Appunti Algebra

Algebra lineare

Federico Bustaffa

13/02/2022

Indice

• 1 Spazi vettoriali 3
• 1.1 Definizione di spazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 1.2 Sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 1.3 Intersezione e somma di sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . 6
• 1.4 Base di uno spazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• 1.5 Applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 1.6 Matrici e vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 2 Riduzione a scalini 16
• 2.1 Operazioni elementari sulle colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 2.2 Riduzione a scalini e studio delle basi . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 2.3 Il teorema della dimensione del nucleo e dell’immagine di una applicazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 2.4 Immagine di un’applicazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 2.5 Riduzione a scalini per righe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 2.6 Riduzione a scalini e applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . 25
• 3 Sistemi lineari 26
• 3.1 Risoluzione di sistemi tramite riduzione per righe . . . . . . . . . 26
• 4 La formula di Grassmann 28
• 4.1 La formula di Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 4.2 Calcolo dell’intersezione di due sottospazi . . . . . . . . . . . . . 30
• 4.3 Somma diretta di sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• 5 Applicazioni lineari e matrici invertibili 33
• 5.1 Endomorfismi lineari invertibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 5.2 Metodo per trovare l’inversa di una matrice . . . . . . . . . . . . 34
• 5.3 Cambiamento di base negli endomorfismi lineari . . . . . . . . . . 37
• 1
• 6 Determinante 41
• 6.1 Definizione di determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 6.2 Determinante e calcolo del rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 6.3 Teorema di Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 6.4 Proprietà del determinante rispetto alle mosse di riga e colonna . 47
• 7 Diagonalizzazione di endomorfismi lineari 48
• 7.1 Autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• 7.2 Polinomio caratteristico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• 7.3 Strategia per scoprire se un endomorfismo è diagonalizzabile . . . 52
• 7.4 Criterio di molteplicità algebrica e molteplicità geometrica . . . . 54
• 8 Prodotti scalari e spazi euclidei 56
• 8.1 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
• 8.2 Ortogonalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 8.3 La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 61
• 8.4 Sottospazi ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 9 Teorema spettrale 63
• 9.1 Introduzione al teorema spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
• 9.2 Endomorfismi simmetrici definiti positivi o negativi . . . . . . . . 65
• 2

1 Spazi vettoriali

1.1 Definizione di spazio vettoriale

Per fornire la definizione di spazio vettoriale si ha bisogno di un insieme non vuoto e di un campo dove sia possibile definire le operazioni di V somma K, e vettoriale prodotto per scalare.

Definizione 1.1.1. Uno spazio vettoriale su un campo K è un insieme V su cui sono definite la somma fra due elementi di V, il cui risultato è ancora un elemento di V, si dice quindi che V è chiuso per la somma, e il prodotto di un elemento di V per un elemento di K, il cui risultato è sempre un elemento di V, si dice quindi che V è chiuso per il prodotto con elementi di K, che verificano le seguenti proprietà:

• 1. Vale ∀u, v, w ∈ V (u + v) + w = u + (v + w) (proprietà associativa dell’addizione).
• 2. Vale ∀v, w ∈ V v + w = w + v (proprietà commutativa della somma).
• 3. Tale che vale ∃O ∈ V ∀v ∈ V v + O = v (elemento neutro somma).
• 4. ∀v ∈ V ∃w ∈ V, tale che v + w = O (opposto per la somma).
• 5. ∀λ, µ ∈ K ∀v, w ∈ V vale λ(v + w) = λv + λw e anche (λ + µ)v = λv + µv (proprietà distributiva prodotto per scalare).
• 6. ∀λ, µ ∈ K ∀v ∈ V vale (λµ)v = λ(µv) (proprietà associativa prodotto per scalare).
• 7. Vale ∀v ∈ V 1v = v (invariante moltiplicativo).

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Osservazione 1.1.2. L’elemento neutro della somma O e lo elemento neutro 0, O di K sono due cose ben distinte, il primo è un vettore, il secondo è uno scalare.

Esempio 1.1.3. Ogni campo K è uno spazio vettoriale su K stesso con le operazioni di somma vettoriale e prodotto per scalare che sono definite identiche alle operazioni di somma e prodotto sul campo. In particolare R è uno spazio vettoriale su R, così come Q è uno spazio vettoriale su Q.

Esempio 1.1.4. R² = {(a, b) | a, b ∈ R} è uno spazio vettoriale su R con le operazioni di somma vettoriale e prodotto scalare definite come segue:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

λ(a, b) = (λa, λb)

Esempio 1.1.5. Anche l’insieme dei polinomi K[x], con la somma tra polinomi e il prodotto tra polinomi e costanti di K definiti come segue:

• Il polinomio somma di p(x) e q(x) è quello il cui coefficiente di grado n è la somma dei coefficienti di grado n dei polinomi p(x) e q(x).
• Il polinomio prodotto di k ∈ K e p(x) è il polinomio che ha come coefficiente di grado n k volte il coefficiente di grado n di p(x).

È uno spazio vettoriale su K.

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1.2 Sottospazi vettoriali

Definizione 1.2.1. Un sottospazio vettoriale W di V è un sottoinsieme di V che, rispetto alle operazioni + e · che rendono V uno spazio vettoriale su K, è uno spazio vettoriale su K.

Esempio 1.2.2. Dato uno spazio vettoriale V su un campo K, V e l’insieme O sono sempre sottospazi di V.

Definizione 1.2.3. Chiamiamo sottospazio proprio di V un qualsiasi sottospazio vettoriale di V che sia diverso da V e dal sottospazio O.

Proposizione 1.2.4. Dato uno spazio vettoriale V su K e W ⊆ V, W è sottospazio vettoriale di V, rispetto alle operazioni + e · che rendono V uno spazio vettoriale su K, se e solo se:

• 1. Il vettore O appartiene a W.
• 2. Vale ∀u, v ∈ W, u + v ∈ W.
• 3. Vale ∀k ∈ K ∀u ∈ W, ku ∈ W.

Esempio 1.2.5. Consideriamo lo spazio vettoriale R² su R e proviamo vedere se l’insieme X = {∀x, y ∈ R | x² + y² = 1} è un sottospazio vettoriale di R². L’insieme in questione è l’insieme di punti di una circonferenza. Subito notiamo che il vettore (0, 0) non appartiene all’insieme dunque possiamo subito concludere che X non è un sottospazio di R².

Osservazione 1.2.6. Tutte le rette passanti per l’origine sono gli unici sottospazi vettoriali di R². Tutti gli altri sottoinsiemi non sono chiusi per somma e prodotto.

Esempio 1.2.7. Consideriamo il sottoinsieme L di K[x] che contiene tutti e soli i polinomi che hanno radice 1, ovvero:

L = {p(x) ∈ K[x] | p(1) = 0}

Verifichiamo che L è sottospazio vettoriale di K[x].

• Il polinomio 0, che è il vettore O di K[x], appartiene a L, infatti ha come radice 1 (addirittura ogni elemento di K è una radice di 0).
• Se p(x), q(x) ∈ L, allora (p + q)(x) appartiene a L, infatti: (p + q)(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0.
• Se p(x) ∈ L e k ∈ K, allora k · p(x) ∈ L, infatti: (k · p)(1) = k · p(1) = k · 0 = 0.

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1.3 Intersezione e somma di sottospazi vettoriali

Dati due sottospazi vettoriali U e W di uno spazio vettoriale V, la somma è il più piccolo sottospazio vettoriale di V che contenga sia U che W, mentre l’intersezione è il più grande sottospazio vettoriale di V contenuto sia in U che in W.

Proposizione 1.3.1. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K, e U W due sottospazi di V, allora U ∩ W è un sottospazio vettoriale di V.

Dimostrazione. Ci interessa verificare che U ∩ W verifichi le proprietà della definizione:

• 1. O ∈ U ∩ W, infatti essendo U e W due sottospazi, certamente O ∈ U e O ∈ W.
• 2. Siano v1, v2 ∈ U ∩ W, allora: v1 + v2 ∈ U e v1 + v2 ∈ W ⇒ v1 + v2 ∈ U ∩ W.
• 3. Sia v ∈ U ∩ W ∀λ ∈ K, allora si ha: λv ∈ U e λv ∈ W ⇒ λv ∈ U ∩ W.

Per cercare il più piccolo sottospazio contenente sia U che W verrebbe da pensare all’unione insiemistica, tuttavia, in generale non è vero che U ∪ W è un sottospazio vettoriale di V.

Dunque il più piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene sia U che W deve necessariamente, per essere chiuso per la somma, contenere tutti gli elementi della forma u + w dove u ∈ U e w ∈ W.

Esempio 1.3.2. Provare che se V = R² e U e W sono due rette distinte passanti per O, allora U ∪ W non è un sottospazio di V.

Basta mostrare che, presi u ∈ U e w ∈ W, entrambi diversi dall’origine, v + w non appartiene all’unione U ∪ W.

Definizione 1.3.3. Dati due sottospazi vettoriali U e W di uno spazio vettoriale V su K, chiamo somma di U e W l’insieme U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W}.

Proposizione 1.3.4. Dati due sottospazi vettoriali U e W di uno spazio vettoriale V su K, U + W è un sottospazio vettoriale di V ed è il più piccolo contenente U e W.

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Dimostrazione. O ∈ U + W, infatti O appartiene sia ad U che a W. Ora dati x, y ∈ U + W e a ∈ K, per definizione di U + W esistono u1, u2 ∈ U e w1, w2 ∈ W tali che: x = u1 + w1 e y = u2 + w2. Dunque x + y = (u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1 + w2) ∈ U + W.

ax = a(u1 + w1) = au1 + aw1 ∈ U + W.

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1.4 Base di uno spazio vettoriale

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Per definizione di V, se v1, v2, ..., vn sono vettori di V, allora per qualsiasi scelta di n elementi di K k1, k2, ..., kn il vettore:

v = k1v1 + ... + knvn = ∑ kivi, i = 1, ..., n

Appartiene a V, in quanto V è chiuso per somma vettoriale e prodotto per scalare.

Definizione 1.4.1. Dato un insieme di vettori {v1, v2, ..., vn} di V, spazio vettoriale sul campo K, il vettore:

v = k1 · v1 + ... + kn · vn

Con scalari {k1, k2, ..., kn} di K, si dice una combinazione lineare dei vettori {v1, v2, ..., vn}. I ki sono detti coefficienti della combinazione lineare.

Esempio 1.4.2. Consideriamo lo spazio vettoriale R³ su R e i seguenti due vettori:

v1 =  3, −1, 3  e v2 =  1, 0, 2 

Allora il vettore seguente:

v =  5, −1, 7  = 1 ·  3, −1, 3  + 2 ·  1, 0, 2 

È una combinazione lineare dell’insieme dei vettori {v1, v2} di coefficienti 1 e 2.

Definizione 1.4.3. Dati vettori {v1, v2, ..., vt} di V su K, si definisce span dei vettori v1, v2, ..., vt e si indica con Span(v1, v2, ..., vt) l’insieme di tutte le possibili combinazioni lineari dell’insieme di vettori {v1, v2, ..., vt}.

Definizione 1.4.4. Un insieme di vettori {v1, v2, ..., vt} di V per cui V = Span(v1, v2, ..., vt), ovvero, ∀v ∈ V, esistono degli scalari a1, a2, ..., at tali che a1v1 + a2v2 + ... + atvt = v, si dice un insieme di generatori di V. In tal caso si dice anche che i vettori v1, v2, ..., vt generano V.

L’esistenza di un sistema finito di generatori per uno spazio vettoriale V su un campo K è un fatto molto importante, dato che si riduce la descrizione di uno spazio vettoriale con cardinalità infinita, ad una lista di numero finito di vettori di V.

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Dato un sistema di generatori {v1, ..., vt} di V sappiamo dunque che ogni v ∈ V si può scrivere, con opportuni coefficienti {k1, ..., kt} come:

v = ∑ kivi, i = 1, ..., t

In generale, tale scrittura non è unica, ovvero non ci permette di identificare univocamente ogni vettore v ∈ V.

Esempio 1.4.5. Si verifica che i vettori  1, 2, 3 ,  1, 0, 1 ,  0, 0, 1 ,  2, 2, 4  generano R³. Si possono facilmente trovare due distinte combinazioni lineari di tali vettori che esprimono il vettore  2, 2, 5 .

Per esempio:

 2, 2, 5  =  0, 0, 1  +  2, 2, 4  =  1, 2, 3  +  1, 0, 1  +  0, 0, 1 

Definizione 1.4.6. Si dice che un insieme finito di vettori {v1, v2, ..., vr} è un insieme di vettori linearmente indipendenti se l’unico modo di scrivere il vettore O come combinazione lineare di questi vettori è con tutti i coefficienti nulli, ossia se a1v1 + a2v2 + ... + arvr = O ⇔ a1 = a2 = ... = ar = 0.

Si può dire anche che i vettori sono linearmente indipendenti. Se invece i vettori v1, v2, ..., vr non sono linearmente indipendenti si dice che sono linearmente dipendenti.

Proposizione 1.4.7. Un insieme di vettori A = {v1, ..., vn} di uno spazio vettoriale V su K è un insieme di vettori linearmente indipendenti se e solo se nessun vi appartenente ad A si può scrivere come combinazione lineare dell’insieme B = A\{vi}, ovvero vi non appartiene a Span(B).

Definizione 1.4.8. Sia V uno spazio vettoriale su K, un insieme di vettori {v1, v2, ..., vn} ∈ V, che generano lo spazio V e che sono linearmente indipendenti, si dice una base finita di V.

Osservazione 1.4.9. Nella definizione è specificato finita. Non sempre uno spazio vettoriale ammette un numero finito di generatori, e di conseguenza nemmeno una base finita.

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Fissata la definizione di base siamo interessati a capire:

• 1. Se la scelta di una base garantisce l’unicità di scrittura di un vettore in termini di combinazione lineare degli elementi della base.
• 2. Quando uno spazio vettoriale ammette una base finita, ed in particolare se il fatto che uno spazio vettoriale V abbia un insieme finito di generatori, garantisca che V abbia una base finita o meno.

Proposizione 1.4.10. Ogni vettore v ∈ V si scrive in modo unico come combinazione lineare degli elementi della base.

Teorema 1.4.11. Sia V uno spazio vettoriale su K diverso da {O} e generato dall’insieme finito di vettori non nulli {w1, w2, ..., ws}. Allora è possibile estrarre da {w1, w2, ..., ws} un sottoinsieme {wi1, wi2, ..., win}, con n ≤ s, che è una base di V.

Definizione 1.4.12. Sia V uno spazio vettoriale con basi di cardinalità n. Tale cardinalità n è detta dimensione di V.

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1.5 Applicazioni lineari

Le applicazioni lineari non sono altro che funzioni che mandano sottospazi in sottospazi.

Esempio 1.5.1. Consideriamo la funzione f: R² → R² definita da f(x, y) = (x, x²).

La funzione f manda i punti (x, x), con la prima e seconda coordinata uguali, ovvero i punti della retta di equazione x = y, nella parabola di equazione y = x². Ma, come sappiamo, la retta y = x passando dall’origine, è un sottospazio di R², mentre la parabola non lo è. Si devono dunque considerare applicazioni con proprietà particolari.

Definizione 1.5.2. Siano V e W spazi vettoriali di dimensione finita sul campo K. Un’applicazione L da V in W è detta lineare se soddisfa le seguenti proprietà:

• Vale ∀v1, v2 ∈ V, L(v1 + v2) = L(v1) + L(v2).
• Vale ∀λ ∈ K ∀v ∈ V, L(λv) = λL(v).

Osservazione 1.5.3. Soddisfare le due proprietà, da parte di un’applicazione lineare L, è equivalente a soddisfare la seguente proprietà:

∀v1, v2 ∈ V ∀λ, µ ∈ K, vale L(λv1 + µv2) = λL(v1) + µL(v2).