Appunti completi del corso Control Methods for Computer Networks

Polytechnic University of Bari

Department of Electrical and Information Engineering

Master's degree in computer science engineering

Control methods for computer networks

Appunti
Professor: Saverio Mascolo
A.Y. 2021/2022

Parte del corso

• Controlli di congestione
• Weswool
• Google cong. control (webrtc), sist. video conferenza
• Adaptive video streaming (youtube, netflix)
• AR/VR (video immersioni)
• Crittografia
• Page rank

c3lab.poliba.it → materiale esame → prova scritta + teoria

Tema d'anno (es.: sviluppo chat real time in sist. video conf., sfonde nella video stream (che può cambiare), approfond. arg. fatto durante il corso)

Parte I

• Rappresentazioni di stato
• Osservatore dello stato
• Filtri di Kalman
• Controllo ottimo LQR

Rappresentazione di Stato:
ẋ(t) = f(x(t), u(t))

Questa equazione è risolvibile numericamente, perché se parto da una condizione iniziale, x(0) = stato dell'ingresso, considero un intervallo di tempo piccolo e vado nel punto individuato da x(ΔT). Come ci vado?

ẋ(0) = f(x(0), u(0))
x(ΔT) = ẋ(0)ΔT = f(x(0), u(0))
Da qui posso trovare x(2ΔT)dx/dt * ΔT = Δx

Quindi:
x(t)ΔT ẋ(ΔT)ΔT → x(2ΔT) ẋ(2ΔT) x(3ΔT)

Cos'è lo stato?
x(t) è un vettore di dim. m

x(t) =
x₁(t) x₂(t) x_n(t) ∈ ℝⁿ

Lo stato è qualcosa in grado di descrivere un sistema (del resto nel linguaggio si dice “stato delle cose”, “stato di salute”...). Descrivere completamente vuol dire risolvere l’equazione differenziale a partire dallo stato iniziale.

In tutti i sistemi (sistemi fisici), le variabili di stato sono direttamente associate alle variabili che descrivono lo stato energetico del sistema.

Ad esempio, se considero una massa in un campo gravitazionale, lo stato energetico è direttamente collegato alla posizione (energia potenziale) e alla velocità (energia cinetica).

Quindi lo stato, ad esempio, è
x(t) =
x₁(t) x₂(t) =
x(t) v(t)

F = m · a = m
d v/dt _{derivata velocità}
= m
d²x(t)/dt² _{derivata 2^a posizione}

Trasformo un’equazione differenziale di ordine n=2, in n=2 equazioni differenziali del primo ordine.
ẋ(t) = [ż(t) ṡ(t)]
x = [z(t) v(t)]

{ż(t) = v(t) ṡ(t) = a(t) = F/m} ← 2 equazioni differenziali di ordine 1

Quindi a partire da
F = m * d² x(t) / dt² ← equazione differenziale di ordine 2 arriviamo a

Quindi:
ẋ(t) = [ż(t) ṡ(t)] =
[0 1] [z(t) / v(t)] +
[0 / f_m]

FA Bẋ(t) = A x(t) + B u(t) caso particolare ẋ = f(x, u) lineare non lineare

Il passaggio da equazioni differenziali di ordine N a N equazioni differenziali di ordine 1 equivale a trovare la rappresentazione di stato.

La maniera più semplice:
prendo y(t) = x₁(t)

d y(t) / dt = x₂(t)

...
d^r-1 y / dt^r-1 = x_n(t)

yⁿ(t) + a_n-1y^(n-1)(t) + --- + a₀ y(t) = b₀u(t)

facendo le sostituzioni il vettore di stato diventa:
̇x(t) =
̇x_m(t) =
[0 1 0 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
[-a₀ -a₂ -a_n-1]

RELAZZAZIONE DI STATO
È importante trovarla per lavorare nel dominio del tempo.

07/10/2021
̇x(t) = f(x(t), u(t)) ← ingresso
y(t) = g(x(t), u(t)) ← uscita
x(t) ∈ R_n stato del sistema
u(t) ∈ R_n vettore degli ingressi

Esiste un algoritmo iterativo che consente di trovare le soluzioni.

Un caso particolare è il caso lineare in cui l'equazione diventa:
̇x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)

S(A, B, C, D)
x ∈ ℝⁿ ↑ vettore di stato
y ∈ ℝ^p ↑ vettore delle uscite
u ∈ ℝ^m ↑ vettore degli ingressi
A ∈ ℝ