Applicazione delle derivate alla risoluzione delle equazioni: il metodo di Newton

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Applicazione delle derivate alla risoluzione delle equazioni il metodo di Newton

Per trovare una radice dell'equazione g(x) = 0 seguiamo i seguenti passi:

1) Assumiamo un valore di prova x0 come radice.

2) Se g(x0) = 0, abbiamo risolto il problema, altrimenti, calcoliamo

x1 = x0 – g(x0)/g'(x0) e valutiamo g(x1).

3) Ripetiamo il passo 2, usando i valori g(xn–1) e g'(xn–1) per calcolare xn, fino a che g(xn) non cada

nell'intervallo di approssimazione desiderato.

Come indica il nome, il Metodo di Newton è stato sviluppato da Isaac Newton nel 17° secolo ed è

ancora oggi alla base della maggior parte degli algoritmi numerici per calcolare le radici delle

equazioni compreso la funzione root di Mathcad. Quando il Metodo di Newton funziona, la sequenza

di valori di prova, che esso genera, converge molto rapidamente verso la radice.

y t sin t t

Troviamo un valore di t in cui la funzione si annulla.

d y

y' t t

dt

Valore iniziale:

t0 4.5

t 0.332

y =

0

Secondo valore:

y t0

t1 t0 t

y' 0

t = 4.215

1

t 0.015

y =

1

Altra Iterazione:

y t1

t2 t1 t

y' 1

t = 4.227

2 7

y t = 9.509 10

2

Confrontiamo questo valore con il valore della funzione root.

guess 4.5

rt root y guess , guess

4

rt 3.33 10

y =

j 0 .. 2

r 4 , 4.05 .

. 4.8

0.5

y r

0

0

0 4 4.2 4.4 4.6 4.8

r , t , t , t

0 1 2

y(t)

Prima prova

Seconda prova

Terza prova 5

g x x x 1

Troviamo un valore di t , con la precisione di 15 cifre decimali, in cui la funzione si

annulla.

La derivata di g(x) è:

4

.

5 x

g' x 1

Valore iniziale:

x 1

0

non è una radice:

x 1

g =

0

i 1 .. 8 g x

i 1

x x

i i 1 g' x

i 1

x g x

i i

1.25 0.802

1.178 0.094 3

1.168 .

1.934 10

1.167 7

.

8.661 10

1.167 13

.

1.734 10

1.167 0

1.167 0

1.167 0

Noi otteniamo una precisione di 15 cifre decimali già con i = 6.

1.167

x =

6 x 0

g =

6

Problemi con il Metodo di Newton.

Il Metodo di Newton non è sempre efficace. Qualche volta il valore iniziale può cadere in un intervallo

in cui la funzione non ammette radici e i successivi valori calcolati nelle iterazioni non convergono a

nessuna radice. Avremmo questo problema nel precedente esempio se scegliessimo un diverso valore

iniziale.

Valore iniziale:

x 1

0

i 1 .. 16 g x

i 1

x x

i i 1 g' x

i 1

j 12 .. 16

x g x

j j<