Applicazione del teorema di Gauss

Applicazione del teorema di Gauss

Campo elettrico di una lastra carica infinitamente estesa

Prendiamo in considerazione una lastra infinitamente estesa carica positivamente. Il campo elettrico è perpendicolare al piano della distribuzione in ogni punto, ed ha in ogni punto che si trovi a un’uguale distanza dal piano della distribuzione lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso. Il verso del campo elettrico è uscente se la lastra è carica positivamente, entrante se è negativa.
Scegliamo un Cilindro disposto perpendicolarmente alla lastra, ovvero, con le basi equidistanti dalla lastra, e parallele ad essa, ed andiamo a calcolarne il flusso di campo elettrico che lo attraversa.
Per comodità suddividiamo la superficie laterale del cilindro in parti ∆s abbastanza piccole da poterle considerare piane.

Il flusso totale è dato dalla somma del flusso attraverso le due basi, e il flusso attraverso la superficie laterale.
ϕ_TOT=ϕ_1+ϕ_2+ϕ_lat=E_1∙S_1∙cos0+E_2∙S_2∙cos0+E∙Sl∙cos90=E∙S_1+E∙S_2=2E∙S
Tuttavia, il flusso attraverso la superficie laterale è nullo, perché il campo elettrico è perpendicolare in ogni punto al vettore superficie laterale.
E_1 ed E_2 Sono uguali perché le due basi del cilindro sono equidistanti dalla lastra; le basi del cilindro sono uguali.
Applicando il teorema di Gauss avremo:
2E∙S=∆q/Ɛ_0 →E=∆q/(Ɛ_0∙2S)
Dal momento che Q/S rappresenta la densità superficiale di carica [σ], il campo elettrico di una lastra carica infinitamente estesa sarà:
E=σ/(2Ɛ_0 )
Campo elettrico di un condensatore piano
Consideriamo il campo elettrico di ogni singola lastra, perciò, il campo elettrico totale sarà dato dalla somma dei singoli campi di ogni lastra:
E_TOT=E_1+E_2=σ/(2Ɛ_0 )+σ/(2Ɛ_0 )=σ/Ɛ_0
Il campo elettrico in questo caso è nullo in tutti i punti esterni alle due lastre e nei punti interni il suo modulo sarà il doppio di quello generato da una singola lastra. La sua direzione è perpendicolare alle due lastre, e il verso è diretto dalla lastra carica positivamente a quella negativa.

Campo elettrico di un filo carico infinitamente lungo

Consideriamo un filo rettilineo carico, e un cilindro il cui asse è coincidente con il filo; di conseguenza le basi del cilindro sono perpendicolari al filo.
Per comodità suddividiamo la superficie laterale del cilindro in parti ∆s abbastanza piccole da poterle considerare piane.

Il flusso totale è dato dalla somma del flusso attraverso le due basi, e il flusso attraverso la superficie laterale.
ϕ_TOT=ϕ_1+ϕ_2+ϕ_lat=E_1∙S_1∙cos90+E_2∙S_2∙cos90+E∙Sl∙cos0=E∙Sl=E∙2πr∙h
Tuttavia, il flusso attraverso le due basi è nullo perché il campo elettrico è perpendicolare ai due vettori S1 ed S2. La superficie laterale la indicheremo come Sl=2πr∙h.
Applicando il teorema di Gauss avremo:
E∙2πr∙h=∆q/Ɛ_0 →E=∆q/(Ɛ_0∙2πr∙h)
Dal momento che Q/h rappresenta la densità lineare di carica [λ], il campo elettrico di un filo infinitamente esteso sarà:
E=λ/(Ɛ_0∙2πr)
La direzione del campo elettrico è perpendicolare in ogni punto al filo, e il verso è uscente oppure entrante a seconda che le cariche del filo siano rispettivamente positive o negative.