti che le componenti nei prodotti iniziali sono yz, zx, xy).

Versori

Un versore è un vettore unitario (con modulo pari ad una unità nel sistema di riferimento utilizzato) che ha il solo scopo di indicare una direzione. Non ha dimensioni. I versori si indicano con l’accento circonflesso ^. In genere i versori degli assi x, y, z, si indicano con le lettere i^, j^, k^ ed eventualmente si continua in ordine alfabetico.

Per un asse, un versore può essere espresso come il rapporto tra un vettore lungo tale asse e il modulo dello stesso:

r^ = r / |r|

È anche tramite i versori che è possibile scrivere un vettore in maniera completa:

v = v_xi^ + v_yj^ = |v| cosθi^ + |v| sinθj^

Cinematica traslatoria

La cinematica è lo studio del moto dei corpi.

Astrazioni sui corpi

In questo studio è fondamentale effettuare astrazioni sul concetto di corpo: Un corpo reale può essere ad esempio considerato come un punto materiale, ossia privo di dimensione e con posizione singola, un sistema di punti materiali, caratterizzato da una massa distribuita in più posizioni finite, o un corpo esteso, caratterizzato da una massa distribuita in infiniti punti.

Posizione e spostamento

Per analizzare il moto sono utili due grandezze: la posizione dell'oggetto/punto rispetto ad un opportuno sistema di riferimento, e lo spostamento, ossia la differenza tra una posizione finale ed una iniziale. Entrambe le grandezze sono vettoriali, ossia sono definite da direzione, verso e modulo.

Legge oraria e velocità vettoriale, scalare, media, istantanea

Ogni tipo di moto può essere definito secondo una funzione, detta legge oraria, che mette in relazione la posizione o, equivalentemente, lo spostamento rispetto ad una posizione iniziale, con il tempo trascorso. La velocità vettoriale media (v̅) è il rapporto tra lo spostamento in un intervallo di tempo e l'intervallo di tempo considerato. Graficamente è la pendenza della secante tra le posizioni finale e iniziale.

v̅ = Δr / Δt

La velocità scalare media (s_u) è invece il rapporto tra la distanza totale percorsa in un intervallo di tempo e l'intervallo di tempo stesso. È considerato quindi il percorso, e non solamente le posizioni iniziale e finale.

s_u = Δs / Δt

La velocità di un oggetto in un certo istante di tempo è la velocità vettoriale istantanea, pari al limite per l'intervallo di tempo tendente a 0 del rapporto tra lo spostamento e l'intervallo di tempo, ossia la derivata dello spostamento rispetto al tempo.

v(t) = dr/dt

Graficamente è la pendenza della tangente alla curva nella posizione considerata x(t) (di ascissa t₁). A partire dalla velocità vettoriale istantanea, e conoscendo la velocità iniziale, si può calcolare la velocità vettoriale media in un dato istante:

v̅ = (v₀ + v(t)) / 2

Accelerazione istantanea

L'accelerazione istantanea è la derivata prima della velocità istantanea rispetto al tempo, o ugualmente la derivata seconda dello spostamento rispetto al tempo.

a = dv/dt = d²r/dt²

Moto rettilineo uniforme

È un moto rettilineo uniforme su traiettoria rettilinea con velocità costante.

v = Δr / Δt = costante

Pertanto, la legge oraria è:

x(t) = x₀ + v(t - t₀)

Il grafico spazio-tempo del moto rettilineo uniforme è una retta, la cui pendenza corrisponde alla velocità. Il grafico velocità-tempo è anch'esso una retta, ma con pendenza nulla, passante per il valore della velocità. Da notare che l'integrale della velocità rispetto al tempo rappresenta lo spazio percorso.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

È un moto rettilineo uniformemente accelerato in cui è presente accelerazione costante e non nulla.

La velocità rispetto al tempo di un corpo in tale moto si ottiene considerando che v - v₀ = a(t - t₀), ponendo pari a 0 ed esplicitando:

v(t) = v₀ + at

Essendo un'equazione lineare, il grafico velocità/tempo si mostra come una retta con coefficiente angolare a ed intercetta v₀.

L’equazione dello spostamento (legge oraria) è di secondo grado, quindi graficamente è una parabola:

x(t) = x₀ + v₀t + 1/2 at²

Dimostrazione – legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato

Essa si ricava sostituendo l'equazione della velocità istantanea del moto all'interno di quella della velocità media calcolata rispetto alla velocità istantanea e iniziale, scrivendo la velocità media come rapporto tra spostamento, ossia differenza tra posizione finale e iniziale, e tempo finale, se si considera il tempo iniziale come nullo, ed infine esplicitando la posizione finale. In alternativa si ricava dall'integrale della velocità rispetto al tempo.

Ricordando l’equazione generica a + bx + cx² = ax² + bx + c, il segno definisce la concavità, e così è anche con l’equazione dello spostamento. L’intercetta è c, mentre la pendenza, essendo una parabola, è variabile. In questo caso è l’accelerazione che è costante, quindi dt

Se un corpo ha velocità e accelerazione dello stesso segno, il corpo sta accelerando, altrimenti sta decelerando. Il moto rettilineo uniforme può essere considerato un caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato, dove l’accelerazione è nulla.

Moto sul piano e nello spazio

La velocità è una grandezza vettoriale il cui numero di componenti dipende da quelle spaziali considerate. Questo è valido sia per la velocità vettoriale media che per quella istantanea.

v = Δr / Δt = Δx i^ + Δy j^

dr/dt = dx/dt i^ + dy/dt j^ + dz/dt k^

Moto del proiettile o parabolico

Una particella segue un moto del proiettile se si muove su un piano bidimensionale ed è sottoposto all’accelerazione di gravità. Per l’asse x avviene quindi un moto rettilineo uniforme, mentre per l’asse y un moto uniformemente accelerato con accelerazione negativa. È pertanto la combinazione di due leggi orarie.

v = v_0xi^ + v_0yj^

Se la particella si muove di velocità iniziale v₀, le leggi orarie sono:

x(t) = x₀ + v_0xt cosθ₀

y(t) = y₀ + v_0yt sinθ₀ - 1/2 gt²

Quindi l’equazione della velocità è:

v(t) = v₀ cosα i^ + (v₀ sinα - gt) j^

La componente orizzontale della velocità resta costante, mentre la componente verticale cambia, prima annullandosi e poi cambiando verso.

Dimostrazione: traiettoria del moto parabolico

x(t) = x₀ + v₀t cosθ₀

y(t) = y₀ + v₀t sinθ₀ - 1/2 gt²

Da notare che la traiettoria è una parabola con concavità verso il basso.

Gittata di un moto parabolico

La gittata di un moto parabolico è la distanza orizzontale percorsa affinché un oggetto ritorni all’altezza iniziale.

R = v₀² sin(2θ₀)/g

Dimostrazione - gittata del moto parabolico

Considerando t_R come il tempo percorso per ritornare all'altezza iniziale:

R = v₀t_R cosθ₀

Il tempo di volo t_R è dato dalla condizione y(t_R) = 0:

0 = v₀ sinθ₀t_R - 1/2 gt_R²

t_R = 2v₀ sinθ₀/g

Quindi:

R = v₀² sin2θ₀/g

Da notare che la gittata è massima quando il seno è massimo, ossia quando θ₀ = 45°.

Moto circolare uniforme

Un punto materiale si muove di moto circolare uniforme se si muove lungo una circonferenza o un arco di essa con modulo della velocità costante. La direzione della velocità invece cambia continuamente; poiché una delle caratteristiche della velocità cambia, è presente una accelerazione, detta accelerazione centripeta, direzionata sempre verso il centro della circonferenza. Essendo presente una accelerazione, è presente una forza, ed è tale forza che vincola il punto materiale nella circonferenza.

a = v²/r

T = 2πr/v

v = 2πr/T = fT

Dove a è l’accelerazione centripeta, T è il periodo (tempo affinché avvenga un ciclo completo) e f la frequenza (numero di oscillazioni al secondo).

Di fatto, un corpo associato ad un altro, quest’ultimo in moto circolare uniforme, subisce una accelerazione apparente detta accelerazione centrifuga, dovuta all’inerzia del primo corpo, che non essendo lui stesso ad essere vincolato al moto circolare tende a permanere nel suo moto rettilineo uniforme.

Dimostrazione – accelerazione centripeta

v = rω

a = d²r/dt² = -rω²

Moto relativo

Considerando un sistema unidimensionale, la posizione di un punto in un sistema di riferimento A equivale alla somma tra la posizione del sistema di riferimento B e la posizione del punto nel sistema di riferimento B.

In modo analogo, la velocità di un punto che si muove di moto rettilineo uniforme in un sistema di riferimento A equivale alla somma tra la velocità calcolata nel sistema di riferimento B e la velocità relativa tra i due sistemi di riferimento.

Per ottenere l’accelerazione del punto si deriva la velocità rispetto al tempo, e si nota che l’accelerazione in tale caso è nulla per entrambi i sistemi.

Per sistemi bidimensionali, valgono considerazioni analoghe, solo che si considerano vettori invece che scalari.

Dinamica traslatoria

La dinamica è la branca della fisica (o meglio, della meccanica classica o newtoniana) che studia le cause del moto. La forza è la grandezza fisica che causa una accelerazione, ossia varia la velocità di un corpo. È una grandezza vettoriale, pertanto può essere sommata vettorialmente. La somma di tutte le forze agenti su un corpo è una forza detta risultante. Secondo il principio di sovrapposizione delle forze, sostituire la risultante a tutte le forze agenti su di un corpo produce il medesimo effetto. La forza si misura in Newton, pari al prodotto tra massa e accelerazione.

Leggi di Newton

1° legge di Newton: Principio di inerzia

In un sistema di riferimento inerziale, un corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se la risultante delle forze agenti su di esso è nulla. Un sistema di riferimento inerziale è un sistema dove vale il principio di inerzia.

2° legge di Newton

La massa è una caratteristica intrinseca di un corpo che mette in relazione (secondo proporzione)…