Applicazioni dell'integrale definito: volumi e aree

Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it

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Integrazione

Applicazioni dell'integrale definito: volume e area della superficie di solidi

L'area della superficie e il volume di un solido generato dalla rotazione del grafico di una funzione continua attorno a un asse, possono essere trovati integrando una funzione su un intervallo.

Il volume del solido, ottenuto ruotando attorno all'asse x la regione piana compresa tra il grafico di una funzione continua y = f(x), l'asse x e le rette di equazioni x = a e x = b, è dato dal seguente integrale:

b

π · f²(x) dx

a

Se la funzione y = f(x) ha la derivata prima continua nell'intervallo [a, b], l'area della superficie generata ruotando la curva f(x) attorno all'asse x si calcola mediante il seguente integrale:

b

π

S = 2y · (1 + (dy/dx)²)

dx

a

Qual è il volume di una sfera di raggio 12 centimetri?

R = 12 cm

Consideriamo la seguente funzione:

f(x) = R² − x²

5

10 5 0 5 10

Se ruotiamo il grafico di f(x) attorno all'asse x, otteniamo una sfera di raggio R il cui volume è dato dal seguente integrale: