Lezioni e esercitazioni, Analisi numerica

Analisi numerica

Metodi e procedure per risolvere problemi in forma numerica.

Calcolo scientifico.

Calcolo parallelo -> ogni processore risolve una parte per la stessa procedura.

La matematica, pura ed applicata, ha bisogno di metodi numerici per risolvere i problemi.

Metodi per risolvere equazioni non lineari o approssimare funzioni.

Burden Faires "Numerical Analysis" Thomson Brooks.

Modello matematico e modello numerico

Problema reale ➔ Modello matematico ➔ ? ➔ Problema ben posto.

Modello numerico.

Algoritmo ➔ Schema risolutore del modello numerico ➔ Output ➔ Analisi risultati.

A volte, i processi potrebbero non essere finiti ma essere iterativi, avere continuità dell'input e convergere alla soluzione.

Strumenti per elaborazioni scientifiche

• Linguaggi di programmazione (es. C++)
• Excel Equi
• Software scientifico (Equi) Matlab, Maple, Mathematica

Floating point

Numeri in virgola mobile -> dobbiamo prima studiare aritmetica di macchina.

Analisi numerica

Metodi e procedure per risolvere problemi in forma numerica.

Calcolo scientifico.

Calcolo parallelo -> ogni processore risolve una parte per la stessa procedura.

La matematica, pura ed applicata, ha bisogno di metodi numerici per risolvere i problemi.

Metodi per risolvere equazioni non lineari o approssimare funzioni.

Burden Faires "Numerical Analysis" Thomson Brooks.

Problema ben posto

Problema Reale -> Modello matematico -> ? -> Problema ben posto.

Intendenza che la soluzione è unica allora è ben posto.

Modello numerico.

Algoritmo -> Implementazione su computer -> [Output] -> Analisi Risultato -> schema risoluzione del modello numerico.

A volte, i processi potrebbero non essere finiti ma essere iterativi ovvero che continuano all’infinito e convergono alla soluzione.

Strumenti per elaborazioni scientifiche

• Linguaggi di programmazione (es. C++)
• Excel (qui)
• Software scientifico (qui) Matlab, Maple, Mathematica

Floating point

Numeri in virgola mobile -> dobbiamo prima studiare aritmetica di macchina.

Esempio: crescita della popolazione nel tempo t

N(t) la popolazione cresce con velocità proporzionale al suo numero con λ costante di proporzionalità.

¹/₁ ^dN(t)/_dt = λ N(t) N₀ = N(0)

Si tratta di un'equazione differenziale ordinaria. La soluzione di ⁽¹⁾ è N(t)=N₀e^λt.

Se introduciamo che oltre un aumento della popolazione causa immigrazione con velocità/anno costante ν:

^(1') diventa ¹/₁ dN(t)/dt = N(t) + ν.

La soluzione di ^(1') ⇒ N(t) = N₀e^λt + ν/λ (e^λt - 1).

N₀ = 1000000 ν = 435000. Alla fine dell'anno ha 1564000. Allora, quanto vale la velocità di crescita interna della popolazione?

N₀e^λ*1 + ν/λ (e^λ*1 +1) = 15640001000000 f(λ) = 0 λ ?

Equazione non lineare impossibile risolverla in modo esatto! → Dato passare dal modello matematico al modello numerico!

Aritmetica di macchina

Viene anche chiamata in virgola mobile (floating point).

x∈ℝ x = p·r^q dove r è la base (di solito 10), q è l'esponente, p è detta mantissa.

0·C₁C₂... Si dice che la mantissa è normalizzata se C₁ ≠ 0.

La mantissa di un numero reale x è normalizzata allora ¹/_r ≤ p 1/₁.

x = 0,3478·10^-3 r = 10 q = -3 p = 0,3478 (normalizzato).

x* = p* . r^q*

Numero di macchina.

Schema di un numero di macchina.

0 <= q* <= 2^s -1.

q*q2^s-1 -102^s-12^s-12^s.

La più piccola caratteristica che può essere mantissa m, la massima caratteristica che può essere mantissa M.

Esempio: s=3 2^s-1=7.

q* e [0, 4, ..., 7].

q e [..., -3, -2, ...3, 4].

Questa corrispondenza tra q e q* è comoda perché almeno è intuitivamente utilizzabile.

Arrotondamento

x=pr^q

x* = p* r^q*

Se t= 1.

Forma di arrotondamento arrotondamento x taglio.

Le cifre di p a destra della t-esima vengono trascurate.

Es. r=10 t=4 p=0,45743 p*=0,4574.

Forma di arrotondamento rounding.

Si somma (1/2)r^-t e poi si esegue le chopping.

Esempio: r=10 t=4 p=0,45748.

1/2 r^-t = (1/2) 10^-4 = 5 10^-5 => p^x = 0,45748 + 0,00005 = 0,45753 => p* = 0,4575.

Supponiamo p₁* e p₂* due mantisse successive.

p₁* - p₂* = r * t.

p₁* = 0,124.

p₂* = 0,123.

r = 10 t = 3.

p₁* - p₂*