Appunti Algebra lineare (Didattica)

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Author: andrea.boventi

Revisionato il 25/07/2026

di andrea.boventi

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Appunti di Teoria di Algebra del corso di Algebra lineare e Geometria analitica tenuto dal prof. Anita Pasotti nell'anno accademico 2021-2022 basati su appunti personali del publisher presi alle …

Esame Algebra e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Pasotti Anita

Università Università degli Studi di Brescia

A.A. 2021-2022

112 pagine

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Estratto del documento

Algebra e geometria

Gli insiemi

A = insieme

a = elemento di A => a ∈ A

Simbolo di appartenenza

Diagramma di Venn

Acd

Per elencazione

A = { a, b, c, d }

Insieme non ordinato

Per proprietà

A = { ¹/₁, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄ } => per denominatore

A = { ¹/_m | m ∈ N, 1 ≤ m ≤ 4 }

Insieme dei numeri naturali

N = numeri naturali (a partire da 1)

N₀ = N U { 0 }

I = interi

Q = razionali

R = reali

C = complessi

Algebra e geometria

Gli insiemi

A = insieme

a = elemento di A => a ∈ A

Simbolo di appartenenza

Diagramma di Venn

A{a, b, c, d}

Per elencazione

A = {a, b, c, d}

Insieme non ordinato

Per proprietà

A = {1/4, 1/3, 1/2} => per elencazione

A = {1/m | m ∈ N, 1 ≤ m ≤ 4}

Insieme dei numeri naturali

N = numeri naturali (a partire da 1)

N = { } + {a partire da 0} . N ∪ {0}

Z = interi

Q = razionali

R = reali

C = complessi

Simboli della logica

∀: Per ogni -> quantificatore universale
∃: Esiste -> quantificatore esistenziale
∃!: Esiste uno e uno solo (ecl unico)
=>: Implica -> implicazione detta
<=>: Se e solo se -> doppia implicazione

A <=> B -> {A => B B => A

Definizione

Un insieme B è un sottoinsieme di un insieme A se ogni elemento di B appartiene ad A

∀x ∈ B => x ∈ A

B ⊆ A

B = sottoinsieme proprio di A

B ⊆ A <=> ∀x ∈ B => x ∈ A

∃a ∈ A, a ∉ B

Definizione

Un insieme privo di elementi è detto insieme vuoto ∅

Proposizione

∀A insieme : ∅ ⊆ A

Dim. per assurdo

L' = nego la tesi

Suppongo ∃A insieme => ∅ ∉ A

∃b ∉ ∅, b ∈ A

> Contraddizione 1 ∩ b absurd.

Operazioni tra gli insiemi

A, B insiemi

Intersezione

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

Se A ∩ B = ∅ -> insiemi disgiunti

Se A ∩ B = A A ⊆ B

Unione

A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

Se A ∪ B = ∅ A = B = ∅

A ∪ B = A B ⊆ A

Differenza

A \ B = {x | x ∈ A, e x ∉ B}

A \ B = A A e B sono disgiunti

A ∩ B = ∅

Applicazioni tra insiemi

Prodotto cartesiano

Definizione. A, B insiemi - Si dice prodotto cartesiano di A e B l'insieme delle coppie ordinate (a,b), con a ∈ A, b ∈ B

A × B = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B } ≠ B × A

E.g. A = { x, y }

B = { 1, 2, 3 }

|A| = 2

|B| = 3

|A × B| = 2 · 3 = 6

Calcoliamo A × B (prodotti elementi comuni)

A × B = { (x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 1), (y, 2), (y, 3) }

B × A = { (1, x), (2, x), (3, x), ... }

Più in generale, dati n insiemi A₁, A₂, ..., A_n

A × A × ... × A = { (a₁, a₂, ... a_m) | a_i ∈ A_i, i=1, 2, ..., n }

A × A × ... × A = A^m m volte

ℝ³ = terme ordinate di numeri che stanno in ℝ (dei numeri reali)

ℝ³ = { (x, y, z) | x, y, z ∈ ℝ }

Funzioni

Definizione. A, B, insiemi.

Si dice applicazione o funzione da A in B f:A → B una legge che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

∀x ∈ A ∃!y ∈ B tale che f(x) = y

Esempi:

f: N → N x → x + 1

f: N → N x → x + 1 4 → 0 ∉ N

f: Z → Z x → x - 1

id: A → A x → x funzione identica

Immagine di una funzione

Definizione. f: A → B applicazione

Si dice immagine di f l'insieme:

Im f = {y ∈ B | ∃ x ∈ A tale che f(x) = y} ⊆ B

Una funzione f: A → B si dice:

Iniettiva se ∀ x₁, x₂ ∈ A ➔ f(x₁) ≠ f(x₂)
Suriettiva se ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A t.c. f(x) = y
Biiettiva se è iniettiva e suriettiva

Z ⊕ f ⊕ B

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