Distribuzioni di probabilità

Approfondimento sulle distribuzioni continue di probabilità

Giulia Gregoroni

5° E

Liceo Scientifico Russel Newton

A.S. 2009/2010

“La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica”

(Carl Friedrich Gauss)

Breve introduzione sulla vita di Gauss

Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30 aprile 1777 - Gottinga, 23 febbraio 1855) è stato matematico, astronomo e fisico, fornendo contributi determinanti a queste scienze. Viene considerato uno dei principali matematici di tutti i tempi.

Nacque a Brunswick, nel ducato di Brunswick-Lüneburg (ora parte della Bassa Sassonia, Germania), figlio unico di una famiglia di bassa estrazione sociale e culturale. Fin da bambino impressionò tutti con la sua spiccata intelligenza. Secondo la leggenda Gauss all'età di tre anni avrebbe corretto un errore di suo padre nel calcolo delle sue finanze.

Un altro aneddoto, forse vero forse verosimile, racconta che l'insegnante per mettere a tacere l'allievo gli ordinò di fare la somma di tutti i numeri da 1 a 100. Poco dopo, sorprendendo tutti, il giovanissimo Carl diede la risposta esatta, essendosi accorto che mettendo in riga tutti i numeri da 0 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 0, ogni colonna dava come somma 100: Carl fece dunque il prodotto 100x101 e divise per 2, ottenendo facilmente il risultato.

Il Duca di Brunswick, impressionato dalle sue capacità, finanziò il soggiorno di Gauss al Collegium Carolinum, da dove passò nel 1795 all'Università di Gottinga. Mentre era all'università, Gauss riscoprì una serie di importanti teoremi. Il suo primo importante risultato fu lo studio dei poligoni regolari costruibili con riga e compasso che lo portò ad affermare nel 1796 che si poteva costruire con riga e compasso ogni poligono regolare a condizione che il numero n dei lati possa essere scritto nella forma:

(dove Fn è l'ennesimo numero primo di Fermat)

Gauss teorizzò così la costruzione del poligono regolare a 17 lati. Questa era la scoperta più importante in questo campo ed aveva occupato i matematici fin dall'epoca degli antichi greci. Gauss voleva che un poligono regolare a 17 lati (eptadecagono) fosse inciso sulla sua tomba ma lo scalpellino rifiutò dicendo che esso sarebbe stato indistinguibile da un cerchio.

Il 1796 fu probabilmente l'anno più produttivo di Gauss. Oltre alla costruzione dell'eptadecagono (30 marzo) inventò l'aritmetica modulare, importantissimo strumento della teoria dei numeri e dette la prima dimostrazione della legge di reciprocità quadratica (8 aprile).

Sempre in quell'anno congetturò per primo la validità del teorema dei numeri primi (31 maggio) e che tutti i numeri naturali sono rappresentabili al più come somma di tre numeri triangolari (10 giugno). Tuttavia Gauss non pubblicò queste due ultime scoperte ma le tenne per sé. Infatti Gauss era affetto da una sorta di mania di perfezionismo, che gli impediva di pubblicare le sue dimostrazioni se non erano assolutamente rigorose. Scriveva invece le sue scoperte nel suo diario in maniera criptica. Per esempio la scoperta che ogni intero poteva essere rappresentato come somma di al più tre numeri triangolari venne scritta così “Eureka! num= Δ + Δ + Δ.”

Introduzione sulle distribuzioni continue di probabilità

Le distribuzioni continue descrivono il comportamento delle variabili continue e sono classificabili come variabili continue tutte quelle variabili che possono assumere un qualsiasi valore in un certo intervallo reale, come ad esempio:

• La temperatura di un forno;
• La velocità di un'auto;
• La lunghezza di una sbarra;
• Il peso di un oggetto;
• La statura di una persona;
• –

Poiché però non è possibile riportare tutti i valori assunti, questi vengono raggruppati in classi e di conseguenza la rappresentazione grafica sarebbero istogrammi, dove l'altezza dei singoli rettangoli è la densità di frequenza (rapporto tra la frequenza relativa e l'ampiezza di classe), di conseguenza la somma delle aree di tutti i rettangoli deve essere 1.

Se si riduce l'ampiezza delle classi fino a tendere a zero, l'istogramma può essere approssimato da una curva, quindi la distribuzione teorica di probabilità di una variabile continua verrà rappresentata da una curva continua e verrà espressa da una funzione “Fx” chiamata funzione di densità che deve godere di 2 condizioni:

• Deve essere non negativa per ogni X appartenente ad un intervallo eventualmente illimitato;
• L'area compresa fra la curva e l'asse delle ascisse relativa all'intervallo deve essere 1.

Funzione di ripartizione e funzione di densità

Prendendo come riferimento una variabile aleatoria continua possiamo indicare con X la variabile aleatoria continua, con x i valori che essa può assumere