Appunti completi Analisi 2

Analisi 2

Richiami di algebra lineare

Lo spazio vettoriale n-dimensionale su R denotato R ha come elementi x = n(x ;…;x ), con x ϵ R per j = 1;…; n, che, se non altrimenti specificato, vanno intesi 1 n j nei calcoli di algebra lineare come vettori colonna: …x = Il corrispondente vettore riga è x ϵ (R ), il suo vettore trasposto, t n tx = (x ;…;x )t 1 n

Le operazioni che rendono R e (R ) uno spazio vettoriale sono la somma di n n t vettori, +… … …x + y = + = + e il prodotto scalare per vettore: se a ϵ R, allora: … …ax = a = Il prodotto scalare associa a ogni coppia di vettori x, y ϵ R lo scalare <x, y > = xn ∙ y ϵ R x ∙ y = <x; y >: = x y + … + x y1 1 n n

Per il prodotto scalare valgono le proprietà:

• X ∙ y = y ∙ x
• (ax + by) ∙ z = a (x ∙ z) + b (y ∙ z)
• X ∙ x > 0 e x ∙ x = 0 se e solo se x = 0, ossia x = …= x = 0.1 n

‖‖=Poniamo (x ∙ x) > 0, la norma di x ϵ R .n

Teorema: disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Siano x, y ϵ R . Allora:n | ‖‖‖‖∙ | ≤| ‖‖‖‖L'uguaglianza ∙ | = vale se e solo se x e y sono linearmente dipendenti

Dimostrazione.

Siano x, y ϵ R :n ∑ ∑0 ≤ − con − = det ∑ ∑= − 2 + =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= − 2 + =∑ ∑= 2( − (∑ ) 2‖‖Poiché = (x ∙ x) 2 ‖‖0 ≤ − = det = 2 (‖‖ – (x ∙ y) )2 2 2 ‖‖ ‖‖ | ‖‖‖‖(x ∙ y) ≤ ↔ ∙ | ≤2 2 2che dimostra la disuguaglianza.

In particolare, | ‖‖‖‖∙ | = se e solo se per ogni i≠ j abbiamo che 0 = x y – y xj = det, cioè se e solo i j i se esistono costanti λ, μ non entrambe nulle per cui 0 = λx – μy = … = λx –1 1 nμy, cioè se x e y sono linearmente dipendenti.n

Prodotto scalare in R e R3 2

Il prodotto scalare in R (e in R ) ha una interpretazione geometrica che ne 3 2 spiega la ricorrenza in fisica e in altre applicazioni. Se x e y sono vettori in R, 3 ‖‖‖‖ allora x ∙ y = cos(α) dove α è l'angolo compreso tra i due vettori.

Verifico in R :2

Se x = q(cos(s) ; sin(s)) e y = r(cos(t) ; sin(t)) sono x e y scritti in coordinate ‖‖ ‖‖, polari, q = e r = allora ‖‖‖‖x ∙ y = x y + x y = qr(cos(s)cos(t) + sin(s)sin(t)) = qr cos(s − t) =1 1 2 2 cos(α)

Il caso di R può essere ricondotto a quello del piano usando, per esempio, 3 trasformazioni ortogonali

Proprietà della norma

Siano x, y ϵ R dei vettori e a ϵ R uno scalare. Allora:n

• 1. ‖‖ ||‖‖ =
• 2. ‖ ‖‖ ‖‖ ‖ ‖‖ ‖‖ + ‖ ≤ + e − ‖ ≥ - (disuguaglianze triangolari)
• 3. ‖‖ ‖‖ ≥ 0 e = 0 ↔ x = 0

Dimostrazione.

L'unica dimostrazione non banale è quella delle disuguaglianze triangolari.

‖ + ‖ = (x + y) ∙ (x + y) =‖‖ ‖‖+ 2x ∙ y + ≤2 2 ‖‖ ‖‖≤ + 2‖‖‖‖ + (per la disuguaglianza di Cauchy – Schwartz)2 2 ‖‖)= (‖‖ + 2e posso prendere radici a destra e sinistra.

Usando la prima disuguaglianza triangolare, ‖‖ ‖( ‖ ‖‖= − ) + ‖ ≤ − ‖ +Quindi ‖ ‖‖ ‖‖− ‖ ≥ -‖ ‖ ‖‖ ‖‖ ‖ ‖‖D’altra parte, − ‖ = − ‖ ≥ - quindi − ‖ ≥ max{ -‖‖, ‖‖ ‖‖ |‖‖ ‖‖ |- } = −‖

La quantità d(x, y) = − ‖ esprime la distanza euclidea tra i punti (vettori) x e y in R .n

Essa ha, tra le altre, le seguenti utili proprietà:

• 1. D(x, y) = d(y, x) ≥ 0
• 2. D(x, y) = 0 se e solo se x = y
• 3. D(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (disuguaglianza triangolare)
• 4. D(λx, λy) = |λ|d(x, y) se λ ϵ R è uno scalare.

La distanza (norma) può essere usata per definire il limite di una successione in Rn. Definizione 5. Una successione fxlgl=1 1 di punti in Rn tende a a2 Rn se e solo se liml!1 kxl −

Norma di una matrice

Se A ϵ R mxn ‖A‖

La norma di Hilbert-Schmidt di una matrice A di dimensioni m x n, è definita come ‖A‖ ∑ ∑= HS1 0 0 ‖A‖

Esempio: se A = allora = + 2 + 3 + 1 =√1 √15HS2 3 1

Di fatto, identifichiamo A con un vettore in R .mxn

Proposizione ‖Ax‖ ‖‖Se A ϵ R e x ϵ R, allora ≤‖A‖mxn n HS

Dimostrazione.

Usando Cauchy-Schwarz, ‖Ax‖ ∑ ∑ ‖x‖ ‖A‖ ‖x‖= ∙ ≤ a =2

Funzioni continue di più variabili

Sia E ⊑ R un insieme e sia f: E → R una funzione. Sia poi a ϵ E.n

La funzione f è continua in a se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che, per ogni x ϵ E ‖x con − a‖ ≤ δ ne segue che |f(x) – f(a)|< ε

Le funzioni continue su E ⊑ R hanno proprietà analoghe a quelle di una n variabile reale.

Se f, g: E → R sono continue, allora:

• 1. Per ogni scelta di a, b ϵ R, af + bg è continua
• 2. F ∙ g è continua su E e f / g è continua su E \ {x ϵ E: g(x) ≠ 0}
• 3. Se f(E) ⊑ D, dove D ⊑ R e ϕ: D → R è continua, allora φ ∘ f è continua
• 4. Più in generale, se f, …, f : E → R sono continue, se F(x) = (f (x); … ;1 m 1f (x)) soddisfa F(E) ⊑ D ⊑ R e g: D → R è continua, allora g ∘ F : E → R è m m continua
• 5. Se f ; … ; f sono continue, allora Max{f ; … ; f } e min {f ; … ; f } sono 1 m 1 m 1 m continue.

In particolare le funzioni coordinate f(x)=xj sono continue, i polinomi sono ( ) continui, le espressioni fratte sono continue sull'insieme su cui q(x) ≠ 0, la ( ) funzione e è continua se f: E → R lo è, eccetera...f

Sotto/sopra grafici

Sia y = f(x), f: R→R, f continua

Definisco il grafico f= {(x,y) : xϵI, y=f(x)} ⊆ R 2

Sia H(x,y) = y-f(x) funzione continua perché sottrazione di funzioni continue

Allora:

• A = {(x,y) : xϵI, y>f(x)} Sopragrafico è aperto
• B = {(x,y) : xϵI, y<f(x)} Sottografico è aperto

Insiemi aperti, chiusi

• Un insieme A ⊑ R è aperto in R se e solo se esiste una funzione f : R → R n n n continua tale che A = {x ϵ R : f(x) < 0}n
• Un insieme C ⊑ R è chiuso in R se esiste g: R → R tale che C = {x ϵ R : n n n n g(x) ≤ 0}.

Per esempio, {(x; y) ϵ R : x + y < 1} è aperto perché esiste (f(x; y) = x + y –2 2 2 2 21) mentre {(x; y) ϵ R : x + y ≤ 1} è chiuso perché esiste (g(x; y)= x + y – 1)2 2 2 2 2

Siano a ϵ R e r > 0 un numero reale.n

• La palla aperta di centro a e raggio r è l'insieme (aperto): B(a; r)= {xϵR : n ‖ − ‖<r}
• La palla chiusa di centro a e raggio r è l'insieme (chiuso): B(a; r)= {xϵR : n ‖ − ‖≤r}.
• La sfera di centro a e raggio r è l'insieme (chiuso) δB(a; r) = {xϵR : n ‖ − ‖=r}.

Inoltre:

• Se f: R → R è continua, allora L = {xϵR : f(x) = 0} è chiuso in Rn e {xϵR : n n n f(x) ≠ 0} è aperto
• A ϵ R è aperto ↔ R \ A è chiuso n n
• Se A, …, A sono aperti in R, allora A ∩ … ∩ A e A ∪ … ∪ A sono aperti. n1 k 1 k 1 k
• Se C, …, C sono chiusi in R, allora C ∩ … ∩ C e C ∪ … ∪ C sono chiusi. n1 k 1 k 1 k
• L'insieme vuoto ∅ e R sono sia chiusi che aperti in R e sono gli unici n n sottoinsiemi con questa proprietà.
• Un sottoinsieme A di R è aperto se e solo se per ogni a ϵ A esiste ε>0 tale n che B(a; ε) ⊑ A.
• Un sottoinsieme C di R è chiuso se e solo se per ogni successione {x } in C, n l se lim = a, allora a→

Insieme limitato

Un sottoinsieme E ⊑ R è limitato se e solo se esiste R>0 tale che E ⊑ B(0;R).n

Insieme compatto

Un sottoinsieme K ⊑ Rn è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Gli insiemi compatti sono la nozione più vicina, in più variabili, a quella di intervallo chiuso e limitato nella retta reale. Alla stessa maniera, gli insiemi aperti estendono per molti versi la nozione di intervallo aperto.

Teorema di Weierstrass in più variabili

Sia f: E →R una funzione continua su un insieme compatto (chiuso e limitato) E in R .n

Allora, esistono x e x in E tali che per ogni x in E si ha:min Max f(x ) ≤ f(x) ≤ f(x )min Max

I punti x con questa proprietà sono detti punti di minimo per f in E, mentre gli min x sono punti di massimo.Max

Il valore f(x )= min {f(x): x ϵ E} è il (valore) minimo di f in E e il valore f(x )min Max = Max{f(x): x ϵ E} è il (valore) massimo di f in E.

Chiaramente possono esistere minimo e massimo di f anche in casi in cui f non sia continua, o E non sia compatto. Pur non dando informazioni dirette e precise sulla collocazione dei punti di minimo/massimo, il teorema di Weierstrass in alcuni casi particolari ne dà di indirette e può essere utile a restringere il campo in cui andiamo a cercare dei punti di massimo/minimo relativi.

Esempi

Consideriamo la funzione f(x; y)= xy(x + y −1). Essa è non positiva nel triangolo T = {(x; y): x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 1} che è chiuso e limitato, quindi ha un massimo su T (che è chiaramente 0) e un minimo su T (che è chiaramente negativo).

Non possiamo trarre la stessa conclusione su S = {(x; y): x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≥ 1}, che è chiuso, ma non limitato. La funzione f è non negativa su S, quindi ha 0 come valore minimo su S. Non è detto che abbia un valora massimo, infatti non lo ha.

Limiti di funzioni

Siano E ⊑ R e sia a ϵ R un suo punto di accumulazione: per ogni r > 0, cioè, si n n abbia che B(a; r)∩E ≠∅

Sia poi f: E→R. Diciamo che f(x) tende a LϵR per x che tende ad a, ossia lim () = L→ se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che ‖∀ xϵE, − ‖ < δ → |f(x) – L| < ε

Curve

Ci si può muovere nel piano e nello spazio lungo delle curve. Questo termine può essere usato con due significati diversi: la curva come oggetto geometrico (l'insieme dei punti toccati durante il percorso); oppure la curva come oggetto cinematico (la curva intesa come traiettoria: posizione di un punto mobile al variare del tempo).

Noi intendiamo qui la curva come traiettoria (interpretazione cinematica) e usiamo il termine di traccia per l'oggetto geometrico.

DEF: Una curva in E ⊆ Rn è una funzione continua γ: I → E definita su un intervallo I in R.

L'immagine γ(I) ⊆ E ⊆ R è talvolta chiamata la traccia di γN

Se γ(t)= x = (x, …, x ), poniamo x = γ (t), così che γ : I→R è una funzione 1 n j j j continua, chiamata la j-esima componente di γ.

Concretamente, ci troviamo spesso di fronte al problema di avere una curva geometrica e di doverla parametrizzare, cioè di doverla scrivere come traccia di una curva (in senso cinematico). Più avanti affronteremo il problema più delicato di compiere un'operazione analoga per una superficie nello spazio tridimensionale. Le proprietà geometriche della figura (della curva) non devono cambiare con la parametrizzazione. Vedremo per esempio che la lunghezza di una curva non dipende da come questa viene parametrizzata (la lunghezza della Milano-Bologna non dipende da come la percorro), mentre la velocità di una curva dipende dalla parametrizzazione (la velocità a casello di Modena Sud dipende da come sto percorrendo l'autostrada).

Insiemi connessi per archi

Un sottoinsieme E di R è connesso per archi se per ogni coppia di punti P, Q di E n esiste una curva γ: [a; b] → E con punto iniziale γ(a) = P e punto finale γ(b) = Q.

Per esempio, l'insieme E = {(x; y): x - y < 1} è connesso per archi, mentre E =2 21 2{(x; y): x - y < 1} non lo è.2 2

Teorema degli zeri

Sia E ⊆ R è connesso per archi e f: E → R è continua, siano P, Q ϵ E : f(P) < 0 < n f(Q)

Allora ∃ R ϵ E : f(R) = 0

Infatti:

Sia ϕ(t) = f(ɤ(t)) continua, definisco ϕ(a) = f(P) e ϕ(b) = f(Q)

Se ϕ(a) < 0 < ϕ(b), allora ∃ t: 0 = ϕ(t) = f(ɤ(t)) con R=ɤ(t)

Velocità di una curva

Siano I ⊆ R un intervallo e γ: I → R una curva le cui componenti γ siano n j derivabili in I. Allora, γ’(t) = (γ ’(t) … γ ’(t) ϵ Rn1 n è la derivata, o velocità, di γ in t ϵ I.

C (I,R ) = {f: I → R tale che f’(t) esiste ed è continua per ogni t ϵ I}1 n n

Diciamo che γ ϵ C = C (I, R ) e che γ … γ ϵ C (I,R) cioè se γ ’ … γ ’ sono 1 1 n 11 n 1 n funzioni continue su I.

Esempi

1. La retta nel piano di equazione y = 2x + 3 può essere rappresentata come traccia di una curva. Per esempio, ponendo x = t; y = 2t + 3, cioé, ponendo γ(t)= (t; 2t + 3), γ: R → R 2

In questo caso la velocità γ’(t) = (1; 2) è costante. La stessa curva (in senso geometrico) può essere descritta da infinite diverse equazioni che la parametrizzano, alla stessa maniera in cui una strada può essere percorsa a diverse ore con diverse velocità.

Nel caso sopra, per esempio, possiamo porre t = s ottenendo la curva α(s) =3()(s, 2s +3), α : R→R e = (3, 6 )3 3 22.

2. Più in generale, il grafico {(x; f(x)): x ϵ I } di una funzione continua f: I → R definita su un intervallo I⊆R può essere parametrizzato da γ(t) = (t; f(t)), γ: I → R . Se f è anche derivabile abbiamo γ’(t) = (1; f’(t)).2

3. La circonferenza di equazione x + y =1 nel piano può essere efficacemente 2 2 parametrizzata mediante γ (t)=(cos(t);sin(t)), γ: [0;2π[→R . Abbiamo 2 γ’(t)=(−sin(t); cos(t)). Si noti che la velocità scalare della curva è in questo caso ‖γ′(t)‖=1 costante,

4. In generale, quando la curva ha una parametrizzazione γ: I → R tale che n ‖γ′(t)‖=1 diciamo che è parametrizzata mediante lungezza d'arco.

5. Supponiamo di volere parametrizzare la retta in R che congiunge i punti n (distinti) di coordinate P e Q. Una maniera per farlo è porre γ (t) = P + t(Q − P)= tQ + (1 − t)P, γ: R →R . Si noti che γ(0) = P (il punto iniziale), γ (1) = Q e γn‘(t) = Q − P ϵ R è costante. In questa maniera abbiamo anche la n parametrizzazione del segmento [P ; Q]: ci basta restringere γ a [0; 1].

Proprietà delle curve

1. Siano ɤ, σ: [a,b] → R ɤ, σ ϵ Cn 1

Allora:

• (ɤ + σ)’ = ɤ’ + σ’
• (cɤ)’ = cɤ’ con c ϵ R

2. Sia ɤ: [a;b] → R con ɤ ϵ C e sia ϕ: [c;d] → [a;b] con ϕ ϵ C suriettiva e tale n 1 1 che ϕ’ ≠ 0

Allora:

• ɤ ∘ ϕ ϵ C ([c;d], R )1 n
• (ɤ ∘ ϕ)’ (t) = ɤ’(ϕ(t))ϕ’(t) ( )ɤ ɤ ( ))ɤ( ɤ( )ɤ’(t) = lim con ɤ ’(t) = limj→ →

ɤ (t+h) = ɤ (t) + ɤ’ (t)h + o(h)j j j

ɤ(t+h) = [ ɤ (t) + ɤ’ (t)h + o(h) + … + ɤ (t) + ɤ’ (t)h + o(h)] = [ɤ (t) + … +1 1 n n 1 ɤ (t)] + [ɤ’ (t) + … + ɤ’ (t)]h + o(h) = ɤ(t) + ɤ’(t)h + o(h)n 1 n

Integrale di una funzione su una curva

Sia ɤ: [a; b]→ E una curva derivabile, ossia ɤ ϵ C ([a;b], E) con E⊆R e sia f: E→R, 1 n f ϵ C (E,R)1

Allora: ‖ɤ′()‖dt

• 1. L'espressione ds(t) = è l'elemento d'arco associato a ɤ ‖ɤ( ‖ɤ() () ‖ɤ′()‖dt ds = + ) − ɤ()‖ = + ɤ − ɤ()‖ =‖ɤ′()‖dt
• 2. La lunghezza di ɤ è se f=1∫
• 3. Se ɤ ha immagine ɤ([a; b])⊆ E in un insieme E e se f: E→R è continua, l'integrale di f lungo ɤ è = (ɤ())‖ɤ′()‖dt∫ ∫

Derivate parziali

Usiamo la notazione ej = (0, …, 1, …, 0) con 1 nella j-esima posizione e 0 nelle altre per indicare la base canonica di Rn.

Sia f: A → R una funzione definita in un intervallo A aperto, A &sube