Analisi matematica - trigonometria

Teoria: trigonometria

Angoli e radianti

Un angolo è una regione di piano individuata da due semirette uscenti da uno stesso punto.

Radianti: In una circonferenza di raggio 1 e centro l'origine, un radiante è l'ampiezza di un angolo che sottende un arco uguale al raggio.

L'angolo giro misurato in radianti è 2π. Un angolo θ è positivamente orientato quando, per superare la rotazione, ci si muove in senso antiorario (negativamente → orario).

θ = π/2

θ = 3π/2

Elementi di trigonometria

Un angolo è una regione di piano individuata da due semirette uscenti da uno stesso punto.

Radiante: In una circonferenza di raggio 1 e centro l'origine, un radiante è l'ampiezza di un angolo che sottende un arco uguale al raggio.

L'angolo giro misurato in radianti è 2π. Un angolo θ è positivamente orientato quando si va in senso antiorario (negativamente → orario).

θ = π/2

θ = 3π/2

Seno, coseno e tangente

• Sen ø
• Cos ø
• Tg ø

0 ≤ cos ø ≤ 1

0 ≤ sen ø ≤ 1

-1 ≤ cos ø ≤ 0

3π/2 ≤ ø ≤ 2π

cos ø = x/1

sen ø = y/1

Da gradi in radianti: ø_gradi/180 = ø_radianti/π

ø_gradi = ø_radianti * 180/π

Dato l'angolo misura in gradi e detto Θ il suo valore per ottenere il valore dell'angolo in radianti:

α = 180

α = 30° → di misura in radianti dell'angolo ∗ρ∗ρ_Θ¹ ∂∗∗∗∗α = 60°

α = λ∗∗∗ρ∂∗

Tangente tg Θ > tg Θ

tg Θ non è definita in multipli interi ∗∗∗∗∗∗∗sen Θ e cos Θ sono funzioni periodiche di periodo 2π → ossia assume gli stessi valori se l'angolo cambia da una quantità multiplo di π.

sen Θ = sen(Θ + 2kπ)

cos Θ = cos(Θ + 2kπ)

K = 0, ± 1, ± 2

tgθ = senθ / cosθ

cosθ = 0

θ = π/2

θ = 3π/2

π/2

La funzione tangente non è definita per θ = π/2, 3π/2, kπ

k = 0; ±1; ±2

Cosθ² + Senθ² = 1

Senθ² = 1 - Cosθ²

tgθ = senθ / cosθ

Cosπ/4 = Senπ/4 = 1/√2 = √2/2

Cosπ/6 = √3/2

Senπ/3 = √3/2

Cosπ/3 = 1/2

Senπ/6 = 1/2

sen(-θ) = -sen(θ)

tg(-θ) = -tg(θ)

cos(π - ϑ) = - cos ϑ

sen(π - ϑ) = sen ϑ

tg(π - ϑ) = - tg ϑ

cos(^π/₂ - ϑ) = sen ϑ

sen(^π/₂ - ϑ) = cos ϑ

tg(^π/₂ - ϑ) = ¹/_tg

Formule di addizione e sottrazione

cos(α + β) = cosα cosβ + senα senβ

cos(α - β) = cosα cosβ - senα senβ

sen(α + β) = senα cosβ + cosα senβ

cos²α - sen²α = 2 cos²α - 1 = 1 - 2 sen²α

sen(2ϑ) = 2 senϑ cosϑ

sen(2^π/₂) = 2 sen(^π/₂) cos(^π/₂) = 0

y = sen x intersezioni

senϑ = cresc. in [0, ^π/₂]

decr. in [^π/₂, ^3π/₂]

y = tg_nx = arctg_n y = tg_n

tg(θ) = 0 funzione pari e monotona crescente

Funzioni trigonometriche inverse

Per invertire la funzione Sen devo restringere l'assegliamtounon intervallo in cui la funzione è iniettiva, ossia m ∈ [-π/2, π/2].

Definiamo la funzione y = arcsen.

m ∈ [-1, 1] y = arcsen ⇔ Sen y = m

Per avere una funzione iniettiva (ossia invertibile) devo restringere il dominio all'intervallo [0, π].

Definiamo la funzione inversa di Cos, ossia dichiariamo y = arccos ⇔ cos y = m y ∈ [0, π]

Data la funzione y = tg_x essa è biiettiva se si costringe il dominio all'intervallo ( -π/2, π/2 )

∀ n ∈ ( -∞, ∞ ) y = arctg n n = tg_y y ∈ ( -π/2, π/2 )

Esercizio

sen π/12 = 1/2 → d = π/6

β₂ = (1, √3/2, 1/2)

Per risolvere sen_x = a deve essere -1 ≤ a ≤ 1

a = 3 y = 3 ysen = 3/2. Non attrente soluzioni

Se -1 ≤ a ≤ 1 allora η₁ = arcosen_u

η₂ = η₁ - arcosen_u ± 2kπ (u, xlù)

Per risolvere sen α ovvero seno α seno α se α<-1∨α>1 cosen: tg n = 2

Se e solo se: ^√_m - 2 ^√|>1 ^√_n - 2

se ^√_n - 2>0 & oslash; ^√_n>2

se ^√_n - 2<0 ⁄ ^√_m<2

se ^√_n>2∴^√m∈30≤m≤4⇒^√m≤1∈Quindi, m∈1 ln≤1 ✗

Esercizio 2

• 3ⁿ - 3^t > 12
• 4^n/3 - 3^n-t > 12
• (1/t) - t > 1

t₁ = 1/t 3ⁿ = t

3ⁿ = t2 • t² - t 2 • t² + t 2 • t + t t ≤ -1/2 t ≤ 0 C: t ≥ 03ⁿ ≤ 1/2 NO3 ≤ n n ≤ 0

(3^2-n - 27)^t (1 - 4^n/2) > 0

(3² • 3^-n - 3) • (1/2)^2n/2 > 0

(3² (1/3)ⁿ 3³) • (1/3)^2h) > 0

log₃ + log³ - log₃ = = = log₃ 2 • 7 = log₃ (7/2)

1. [log₉ (a + 5)] - 2 log₉ (a - 5) =

2. [log₉ a (a + 5) - 2 log₉ (a - 5) = 1 log₉ a² + 5a log₉ (a - 5)²

u. - log e₂ (a² + 5a) e_{(a - 5)²} = log e₂ (a² + 5a)     (a - 5)²)

3 [log₂ b - 2 (log e₂ log e₂ a)] = 3 [log₂ b]    

log e₂ (c log a²) = log e₂ b³   a^{5 • 65}log₂ 3 √b^1/2 = log₃ + log √a - log b = log₃ ±                  log a - log blog e₂            √2_1/2 = log e₂ + log₂ (3 √² - log e₂)

log e₂ = 1 + 1 log₂ -1 log e₂                           3/2= 1 + 1/3 - 1 log e₂    = 6 - 2 - 3 = 5      6    = 5             6√log = 1 + 1 √n log_n |√16 - 8 √ⁿ√^[3/2](2 log₃ n) < 2 back = 27 = 8 a ₃      log a - log e 2 e log223^[1/2]

Grafici di funzioni

Retta m > 0; q > 0 y = mx + qm = tg α q < 0 q > 0

Casi particolari q = 0 y = mx m > 0 y = m x m = 0 y = qq > 0 y = qq < 0 Le rette parallele agli assi delle coordinate hanno equazionix = cy = m₁x + q y₂ = m₂x + q y₂ - y₁ = m₂ - m₁ y₂ - y₁ = m(n₂ - n₁) = > n >> c'è t.s.

Esempio di moto circolare uniforme

y = ax² + bx + ea > 0a < 0

y₁ = an₁² + bn₁ + e

y₂ = an₂² + bn₂ + e

y₂ - y₁ = a(n₂² - n₁²) + b(n₂ - n₁)

dy: -a > 2ah₂i Concavità verso il basso

Funzioni potenza

y = axⁿ n pari a > 0 a < 0

Funzioni n fissa n pari a > 0

Traslazione delle funzioni

Traslazione di K verso la direzione y. Traslazione del grafico della funzione parallelamente all'asse delle ordinate.

y = f(x) + K con K > 0

y = f(x)

y = f(x) - K con K > 0

Esercizio

Fare il grafico di y = 3x² - 3 y = -3x² + 2 y = 3x² + 2 y = 3x²

Traslazione del grafico parallelamente all'asse delle ascisse

y_s = f (x_s)

x_s = x - k

y_s = f(x - k)

Esempio:

y_s = (n - 3)²

n_s = n - 3

y_s = (n)²

Esempio:

y_e = (n + 2)